等差及等比数列综合应用(教案).doc

个性化教案
等差和等比数列的综合应用
适用学科
数学
适用年级
高一年级
适用区域
全国
课时时长（分钟）
120
知识点
1递推公式
2等比数列通项公式和求和公式
3等差数列通项公式和求和公式
4 等查与等比的综合问题
教学目标
1 理解和掌握等查和等比数列是高考的一个重点。
2 能应用常用的方法来正确来研究等比数列,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力.
3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，
合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动
脑和动手的良好品质
教学重点
等比数列通项公式和求和公式，等差数列通项公式和求和公式
教学难点
等查和等比的综合问题

教学过程
一、复习预习
已知数列的前项和，即

‚
 -‚得（递推公式）。

二、知识讲解
（1）等差数列
1如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．
2由三个数，，组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则称为与的等差中项．若，则称为与的等差中项．
3若等差数列的首项是，公差是，则．
4通项公式的变形：①；②；③；
④；⑤．
5若是等差数列，且（、、、），则；若是等差数列，且（、、），则．
6等差数列的前项和的公式：①；②．
7等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为，则，且，（其中，）．
（2）等比数列
1如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
2在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则称为与的等比中项．若，则称为与的等比中项．
3若等比数列的首项是，公比是，则．
4通项公式的变形：①；②；③；④．
5若是等比数列，且（、、、），则；若是等比数列，且（、、），则．
6等比数列的前项和的公式：．
7等比数列的前项和的性质：①若项数为，则．
②．③，，成等比数列．
（3）数列求和的方法：错位相减法
。

三、例题精析
考点一 等差数列的通项和求和
【例题1】：已知等差数列中，公差,求数列{an}的通项公式
【答案】：
【解析】：由通项公式。
【例题2】：等差数列前9项的和等于前4项的和．若，则_______.
【答案】：10
【解析】：设等差数列公差为d，则，∵，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴，∴，得k＝10.

考点二 等比数列的通项和求和
【例题3】：已知等比数列中，求数列的通项公式；
【答案】：或
【解析】：设等比数列的公比为，则,∴或
【例题4】：设等比数列{}的前n项和为。若，则=
【答案】：3
【解析】：等比数列的性质及求和运算，由得。

考点三 等差数列和等比数列的证明
【例题5】：在数列中，，n∈N＋)．设，证明：数列是等比数列；
【答案】：如下
【证明】：∵，可转化为，得，
∴数列是首项和公比2，首项-2的等比数列．
【例题6】：在数列中，，（n∈N＋)．设，证明：数列是等差数列；
【答案】：如下
【证明】：∵，∴＝＋1，得，b1＝＝1，
∴数列是首项和公差均为1的等差数列．

考点四 等差中有等比，等比中有等差
【例题7】：设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I） 求及； （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
【答案】：（1）（2）
【解析】：解（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
【例题8】：已知实数列是等比数列,其中成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)数列的前项和记为证明:
【答案】：
【解析】：（1）由题意，得，整理，得，
∴，∴。
（2）

考点五 错位相加法
【例题9】：已知数列满足：，求数列的求和
【答案】：
【解析】：根据题意：，，，两式相减得：，，
【例题10】：等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值； （2）当b=2时，记 求数列的前项和
【答案】：（1）；（2）
【解析】：因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则，
相减,得
，所以

考点六 数列综合题型
【例题11】：数列的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n＝1，2，3，…）．证明：(Ⅰ)数列{}是等比数列；(Ⅱ)Sn＋1＝4an．
【证明】：（1）由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，…)，知a2=S1=3a1,, ,∴，又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，…),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，…)，∴nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，…).故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列。
（2）由数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，则=2n-1,∴Sn+1=(n+1)2n(n≥1)
而an+1=Sn(n=1,2,3，…)，则an=Sn-1=·(n-1)2n-2=(n+1)2n-2(n=2,3，…), ∴Sn+1=4an. 又a2=3S1=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数都有Sn+1=4an.
【例题12】：已知数列的前项和为，且，
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
【答案】：（2）15
【解析】：(1) 当n=1时，a1=-14；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
(2) 由(1)知：，得，从而(nÎN*)；
由Sn+1>Sn，得，，最小正整数n=15．

考点七 数列中的不等式
【例题13】：已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n≥1.
（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对任意的整数m>4，有.
【答案】：
【解析】：（1）由已知得：
化简得：，上式可化为：
故数列{}是以为首项, 公比为2的等比数列.
故 ∴
数列{}的通项公式为：.
（2）由已知得：

.故.
【例题14】：设函数．数列满足，．
（1）证明：；（2）设，整数．证明：．
【答案】：如下
【证明】：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，，

由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立；
（ⅱ）假设当时，成立，即
那么当时，由在区间是增函数，得
.而，则，
，也就是说当时，也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立.
（Ⅲ）证明：由．可得

1若存在某满足，则由⑵知：
2若对任意都有，则

，即成立.

四、课堂练习
【基础型】
1设等比数列的公比，前项和为，则 ．
答案：15
解析：对于.
2设等比数列{}的前n项和为。若，则=
答案：3
解析：等比数列的性质及求和运算，由得q3=3故a4=a1q3=3。
3设为等差数列的前项和，若，则 。
答案：15
解析：根据等差数列的特点， ,解得，

【巩固型】
1若数列满足：，前8项的和 .
答案 :225
解析:，易知
2设为数列的前项和，，，其中是常数．
（I） 求及； （II）若对于任意的，，，成等比数列，求的值．
答案：（1）（2）
解析：（Ⅰ）当，
（）
经验，（）式成立，
（Ⅱ）成等比数列，，
即，整理得：，
对任意的成立，
3等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q；（2）求－＝3，求
答案：（1）（2）
解析：（Ⅰ）依题意有
由于 ，故，又，从而
（Ⅱ）由已知可得 故，从而

【提高型】
1已知数列{}的前n项和为，且满足，求的表达式。
答案：
解析：等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n≥2）.∴{}是以==2为首项，以2为公差的等差数列，由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴=,当n≥2时，=2·=。又∵，不适合上式，故。
2数列的前n项和，数列满 .
（Ⅰ）证明数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和Tn。
答案：
解析：（Ⅰ）由，
两式相减得：，
同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.
（Ⅱ）
等式左、右两边分别相加得：

=
3设数列满足a1＝0且，(1)求的通项公式；
(2)设，记为数列的前n项和，证明：Sn<1.
答案：
解析：(1)由题设，即{}是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.所以.
(2) 由(1)得，(－)＝1－<1.
4已知各项均为正数的数列，满足：，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
解：（1）条件可化为，因此｛｝为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以＝
因an>0，由1°式解出an＝
（2）由Sn＋Tn＝
＝＝
为使Sn＋Tn＝为整数，当且仅当为整数.
当n＝1,2时，显然Sn＋Tn不为整数，
当n³3时，＝ ＝
\只需＝为整数，因为3n－1与3互质，所以
为9的整数倍.当n＝9时，＝13为整数，故n的最小值为9.
5已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.
(I) 证明{ an +}是等比数列，并求{an}的通项公式。
(II) 证明
答案：
解析：
首项为，公比为3的等比数列
(2）由（1）知当时，

五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以基础的形式考查，难度中等，所以需要学生要准确的理解知识点，灵活并熟练地掌握考查的对象以及与其他知识之间的综合，等比数列的重点是在其他知识上的应用。
（1）等差数列的通项和求和
（2）等比数列的通项和求和
（3）等差和等比数列的综合
（4）数列中的不等式
（5）数列的综合问题

六、课后作业
【基础型】
1已知等比数列{},若，若求的值.
答案：5
解析：因为，得，，条件变形为即，又因为，所以.
2等差数列中,设，求数列的前n项和。
答案：
解析：设等差数列的公差为d,则
因为,所以. 解得,.
所以的通项公式为. ,
所以.
3已知数列的前项和，证明：．
答案：如下
证明：当时，；当时，，
。
4已知等差数列{an}的前n项和为，若，则的值为（ ）
答案:B
解析：根据等差数列的特点：
【巩固型】
4等比数列中，已知
（I）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
答案：（1）（2）
解析：（I）设的公比为，由已知得，解得，
（Ⅱ）由（I）得，，则，，设的公差为，则有解得， 从而，所以数列的前项和
5已知数列满足， .
令，证明：是等比数列；(Ⅱ)求的通项公式。
答案：（2）
解析：
（1） 当时，
所以是以1为首项，为公比的等比数列。
（2）解由（1）知
当时，

当时，，所以。
6已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与的大小，并说明理由.
答案：
解析：（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若当时，，故若，则，当
故对于
7已知等差数列的前项和为，．
（1）求的值；
（2）若与的等差中项为，满足，求数列的前项和．
答案：（1）（2）
解析：(Ⅰ)解法一：当时，,
当时,.
是等差数列,,
解法二：当时,,
当时,.
当时,.
.又,所以,得.
(Ⅱ)解：,.又,,
·又得.,,即是等比数列.所以数列的前项和.··

【提高型】
8设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。
答案：
解析：（I）由及，有
，由，则当时，有
②－①得
又，是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，数列是首项为，公比为的等比数列．，
9设数列的前项和为，已知
（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式
答案：
解析：由题意知，且，
两式相减得，即。
（Ⅰ）当时，由①知，于是
，又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，即
当时，由由①得
，因此
得
10设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：
答案：a1=2，an=4n－2n
解析: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,
(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2)
= ×(2n+1－1)(2n－1)，Tn= = × = ×( － )
所以, = － ) = ×( － ) < 。