资源描述
一元二次方程的解法(6)
教学目标：
知识技能目标
1.使学生辨清数字、数位、数三者之间的区别与联系，会用含未知数的代数式表示关系式；
2.会根据所设的不同意义的未知数，列出相应的方程，会从多个角度考虑一题多解有关数字的应用问题；
3.进一步体会列方程解应用题的要点．
过程性目标
1.使学生用列一元二次方程的方法解有关数与数字之关系的应用题；
2.通过列方程解应用题，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．
情感态度目标
1.培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识；
2.通过列方程解应用题，获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
重点和难点：
同上节课一样，认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，列方程既是重点也是难点．
教学过程：
一、创设情境
1.提问：列方程解应用题的一般步骤是什么？
(1)审题：分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的数量关系；
(2)设未知数：未知数有直接与间接两种，恰当的设元有利于列方程和解方程，以直接设未知数居多；
(3)根据已知条件找出等量关系列方程；
(4)解方程；
(5)检验并写出答案．
2.在三位数345中，3、4、5是这个三位数的什么？（3是百位数字， 4是十位数字，5是个位数字）
3.如果a，b，c分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成abc形式？为什么？（在数学里“abc”表示连乘积．数字连同它所在的数位结合在一起，才表示一个数． 例如同一个数字 5，当它在百位上时，这个5表示500；当它在十位上时，这个5表示50；当它在个位上时，这个5表示5．所以如果a=3，b=6， c=5那么abc等于3×4×5=60，而不是345．所以这个以 a为百位数字，b为十位数字，c为个位数字的三位数应该写成100a+10b+c）
二、探究归纳
例1 两个连续奇数的积是323，求这两个数．
分析 考虑本题有三点值得注意：
1.有两个连续奇数：
(1)什么是奇数？不能被2整除的整数叫做奇数，例如±1，±3，±5…，一般地，设n为整数，则2n-1（或2n+1）表示一个奇数；
(2) -1，-3，-5…；1，3，5…是连续奇数，它们之间相差2（或-2）．2n-1与 2n+1是连续奇数，2n+1与 2n+3也是连续奇数（其中n是任意整数）．如果规定了x是奇数，那么x-2与x是连续奇数，x+2与x也是连续奇数．
2.本题里，表示应用题全部含义的相等关系是：
(1)两个连续奇数的乘积=323；
(2)两个连续奇数之差=±2．
3.要求这两个数：
显然，从相等关系入手由1.得：
(1)设较小奇数为x，则另一奇数为x+2；
(2)设较小奇数为x-1，则另一奇数为x+1；
(3)设较小奇数为2x-1，则另一奇数为2x+1．
从而得出本题的以下三种解法．
解法1 用相等关系(1)写出关系式，用相等关系(1)列方程．
设较小的一个奇数为x，那么较大的一个奇数为x+2，根据相等关系：两个连续奇数的乘积=323，列出方程x(x+2)=323．
整理，得x2+2x-323=0，
解方程，得x1=17，x2=-19．
当x=17时，x+2=19．
当x=-19时，x+2=-17．
检验：17×19=323；(-19)×(-17)= 323．都符合题意
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
注 检验这一步在解题时可不写出，但不要忽略这一步．
指导学生讨论：
(1)不同的设“元”所产生的解法的优劣；
(2)为什么有些应用题会有两组解？
解法2 设两个连续奇数为x-1，x+1．根据题意，得(x+1)(x-1)＝323，
即x2＝324，所以x1＝18，x2＝-18．
由x＝18，得x-1＝17，x+1＝19；
由x＝-18，得x-1＝-19，x+1＝-17．
经过检验，这两组答数都符合题意．
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
解法3 设x是任意整数，则两个连续奇数为2x-1，2x+1．根据相等关系列出方程
(2x-1)(2x+1)= 323．
整理，得
4x2-1=323，x2=81．
解得x1=9，x2=-9；
当x1=9时，2x-1=17，2x+1=19；
当x2=-9时，2x-1=-19，2x+1=-17．
经过检验，这两组答数都符合题意．
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
解法4 用相等关系(2)写出关系式，用相等关系(2)列方程．
设较大的一个奇数为x，那么较小的一个奇数为，
根据相等关系列出方程，
解这个方程，得x1=19，x2=-17．
经过检验，这两组答数都符合题意．
答 这两个连续奇数是17，19或-19，-17．
现在从上面的四种解法来分析列方程，解应用题要注意的地方．
第一步：弄清题意．本题需要先弄清什么是奇数，什么是连续奇数，用x表示哪个未知数？解法1与解法2、3是用x直接表示其中的一个奇数，而解法3所设的x表示的是任意整数，然后，间接地用2x-1，2x+1表示连续奇数；
第二步：找相等关系．因为方程是含有未知数的等式，所以必须有相等关系．本题中的“两个连续奇数的乘积等于323”是相等关系，可是还有一个比较隐蔽的相等关系是“两个连续奇数之差等于2或-2”；
第三步：根据相等关系，写出需要的代数式，从而列出方程．
三、实践应用
例2 有一个两位数，它的两个数字之和是8，把这个两位数的数字交换位置后所得的数乘以原来的数就得到1855，求原来的两位数．
解 设个位数字为x，则
（注意：引导学生填写这些表示量的代数式，这是解应用题的关键，加强训练）
十位数字是______． (8-x)
原来的两位数是______． (10(8-x)+x)
交换位置后的两位数是______． (10x+(8-x))
列方程[10x+(8-x)][10(8-x)+x]=1855．
化简，得(9x+8)(80-9x)= 1855，720x+640-81x2-72x=1855，
解方程x2-8x+15=0，得x1=3，x2=5．
检验：(1)若个位数字取3，则十位数字取5，原来的两位数是53，交换位置后的两位数是35，35×53=1855，符合应用题题意．
(2)若个位数字取5，则十位数字取3，原来的两位数是35，交换位置后的两位数是53，53×35=1855，符合应用题题意．
答 原来的两位数是53或35．
说明 本题也可设十位数字为x．
例3 有一个两位数，个位数字比十位数字大1，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，已知新数与原数的积为252，求原数．
分析 此题可从十位数字与个位数字的关系入手，考虑设十位数字为x得一种解法；而设个位数字为x，则得另一种解法．
解法1 设十位数字为x，则其个位数字为x+1．则原数为10x+(x+1)＝11x+1，新数为10(x+1)+x＝11x十10．
根据题意，得(11x+1)(11x+10)＝252，
即121x2+121x-242＝0，
所以x2+x-2＝0，即x1＝1，x2＝-2．
本题中数字不能取负值，故x＝1．
因此，所求两位数为12．
解法2 设个位数字为x，则其十位数字为x-1．
依题意，得(11x-1)(11x-10)＝252，
即x2-x-2＝0，
所以x1＝2，x2＝-1(舍去)．
因此，所求两位数为12．
例4 有两个数，一个是两位数，另一个是一位数，其中两位数是这个一位数的平方，如果把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个一位数与两位数．
解 设一位数为x，则两位数为______． (x2)
把一位数x放在两位数x2的左边，就是把数字x放在百位而十位和个位数字不变，它所成的三位数为______． (100x+x2)
把一位数x放在两位数x2的右边，就是把数字x放在个位上，两位数x2顺序放在百位和十位上，它所成的三位数为______．(10x2+x)
列方程100x+x2=10x2+x+252．
化简得9x2-99x+252=0．
解得x1=4，x2=7
检验：(1)取一位数为4，则两位数为16，把一位数放在两位数的左边，所成的三位数是416．
把一位数放在两位数的右边，所成的三位数是164．而416=164+252成立．
(2)取一位数是7，则两位数是49．把一位数放在两位数的左边，所成的三位数是749，把一位数放在两位数的右边，所成的三位数是497．而749=497+252成立．
答 所求的两个数是4，16或7，49．
四、交流反思
1.灵活设元可直接影响方程与解法的难易，故应寻求正确的、合理的设元列方程方法；
2.解一元二次方程可能得出两个解，其适合方程但不一定适合应用题．因此，必须检验其是否符合实际要求．
五、检测反馈
1.已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数.
2.已知三个连续奇数的平方和是371，求这三个奇数．
3.有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多5，求这个两位数．
六、布置作业
习题23．2的8，9.
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