沿非代数曲面的多元拉格朗日插值问题研究.pdf

第4 6卷2期2 0 2 3年6月 辽宁师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 6 N o.2J u n.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 1基金项目:国家自然科学基金资助项目(4 1 9 7 1 3 8 8)作者简介:崔利宏(1 9 6 4-),男,吉林长春人,辽宁师范大学教授,博士.E-m a i l:c u i l i h o n g l n n u.e d u.c n 文章编号:1 0 0 0-1 7 3 5(2 0 2 3)0 2-0 1 4 5-0 6 D O I:1 0.1 1 6 7 9/l s x b l k 2 0 2 3 0 2 0 1 4 5沿非代数曲面的多元拉格朗日插值问题研究崔利宏,张 敬,宋文健(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 1 1 6 0 2 9)摘 要:为解决给定非代数曲面多元插值结点组构造问题.以基本代数理论与以往沿代数曲面插值理论为基础,给出沿非代数曲面插值适定结点组定义并研究其性质与构造方法,解决了G0连续非代数曲面插值适定结点组的存在性问题,得到了在严格非代数曲面上构造沿该曲面插值适定结点组的构造方法.举出具体算例来验证本文所得方法是可行有效性的.关键词:插值论;多元函数插值法;非代数曲面;插值适定结点组中图分类号:O 1 7 4.4 2 文献标识码:A多元函数插值是计算数学中的重要研究内容之一.其在汽车、轮船以及飞行器外形设计等方面有着广泛的应用.由于多元函数插值存在插值结点组选取不当就会导致插值不适定问题,因此研究插值适定性问题是研究多元函数插值的基本问题1-3.为了能够在非代数曲面上构造出插值适定结点组,本文提出了沿非代数曲面插值适定结点组的基本概念,针对此类插值适定结点组的存在与构造问题,本文通过给出结构集的概念,结合以往代数曲面插值理论研究结论4-5,给出了沿非代数曲面插值适定结点组的存在性定理和构造方法,并给出具体插值算例验证方法的有效性.1 沿非代数曲面的拉格朗日插值定义及存在性证明基于在各领域中对沿非代数曲面插值理论的需要,参照以往有关多项式空间P(3)n的插值适定结点组与沿代数曲面的插值适定结点组的相关结果5,本文给出如下沿非代数曲面插值适定结点组的定义.定义1.1 称曲面F(x,y,z)=0为非代数曲面,若F(x,y,z)P(3)n.定义1.2(沿非代数曲面插值适定结点组)设n为自然数,定义dn=d i mP(3)n=n+33,F(x,y,z)=0为非代数曲面.设A=Qidni=1为非代数曲面F(x,y,z)=0上的dn个相异的点,如果对于任意给定的数组fidni=1,存在多项式g(x,y,z)P(3)n满足g(Qi)=fi,i=1,2,dn,(1)则称A=Qidni=1为沿非代数曲面F(x,y,z)=0的n次插值适定结点组,g(x,y,z)为插值函数.沿非代数曲面插值适定结点组具有插值函数存在且唯一的较好性质,但若结点选取不恰当则不1 4 6 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷能构成沿非代数曲面的插值适定结点组.例如:当非代数曲面为F(x,y,z)=(x2+y2)2-2x2+y2-z+1时,若选取的插值结点组为 Q0(2,0,1),Q1(-2,0,1),Q2(0,2,1),Q3(0,-2,1),对于给定数组fi,i=0,1,2,3,其中,f0+f1-(f2+f3)0,就不存在满足条件(1)的g(X)P(3)1.定义1.3(结构集)称点集A为代数曲面F的结构集,若点集A是能够确定代数曲面F的所有点集中含点数最少的集合.此时也称曲面F为A的生成面.显然一个代数曲面对应多个结构集,但一个结构集仅对应一个代数曲面.使用代数学基本理论,不难得到如下引理.引理1.1 设k次代数曲面F的结构集为A,a0为曲面F外任意一点,则过B=Aa0的代数曲面次数至少是k+1,且存在k+1次代数曲面过Aa0.引理1.2 设A为n-1次代数曲面F的结构集,B=Aa0,其中,a0为曲面F外一点,则可以通过不断在点集B中添加新点,使其成为某个n次代数曲面的结构集.第一步:任取过B中全部点的n次曲面,再取F外一点a0,得到点集B1=Ba0;第二步:任取过B1中全部点的n次曲面F1,再取F1外一点a1,得到点集B2=B1a1;第n+33-n+23-2步:(记c(n)=n+33-n+23-2),任取经过Bc(n)-1中全部点的n次曲面F,再取F外的一点ac(n)-1,则Bc(n)=Bc(n)-1ac(n)-1 为n次代数曲面的结构集.引理1.3 设F为n次代数曲面,A为F的结构集,则F上一定存在P(3)n中的k次插值适定结点组Ak,满足AkA.其中,0kn.定理1.1(沿非代数曲面插值适定结点组存在性定理)对任意的自然数n,G0连续的非代数曲面上一定存在沿非代数曲面的n次插值适定结点组.证 设F为G0连续的非代数曲面.由于0次插值适定结点组为单点集,G0连续的非代数曲面F上显然存在单点集.当n=1时,在曲面F上任取不共线的3点构成点集A1,则A1可以确定1次曲面L1,又因为确定一个平面仅需要3个点,所以A1为L1的结构集.当n=2时,由于非代数曲面F不是1次曲面L1,且曲面F是G0连续的,所以可以取F上L1外的点.否则与F为G0连续非代数曲面相矛盾.取F上L1外一点,由引理1.1,该点与A1的并集B1,满足2次曲面才能够经过该点集,由于曲面F不是2次曲面,且曲面F是G0连续的,所以对于任意给定的2次曲面,F上总存在不在该2次曲面上的点,由引理1.2,可以不断在B1中增加F上的点得到点集A2,使得曲面F上的点集A2为某个2次曲面的结构集.假设当n=k-1时命题成立,即在F上至少能找到一个k-1次代数曲面的结构集Ak-1.当n=k时,由于曲面F不为n-1次代数曲面Ln-1,且曲面F是G0连续,所以可以取到F上Ln-1外的点.否则与F是G0连续相矛盾.取F上Ln-1外的一点,由引理1.1,该点与Ak-1的并集Bk-1满足k次曲面才能够经过该点集,由于曲面F不是k次曲面,且曲面F是G0连续,所以对于任意的k次曲面,F上总有点不在该k次曲面上,由引理1.2,可以不断在Bk-1增加F上的点得到Ak,使得曲面F上的点集Ak为某个k次曲面的结构集.由数学归纳法可知对于任意的自然数n,F上总能找到至少一个n次代数曲面的结构集.由引理1.3,n次代数曲面的结构集的子集可以构成k次插值适定结点组.其中,0kn,从而对任意的非负数n,在曲面F上存在P(3)n的插值适定结点组,并且该结点组同时满足沿非代数曲面的n次插值适定结点组的条件,所以其构成沿非代数曲面的n次插值适定结点组,证毕.第2期崔利宏等:沿非代数曲面的多元拉格朗日插值问题研究1 4 7 2 沿非代数曲面插值适定结点组的构造方法为了给出一类构造沿非代数曲面插值适定结点组的方法,这里给出严格非代数曲面的概念.定义2.1 称满足G0连续的曲面F(x,y,z)=0为x(y,z)型严格非代数曲面,若固定曲面F(x,y,z)中的变量x(y,z)为x0(y0,z0)时,(其中,x0(y0,z0)D,D为F(x,y,z)中x(y,z)的取值范围),则F(x0,y,z)=0(F(x,y0,z)=0,F(x,y,z0)=0)为连续的非代数曲线.由此定义,严格非代数曲面一定是非代数曲面,这是由于固定代数曲面P(x,y,z)=0中的某一个变量为常数,不妨假设固定x为x0,得到的P(x0,y,z)为二元多项式,x=x0,P(x0,y,z)=0的图形一定是一个点或为一条代数曲线.由此可以得到严格非代数曲面插值结点组的构造方法.定理2.1 设曲面F(x,y,z)=0为x型严格非代数曲面,n为正整数,作平面i:x=xi,分别交曲面于si,在si上构造点集Ai=ai1,ai2,ai di,其中,di=i+22,i=0,1,n.满足当i1时,存在过i-1m=0Am的i次代数曲面Pi不过ai1,存在过i-1m=0Amai1,ai2,ai(j-1)的i次代数曲面Pji不过ai j,i-1m=0Amai1,ai2,ai(dj-1)确定的i次代数曲面Pdji不过ai dj,其中,1jdi.则ni=0Ai构成沿F(x,y,z)=0的n次插值适定结点组.证 证明分为两部分,第一部分证明取点的可行性,即一定可以取到满足定理要求的点,第二部分证明ni=0Ai构成曲面F(x,y,z)=0的n次插值适定结点组.i=1时,任取s0中一点a0,s1中两点a1 1,a1 2,就会满足定理要求,且由于不在平面上的直线与平面至多交于一点,从而a0 1,a1 1,a1 2不共线,可以确定1次代数曲面1,其与1交于代数曲线s11上,由于s1s11,所以存在s1上1外的点a1 3,满足定理要求,所以对任意的x型严格非代数曲面,都可以在曲面上找到满足条件的a0 1,a1 1,a1 2,a1 3.i=2时,由引理1.1,存在过A0A1=a0 1,a1 1,a1 2,a1 3 的2次曲面12.122=s12,由于曲面F(x,y,z)=0为x型严格非代数曲面,所以s2为连续非代数曲线,所以s2s12,从而存在s2上12外的点a2 1,由引理1.2证明过程知这样的过程可以不断进行,直到得到满足定理所要求的点集A0A1=a0 1,a1 1,a1 2,a1 3,a2 1,a2(d2-1),且其可以确定一个2次曲面2,22=s 2,由于s2s 2,从而存在s2上2外的点a2d2.利用数学归纳法,假设i=k-1时可以取到满足定理条件的点.当i=k时,由假设可知,过k-1i=0Ai的曲面次数至少为k,且存在k次代数曲面过该点集,设其为1k,1kk=s1k,由于sk为连续非代数曲线,所以sks1k,从而存在sk上1k外的点ak1满足定理2.1取点要求.设过k-1i=0Aiak1的k次代数曲面为2k,2kk=s2k,sks2k,从而存在sk上2k外的点ak2满足定理2.1取点要求,类似地可以取点ak3,ak4,ak(dk-1).由引理1.2可知k-1i=0Aiak1,ak2,ak(dk-1)可以确定k次代数曲面k,kk=s k,sks k,从而存在sk上k外的点ak dk满足定理2.1取点要求.所以n=k时,总可以取到定理要求的点.综上所述,可以对于任意的x型严格非代数曲面任意的正整数n,都能取到满足定理条件的点.现证明ni=0Ai构成沿非代数曲面F(x,y,z)=0的n次插值适定结点组.当n=1时,由引理1.1,过A0A1=a0 1,a1 1,a1 2,a1 3,由于a0 1,a1 1,a1 2,a1 3不共面,其构成P(3)1的插值适定结点组,满足沿非代数曲面F(x,y,z)=0的1次插值适定结点组的条件,所以也同1 4 8 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷时构成沿非代数曲面F(x,y,z)=0的1次插值适定结点组.n=k时,考虑等式ak,0,0 xk+a0,k,0yk+a0,0,kzk+am,n,uxmynzu+a0,0,0=0,(2)其中,0m+n+uk.将k-1i=0Ai中的点代入式(2),得到dk-1个方程的方程组,记该方程组的系数矩阵为P,其转置记为P*,由于线性无关的向量增加分量后仍然线性无关,所以矩阵P行满秩,将点ak1代入方程(2)得到新的等式,将等式系数构成的行向量的记为1,转置记为*1,则(P*1)T仍然行满秩,否则若1可被P的行向量线性表出,则(P*1)TX=0与P X=0的解集相同,这与ak1不在1k上矛盾.同理可知将点ak j代入方程(2)得到的等式左边系数构成的行向量j满足(P*1*j)T行满秩,其中,1jdk.从而k-1i=0Aiak1,ak2,ak(dk-1)可以确定k次代数曲面k,由ak dk取法知其不落在k上,从而(P*1*dk)T满秩,即对任意的f,方程(P*1*dk)TX=f存在唯一解,即插值函数存在唯一,所以ki=0Ai构成沿非代数曲面的k次插值适定结点组,证毕.定理2.1中曲面F(x,y,z)=0为y型或z型严格非代数曲面时,证明过程类似.规定平面i来分割F(x,y,z)=0的目的是为了便于控制插值时,曲面各部分所占的权重.由于手动构造沿非代数曲面插值适定结点组的计算量比较大,在实际应用时,遇到复杂非代数曲面需通过编写程序实现输入非代 数 曲 面 方 程 与i,生 成 沿 非 代 数 曲 面 的 插 值 适 定 结 点 组.插 值 适 定 结 点 组A=Qi(xi,yi,zi),i=0,1,n确定后,令U(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn),V(x)=(y-y0)(y-y1)(y-yn),W(x)=(z-z0)(z-z1)(z-zn).定义Li(x,y,z)=U(x)(x-xi)U(xi)V(y)(y-yi)V(yi)W(z)(z-zi)W(zj),则得到插值多项式为pn(x,y,z)=ni=0f(xi,yi,zi)Li(x,y,z).(3)若已知被插函数为f(x,y,z),则截断误差可表示为Rn=f(x,y,z)-pn(x,y,z).(4)由此可知,当已知被插值函数为n次多项式时,使用该文方法选取dn个结点构造的插值函数截断误差理论上为0.这也是非代数曲面上的拉格朗日插值法相交于其他插值方法的优势之一.3 实验算例某批量生产的模具的形状可近似看作非代数曲面F:2x2+y2-(x2+y2)2+z-1=0,z-6,2.生产时模具表面温度与x,y,z满足等式C=f(x,y,z)(为便于电脑控制加热温度,实际生产中f(x,y,z)通常取为三次多项式函数).现通过技术手段可测该模具上某些个点的温度,但测量温度次数过多会导致材料变形,要求在选取插值结点个数小于等于1 0 0的情况下,对模具各处温度进行估计并画出温度分布图像.由于该曲面为y型严格非代数曲面,由定理2.1,分别使用平面y=2,1,-1,0截非代数曲面F第2期崔利宏等:沿非代数曲面的多元拉格朗日插值问题研究1 4 9 于曲线s0,s1,s2,s3,之后选取结点组Ai,i=0,1,2,3.3i=0Ai为沿非代数曲面2x2+y2-(x2+y2)2+z-1=0的插值适定结点组,其中,A0=Q0(-1,2,2),A1=Q1(0,1,0),Q2(1,1,1),Q3(-1,1,1),A2=Q4(0,-1,0),Q5(1,-1,1),Q6(-1,-1,1),Q7(2,-1,-6),Q8(-2,-1,-6),Q9(2,-1,2),A3=Q1 0(0,0,0),Q1 1(1,0,0),Q1 2(-1,0,0),Q1 3(2,0,1),Q1 4(-2,0,1),Q1 5(3,0,2)Q1 6(-3,0,2),Q1 7(2,0,1),Q1 8(-2,0,1),Q1 9(5,0,-6).由此得到点集对应的温度值集合fi,i=0,1,1 9.其中,f0=1 0 0 2+6 9 1.0 0 2,f1=8 0 3.0 0 0,f2=8 1 8.0 0 1,f3=7 8 8.0 0 1,f4=6 0 3.0 0 0,f5=6 1 8.0 0 1,f6=5 8 8.0 0 1,f7=6 0 2.9 9 4,f8=6 0 2.9 9 4,f9=1 0 2+6 0 3.0 0 2,f1 0=7 0 0.0 0 0,f1 1=7 1 5.0 0 0,f1 2=6 8 5.0 0 0,f1 3=1 0 2+7 0 0.0 0 1,f1 4=-1 0 2+7 0 0.0 0 1,f1 5=5 3+7 0 0.0 0 2,f1 6=-5 3+7 0 0.0 0 2,f1 7=7 0 0.0 0 1,f1 8=7 0 0.0 0 1,f1 9=-5 5+6 9 9.9 9 4.通过式(3)构造插值多项式p(x,y,z)=-5x3+3y2+1 0 0 y+2 0 x+0.0 0 1z+7 0 0.将温度作为第四个维度画出非代数曲面上各处温度的图像如图1所示.图1 曲面F温度分布图F i g.1 T e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o nd i a g r a mo f c u r v e ds u r f a c e在该算例中,沿非代数曲面的拉格朗日插值方法用了更少的点实现了更高的插值精度,这充分体现了沿非代数曲面插值方法的优势.5 结 论该文研究了给定非代数曲面后,如何选取插值结点的问题.证明了G0连续的沿非代数曲面存在任意次的沿非代数曲面插值适定结点组,之后给出了构造沿非代数曲面插值适定结点组的构造方法并给出了插值实例并与其他方法进行对比.使用三元n次多项式函数作为插值函数,有着连续且任意阶可导的优点,并且在选取一个沿非代数曲面的插值适定结点组后,无论被插函数在插值结点的函1 5 0 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷数值如何改变,都可以快速确定唯一的插值多项式函数进行插值.参考文献:1 崔利宏.多元L a g r a n g e插值与多元K e r g i n插值M.大连:辽宁师范大学出版社,2 0 1 8,1 8-3 5,3 9-5 1.2 梁学章,李强.多元逼近M.北京:国防工业出版社,2 0 0 5:2 7-4 1,4 5-5 0.3 王仁宏,梁学章.多元函数逼近M.北京:科学出版社,1 9 8 8:1 0-2 1,3 1-5 0.4 L I AN GXZ,L UCM,F E N GRZ.P r o p e r l yp o s e ds e t so f n o d e s f o rm u l t i v a r i a t eL a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n i nC sJ.S I AMJ o u r n a l o nN u m e r i c a lA n a l y s i s,2 0 0 1,3 9(2):5 7 8-5 9 5.5 P AU LK.An a t u r a l i n t e r p o l a t i o no fC kf u n c t i o n sJ.J o u r n a l o fA p p r o x i m a t i o nT h e o r y,1 9 8 0,2 9(4):2 7 8-2 9 3.R e s e a r c ho nm u l t i v a r i a t e l a g r a n g e i n t e r p o l a t i o na l o n gn o n-a l g e b r a i c s u r f a c e sC U IL i h o n g,Z H A N GJ i n g,S O N GW e n j i a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,L i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,D a l i a n1 1 6 0 2 9,C h i n a)A b s t r a c t:T os o l v et h e m u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o n n o d ec o n s t r u c t i o n p r o b l e m a f t e rag i v e n n o n-a l g e b r a i cs u r f a c e.B a s e do nt h eb a s i ca l g e b r a i ct h e o r ya n dt h et h e o r yo f i n t e r p o l a t i o na l o n ga l g e b r a i cs u r f a c e s,t h ed e f i n i t i o no f s u i t a b l en o d eg r o u p s f o r i n t e r p o l a t i o na l o n gn o n-a l g e b r a i c s u r f a c e s i sg i v e na n dt h e i rp r o p e r t i e sa n dc o n s t r u c t i o nm e t h o d s a r e s t u d i e d.T h ep r o b l e mo f t h ee x i s t e n c eo f t h e i n t e r-p o l a t i o n-a d a p t e dn o d eg r o u pa l o n gn o n-a l g e b r a i cs u r f a c e so nG0c o n t i n u o u sn o n-a l g e b r a i cs u r f a c e s i ss o l v e d,a n dam e t h o d f o r c o n s t r u c t i n g t h e i n t e r p o l a t i o n-a d a p t e dn o d eg r o u pa l o n gn o n-a l g e b r a i c r o t a-t i o ns u r f a c e so ns t r i c t l yn o n-a l g e b r a i cs u r f a c e s i sg i v e n.S p e c i f i c i n t e r p o l a t i o ne x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h a t t h er e s u l t i n g i n t e r p o l a t i o nn o d es e t c o n s t r u c t i o nm e t h o d i s f e a s i b l ea n de f f e c t i v e.K e yw o r d s:i n t e r p o l a t i o nt h e o r y;m u l t i f u n c t i o n a l i n t e r p o l a t i o n;n o n-a l g e b r a i cs u r f a c e s;i n t e r p o l a t i o n-a-d a p t e dn o d es e t s