等差及等比数列综合应用(教案).doc

个性化教案等差和等比数列的综合应用适用学科数学适用年级高一年级适用区域全国课时时长（分钟）120知识点1递推公式2等比数列通项公式和求和公式3等差数列通项公式和求和公式4 等查与等比的综合问题教学目标1 理解和掌握等查和等比数列是高考的一个重点。2 能应用常用的方法来正确来研究等比数列,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力.3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质教学重点 等比数列通项公式和求和公式，等差数列通项公式和求和公式教学难点 等查和等比的综合问题教学过程一、复习预习已知数列的前项和，即 -得（递推公式）。二、知识讲解（1）等差数列1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差2由三个数，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项若，则称为与的等差中项3若等差数列的首项是，公差是，则4通项公式的变形：；5若是等差数列，且（、），则；若是等差数列，且（、），则6等差数列的前项和的公式：；7等差数列的前项和的性质：若项数为，则，且，若项数为，则，且，（其中，）（2）等比数列1如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比2在与中间插入一个数，使，成等比数列，则称为与的等比中项若，则称为与的等比中项3若等比数列的首项是，公比是，则4通项公式的变形：；5若是等比数列，且（、），则；若是等比数列，且（、），则6等比数列的前项和的公式：7等比数列的前项和的性质：若项数为，则，成等比数列（3）数列求和的方法：错位相减法。三、例题精析考点一 等差数列的通项和求和【例题1】：已知等差数列中，公差,求数列an的通项公式【答案】：【解析】：由通项公式。【例题2】：等差数列前9项的和等于前4项的和若，则_.【答案】：10【解析】：设等差数列公差为d，则，a5a6a7a8a90，得k10.考点二 等比数列的通项和求和【例题3】：已知等比数列中，求数列的通项公式；【答案】：或【解析】：设等比数列的公比为，则,或【例题4】：设等比数列的前n项和为。若，则= 【答案】：3【解析】：等比数列的性质及求和运算，由得。考点三 等差数列和等比数列的证明【例题5】：在数列中，nN)设，证明：数列是等比数列；【答案】：如下【证明】：，可转化为，得，数列是首项和公比2，首项-2的等比数列【例题6】：在数列中，（nN)设，证明：数列是等差数列；【答案】：如下【证明】：，1，得，b11，数列是首项和公差均为1的等差数列考点四 等差中有等比，等比中有等差【例题7】：设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）若对于任意的，成等比数列，求的值【答案】：（1）（2）【解析】：解（）当，（） 经验，（）式成立，（）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 【例题8】：已知实数列是等比数列,其中成等差数列.()求数列的通项公式;()数列的前项和记为证明: 【答案】：【解析】：（1）由题意，得，整理，得，。（2）考点五 错位相加法【例题9】：已知数列满足：，求数列的求和【答案】：【解析】：根据题意：，两式相减得：，【例题10】：等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （2）当b=2时，记 求数列的前项和【答案】：（1）；（2）【解析】：因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则， 相减,得，所以考点六 数列综合题型【例题11】：数列的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）证明：()数列是等比数列；()Sn14an【证明】：（1）由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知a2=S1=3a1, ,，又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，)，nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，).故数列是首项为1，公比为2的等比数列。（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，则=2n-1,Sn+1=(n+1)2n(n1)而an+1=Sn(n=1,2,3，)，则an=Sn-1=(n-1)2n-2=(n+1)2n-2(n=2,3，), Sn+1=4an. 又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数都有Sn+1=4an. 【例题12】：已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.【答案】：（2）15【解析】：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn+1Sn，得，最小正整数n=15考点七 数列中的不等式【例题13】：已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1.（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对任意的整数m4，有.【答案】：【解析】：（1）由已知得：化简得：，上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.（2）由已知得：.故.【例题14】：设函数数列满足，（1）证明：；（2）设，整数证明：【答案】：如下【证明】：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立.（）证明：由可得1若存在某满足，则由知：2若对任意都有，则，即成立.四、课堂练习【基础型】1设等比数列的公比，前项和为，则 答案：15解析：对于.2设等比数列的前n项和为。若，则= 答案：3解析：等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。3设为等差数列的前项和，若，则 。答案：15解析：根据等差数列的特点， ,解得， 【巩固型】1若数列满足：，前8项的和 .答案 :225解析:，易知2设为数列的前项和，其中是常数 （I） 求及； （II）若对于任意的，成等比数列，求的值答案：（1）（2）解析：（）当，（） 经验，（）式成立，（）成等比数列，即，整理得：，对任意的成立， 3等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列（1）求的公比q；（2）求3，求 答案：（1）（2）解析：（）依题意有 由于 ，故，又，从而 （）由已知可得 故，从而【提高型】1已知数列的前n项和为，且满足，求的表达式。答案：解析：等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2为首项，以2为公差的等差数列，由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,当n2时，=2=。又，不适合上式，故。2数列的前n项和，数列满 .（）证明数列为等比数列；（）求数列的前n项和Tn。答案：解析：（）由，两式相减得：，同定义知是首项为1，公比为2的等比数列. （） 等式左、右两边分别相加得：=3设数列满足a10且，(1)求的通项公式；(2)设，记为数列的前n项和，证明：Sn1.答案：解析：(1)由题设，即是公差为1的等差数列又1，故n.所以.(2) 由(1)得，()10，由1式解出an（2）由SnTn为使SnTn为整数，当且仅当为整数.当n1,2时，显然SnTn不为整数，当n3时， 只需为整数，因为3n1与3互质，所以为9的整数倍.当n9时，13为整数，故n的最小值为9.5已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1. (I) 证明 an +是等比数列，并求an的通项公式。 (II) 证明答案：解析：首项为，公比为3的等比数列(2）由（1）知当时，五、课程小结本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础的形式考查，难度中等，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，等比数列的重点是在其他知识上的应用。（1）等差数列的通项和求和（2）等比数列的通项和求和（3）等差和等比数列的综合（4）数列中的不等式（5）数列的综合问题六、课后作业【基础型】1已知等比数列,若，若求的值.答案：5解析：因为，得，条件变形为即，又因为，所以.2等差数列中,设，求数列的前n项和。答案：解析：设等差数列的公差为d,则 因为,所以. 解得,. 所以的通项公式为. , 所以. 3已知数列的前项和，证明：答案：如下证明：当时，；当时，。4已知等差数列an的前n项和为，若，则的值为（ ）答案:B解析：根据等差数列的特点：【巩固型】4等比数列中，已知 （I）求数列的通项公式； （）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。答案：（1）（2）解析：（I）设的公比为，由已知得，解得，（）由（I）得，则，设的公差为，则有解得， 从而，所以数列的前项和5已知数列满足， .令，证明：是等比数列；()求的通项公式。答案：（2）解析：（1） 当时，所以是以1为首项，为公比的等比数列。（2）解由（1）知当时，当时，所以。6已知是公比为q的等比数列，且成等差数列. （）求q的值；（）设是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n2时，比较Sn与的大小，并说明理由.答案：解析：（）由题设 （）若当时，故若，则，当故对于7已知等差数列的前项和为，（1）求的值；（2）若与的等差中项为，满足，求数列的前项和答案：（1）（2）解析：()解法一：当时，,当时,.是等差数列,解法二：当时,当时,.当时,.又,所以,得.()解：,.又,又得.,即是等比数列.所以数列的前项和.【提高型】8设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。答案：解析：（I）由及，有，由，则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公比为的等比数列， 9设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式答案：解析：由题意知，且，两式相减得，即。（）当时，由知，于是 ，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得，因此得10设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：答案：a1=2，an=4n2n解析: ()由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an12n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, ,()将an=4n2n代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1)，Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) 。