函数极限复习题.doc

《数学分析（1，2，3）》教案
第二章 　极限与连续
§2　函数的极限
请叙说为什么学习函数的极限，函数极限的应用背景能否举例说明

一 函数在一点的极限
1．给出Ａ为时的极限的精确定义：

简要说明定义理解的注意事项及几何意义:
(1)
(2)
(3)
(4)
2. 结合定义证明　;
二 证明函数极限的性质和运算
性质1（局部保号性）若，则对任何正数，存在，当时，有；若，则对任何负数，存在，当时有。

性质2（保不等式性）设和都存在，且存在，当时，有。

性质3（唯一性）　若极限存在，则此极限是唯一的。

性质4（迫敛性）　设，且存在，当时有，则。

性质5（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界。

性质6（海涅定理）都有。

性质7（四则运算法则）若和都存在，则函数当时极限也存在，且
１）；
２）.
又若，则当时极限也存在，且有 ３）。

性质8 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。

三 单侧极限
１．给出左右极限的精确定义

2.　讨论函数在的左、右极限。

3.　讨论在的左、右极限。
函数极限与的关系。
证明：　.

注：利用此可验证函数极限的存在。
四 函数在无限远处的极限
1给出函数在无限远处的极限的精确定义；

2. 证明：。

3. 按定义证明.

4. 按定义证明１）； ２）.

五 函数值趋于无穷大的情形
给出，，，的精确定义.

六 两个常用的不等式和两个重要的极限
1、　的证明

2、的应用
(1)求. (2)求.

(3) 求.

3、证明或.

4、　应用
(1)求 (2) 求.

(3) 求.

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