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第13讲 二次函数
【基础知识】
1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；
（3）交点式： .
2. 二次函数的图像和性质
＞0
y
x
O
＜0
图 象
开 口
对 称 轴
顶点坐标
最 值
当x＝ 时，y有最 值
当x＝ 时，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而
y 随x的增大而
在对称轴右侧
y随x的增大而
y随x的增大而
3. 二次函数用配方法可化成的形式，其中
＝ ， ＝ .
4. 二次函数的图像和图像的关系.
5. 二次函数中的符号的确定.
6. 顶点式的几种特殊形式.
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .
7．二次函数通过配方可得，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）.
⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ；
⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ．
【典例精析】
1．将抛物线向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ．
2. 如图1所示的抛物线是二次函数
的图象，那么的值是 ．
3.二次函数的最小值是（ ）A.－2 B.2 C.－1 D.1
4.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.（1,3） B.（－1,3） C.（1,－3） D.（－1,－3）
y
x
O
5. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 二次函数y＝2x2－4x＋5的对称轴方程是x＝___；当x＝ 时，y有最小值是 .
7. 某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2＋a B．y＝ a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l＋x）2
例1已知二次函数，(1) 用配方法把该函数化为(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2如图，直线和抛物线都经过点A(1，0)，B(3，2)．
⑴ 求m的值和抛物线的解析式；
⑵ 求不等式的解集．
(直接写出答案)
例1 用铝合金型材做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图2所示.
⑴ 观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？
⑵ 当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
二次函数分类
一 .选择题
1.二次函数的图像的顶点坐标是( )
A．（-1，8） B．（1，8） C．（-1，2） D．（1，-4）
2.抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b、c的值为( )
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
3.如图，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为( )
A．（2，3） B．（3，2） C．（3，3） D．（4，3）
5.如图，两条抛物线、与分别经过点,且平行于轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为（ ）
Ａ．8 Ｂ．6 Ｃ．10 Ｄ．4
6.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7.下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是( )
8.把抛物线向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9.二次函数的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（ ）A．x＜－1 B．x＞2 C．－1＜x＜2 D．x＜－1或x＞2
10.给出下列四个函数：①；②；③；④．时，y随x的增大而减小的函数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
y
x
O
11.已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④．
其中，正确结论的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4
12.若函数，则当函数值y＝8时，自变量x的值是（ ）
A．± B．4 C．±或4 D．4或－
二.填空题
1.已知实数的最大值为 .
2.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是 .
3.若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 ；
4.(1)将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象，则y2= ；
（2）如图，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、
抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条
件的t的值，则t＝ ．
5.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为___________。
三.解答题
1.如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、
B（0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。
4. 如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点 ．
5.如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，
且AD=2，AB=3；抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E（4,0）
（1）当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．
6.已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．
9.某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）
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