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第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 若，则的值为 ．

思路点拨 视为整体，令，用换元法求出即可．

【例2】 若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．

思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注的隐含制约．

注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．
解下列方程：
（1）；

(2)；

（3）．

按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从受到启示；对于(3)，设，则可导出、的结果．

注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．
【例4】 若关于的方程只有一个解(相等的解也算作一个)，试求的值与方程的解．
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出的值．

注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
【例5】 已知关于的方程有两个根相等，求的值．
思路点拨 通过换元可得到两个关于的含参数的一元二次方程，利用判别式求出的值．

注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．

学历训练

1．若关于的方程有增根，则的值为 ；若关于的方程 曾＝一1的解为正数，则的取值范围是 ．
2．解方程得 ．

3．已知方程有一个根是2，则= ．
4．方程的全体实数根的积为( )
A．60 B．一60 C．10 D．一10
5．解关于的方程不会产生增根，则是的值是( )
A．2 B．1 C．不为2或一2 D．无法确定
6．已知实数满足，那么的值为( )
A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2

7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空格处；
(2)若方程()的解是=6，=10，求、的值．该方程是不是(1)中所给的一列方程中的一个方程?如果是，它是第几个方程?
(3)请写出这列方程中的第个方程和它的解，并验证所写出的解适合第个方程．
序号
方 程
方程的解
1

=
=
2

=4
=6
3

=5
=8
…
…
…
…
8．解下列方程：
（1） ；
（2）；
(3)；
(4)．
9．已知关于的方程，其中为实数，当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根?求出这三个实数根．
10．方程的解是 ．

11．解方程得 ．

12．方程的解是 ．

13．若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
14．解下列方程：
(1)；
(2)；
（3）；
（4）．
15．当取何值时，方程有负数解?

16．已知，求的值．
17．已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥上AD交BD于E点，交BC于点F．
(1)求证：AD2= DE×DB；
(2)过点E作EG⊥AE交AB于点G，若线段BE、DE(BE<DE)的长为方程(m>0)的两个根，且菱形ABCD的面积为，求EG的长．

参考答案