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电磁感应中的单杆问题
汉川实验高中 刘玉平
教学目标：
（一）知识与技能
掌握电磁感应中的力学问题的求解方法.
（二）过程与方法
通过电磁感应中的力学问题的学习，掌握运用理论知识探究问题的方法。
（三）情感、态度与价值观
通过电磁感应中的力学问题的学习，培养学生对不同事物进行分析，找出共性与个性的辩证唯物主义思想。
教学重点：电磁感应中的力学问题的求解方法.
教学难点：电磁感应中的力学问题的求解方法.
教学方法：探究法、归纳法
教学用具：多媒体电脑、投影仪、投影片。
教学过程：
（一）知识复习
1.法拉第电磁感应定律的内容：
感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
公式（感应电动势的大小）
2.导体做切割磁感线运动时，若B、L、v中只有两者相互垂直，v与B有一夹角θ，导体棒中感应电动势的大小sinθ
3.将产生感应电动势的那部分导体（或线圈）看作电源，感应电动势就是电源电动势，导体或线圈的电阻就是电源内阻，导体或线圈两端的电压要按路端电压来处理（导体或线圈在此时是一段含电源的电路，不是纯电阻电路，不能直接套用欧姆定律I=）.
4.感应电流的大小由感应电动势的大小和电路的总电阻决定，符合闭合电路的欧姆定律。
5.在电磁感应现象中，电路闭合有感应电流，电路不闭合虽没有感应电流，但感应电动势仍然存在，感应电动势是闭合回路产生感应电流的原因．
6. 通电导线在磁场中受到的安培力F=BILsinθ，根据左手定则判断安培力的方向。
7.对于电磁感应现象中的力的问题，可用牛顿第二定律或动量定理求解。
8.对于电磁感应现象中的力的问题，可用焦耳定律、动能定理或能量守恒定律等求解。
（二）例题精讲
【例1】如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析：
（1）导线ab的加速度的最大值和速度的最大值多大？
（2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）．
解析:（1）在S刚闭合的瞬间，导线ab速度为零，没有电磁感应现象，由a到b的电流A，ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度m/s2．
ab运动起来且将发生电磁感应现象．ab向右运动的速度为υ时，感应电动势，根据右手定则，ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反．电路中的电流（顺时针方向，）将减小（小于I0=1.5A），ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小．尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动．
可见，在S刚闭合的瞬间，ab加速度最大。最大值为m/s2．
当感应电动势与电池电动势E相等时，ab的速度达到最大值。设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：
所以m/s=3.75m/s．
（2）如果ab以恒定速度m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势
V=3V
由于＞，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：
A=1.5A
直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N
所以要使ab以恒定速度m/s向右运动，必须有水平向右的恒力N作用于ab．
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
①作用于ab的恒力（F）的功率：W=4.5W
②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：W=2.25W
③逆时针方向的电流，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：W=2.25W
由上看出，，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．
【例2】 如图所示，水平固定的光滑U形金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．现给棒ab一个初速度υ0，使棒始终垂直框架并
沿框架运动，如图甲所示．
（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量；
（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？
（3）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移；
（4）如果将U形金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图乙所示．求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）．
解析：（1）由动量定理得 即 所以
由能量守恒定律得
（2）设此时杆的速度为v，由动能定理有： 而Q＝
解之
由牛顿第二定律及闭合电路欧姆定律 得

（3）
所以
（4）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速到某一速度v时，ab棒两端产生的感应电动势与电容器两板间的电势差相等， 即 BLv=UC=
此时回路中不再有充放电电流，ab棒就不再受安培力的作用，而是以速度v做匀速运动，系统内外不再发生任何能量的转化.
而对导体棒ab利用动量定理可得： -BL=mv-mv0
由上述二式可求得：

【例3】如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度。已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。
解析：ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是（为增大符号），所以这是个变加速过程，当加速度减到a=0时，其速度即增到最大v=vm，此时必将处于平衡状态，以后将以vm匀速下滑
ab下滑时因切割磁感线，要产生感应电动势，根据电磁感应定律： E=BLv ①
闭合电路AC ba中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律： I=E/R ②
据右手定则可判定感应电流方向为aAC ba，再据左手定则判断它受的安培力F安方向如图示，其大小为： F安=BIL ③
取平行和垂直导轨的两个方向对ab所受的力进行正交分解，应有：
FN = mgcosθ Ff= μmgcosθ
由①②③可得
以ab为研究对象，根据牛顿第二定律应有：
mgsinθ –μmgcosθ-=ma
ab做加速度减小的变加速运动，当a=0时速度达最大
因此，ab达到vm时应有： mgsinθ –μmgcosθ-=0 ④
由④式可解得
注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。
（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。
【例4】如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端分别与电源（串有一滑动变阻器R)、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关S相连．整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B。一质量为m，电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上．已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R0，不计导轨的电阻．
(1)当S接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止，则滑动变阻器接入电路的阻值R多大？
(2)当S接2后，金属棒ab从静止开始下落，下落距离s时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落s的过程中所需的时间为多少？
(3)先把开关S接通2，待ab达到稳定速度后，再将开关S接到3．试通过推导，说明ab棒此后的运动性质如何？
解析：(1) ，得
(2) ，得
由动量定理得，其中
得
（3）S接3后的充电电流为，，得=常量。
所以ab棒做"匀加速直线运动"，电流是恒定的．
(三）课堂练习与课后作业
1．图所示中回路竖直放在匀强磁场中，磁场的方向垂直于回路平面向外，导线AC可以贴着光滑竖直长导线下滑，设回路的总电阻恒定为R，当导线AC从静止开始下落后，下面有关回路中能量转化的叙述中正确的说法有（ CD ）
（A）导线下落过程中机械能守恒
（B）导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化电阻上产生的热量
（C）导线加速下落过程中，导线减少的重力势能转化为导线增加的动能和回路中增加的内能
（D）导线达到稳定速度后的下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为回路中增加的内能
2．在如图所示甲、乙、丙三图中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略不计，导体棒和导轨间的摩擦也忽略不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长.今给导体棒ab一个向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（B）

A.三种情形下导体棒ab最终均做匀速运动
B.甲、丙中ab棒最终将以不同的速度做匀速运动，乙中ab棒最终静止
C.甲、丙中ab棒最终将以相同的速度做匀速运动，乙中ab棒最终静止
D.三种情形下ab棒最终都静止
解析：甲图中电容器充电完毕后，ab棒将以某一速度向右匀速运动，丙图中ab棒稳定运动时，电路中的电流为0，必须以某一速度向左运动，乙图中ab棒做匀减速运动直至静止.
3．在方向水平的、磁感应强度为0.5 T的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道cd、ef，其宽度为1 m，其下端与电动势为12 V、内电阻为1 Ω的电源相接，质量为0.1 kg的金属棒MN的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g=10 m／s2，从S闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中　（ CD　 ）　　　　
A．电源所做的功等于金属棒重力势能的增加　　　
B．电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热
C．匀速运动时速度为20 m／s　　　　　　　　　
D．匀速运动时电路中的电流强度大小是2 A

4．如图所示，金属框架与水平面成30°角，匀强磁场的磁感强度B=0.4T，方向垂直框架平面向上，金属棒长l＝0.5m，重量为0.1N，可以在框架上无摩擦地滑动，棒与框架的总电阻为2Ω，运动时可认为不变，问：
　　(1)要棒以2m／s的速度沿斜面向上滑行，应在棒上加多大沿框架平面方向的外力？
　　(2)当棒运动到某位置时，外力突然消失，棒将如何运动？
　　(3)棒匀速运动时的速度多大？
　　(4)达到最大速度时，电路的电功率多大？重力的功率多大？
5．MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0.40m，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直．质量m为6.0×10-3kg、电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3.0Ω的电阻R1．当杆ab达到稳定状态时以速率υ匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率υ和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2．
解析：由能量守恒，有mgv=P 代入数据v=4.5 m/s
又E=BLv 设电阻R1与R2的并联电阻为R外，ab棒的电阻为r，有

答案：v=4.5 m/s R2=6.0 Ω

6.(05江西模拟) 水平面上有两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（如图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场垂直纸面向内。用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关系如图8所示，取重力加速度，求：
（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？
（2）若；磁感应强度B为多大？
（3）由图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？
解析：（1）物体在运动的过程中，速度越来越大，电动势也越来越大，所以安培力也越来越大，故加速度越来越小，当外力F等于安培力时，加速度等于0，从此以后开始做匀速运动。答案为变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动）。
（2）感应电动势 感应电流
安培力
由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零。
所以
由图线可以得到直线的斜率，所以：
（3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力：
若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动摩擦因素

7．如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为r0，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为．有垂直纸面向里的非匀强磁场，其磁感应强度沿y方向大小不变，沿x方向均匀增强，即有，其中为常数．一根质量为m，电阻不计的金属杆MN可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中 始终保持与导轨垂直．在t＝0时刻，金属杆MN紧靠在P、Q端，在外力F作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动．求:
（1）在t时刻金属杆MN产生的感应电动势大小；
（2）在t时刻流经回路的感应电流大小和方向；
（3）在t时刻金属杆MN所受的安培力大小．

答案： （1）E=skla2t3/2 （2）I=klat/2r0 方向逆时针 （3）F=k2a2l2t3/4r0
9．如图所示，导轨是水平的，其间距l1=0.5m，ab杆与导轨左端的距离l2=0.8m，由导轨与ab杆所构成的回路电阻为0.2Ω，方向垂直导轨平面向下的匀强磁场的磁感应强度B0=1T，滑轮下挂一个重物M质量为0.04kg，ab杆与导轨之间的摩擦不计，现使磁场以的变化率均匀的增大， 问：当t为多少时，M刚离开地面。
解析：闭合回路的磁通量发生变化，要产生感应电流，在磁场中受到安培力的作用，当绳子绷紧，物体M刚要离开地面时，绳子中拉力大小F1应等于重力大小，也等于棒ab所受的安培力F2的大小，即
而，从而得
其中，
代入数据得
10．如图所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量为C的电容器，框架上有一质量为m，长为L的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为h，磁感应强度为B的匀强磁场与框架平面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，问棒落地时的速度多大？落地时间多长？
解析：此题主要用来考查考生对匀变速直线运动的理解，这种将其电容和导棒有机地综合在一起，使之成为一种新的题型．从另一个侧面来寻找电流的关系式，更有一种突破常规思维的创新，因而此题很具有代表性．
经分析，导棒在重力作用下下落，下落的同时产生了感应电动势．由于电容器的存在，在棒上产生充电电流，棒将受安培力的作用，因此，棒在重力作用和安培力的合力作用下向下运动，由牛顿第二定律∑F=ma，得故mg–FB=ma ①，FB=BiL ②．
由于棒做加速运动，故v、a、ε、FB均为同一时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为Q=C·ε，而ε=BLv．设在时间△t内，棒上电动势的变化量为△ε，电容器上电量的增加量为△Q，显然△ε=BL△v ③，△Q=C·△ε ④，再根据电流的定义式 ⑤， ⑤′，联立①~⑤′得：⑥
由⑥式可知，a与运动时间无关，且是一个恒量，故棒做初速度为零的匀加速直线运动，其落地速度为v，则 ⑦，将⑥代入⑦得： ⑧，落地时间可由，得，将⑥代入上式得．
评析：本题应用了微元法求出△Q与△v的关系，又利用电流和加速度的定义式，使电流i和加速度a有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉．读后使人颇受启示．
11．如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4 m，上、下两端各有一个电阻R0＝1 Ω，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B＝2T.ab为金属杆，其长度为L＝0.4 m，质量m＝0.8 kg，电阻r＝0.5Ω，棒与框架的动摩擦因数μ＝0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R0产生的热量Q0＝0.375J(已知sin37°＝0.6，cos37°=0.8；g取10m／s2)求：
(1)杆ab的最大速度；
(2)从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.
解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。
（1） 杆ab达到平衡时的速度即为最大速度v，这时
mgsinθ—F— =0，N=mgcosθ
∴F=mg（sinθ—μcosθ）
总电阻，，，
，得

克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即
，
由动能定理：

通过ab的电荷量　，代入数据得q＝2 C
12． 如图所示，倾角θ=30º、宽度L=1m的足够长的“U”形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B =1T，范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。用平行于轨道的牵引力拉一根质量m =0.2㎏、电阻R =1Ω的垂直放在导轨上的金属棒a b，使之由静止开始沿轨道向上运动。牵引力做功的功率恒为6W，当金属棒移动2.8m时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8J，不计导轨电阻及一切摩擦，取g=10m/s2。求：
（1）金属棒达到稳定时速度是多大？
（2）金属棒从静止达到稳定速度时所需的时间多长?
解：（1）金属棒沿斜面上升达稳定速度时，设所受的安培力为F安，由平衡条件得：
F=mgsinθ+F安
而F安=BIL=B L 又
联立以上三式解得v = 2m/s
（2）由能量转化与守恒定律可得 Pt = mgssinθ++Q
代入数据解得：t =1.5s
13．如图 ，二相互平行的光滑金属导轨位于水平面内，间距，在导轨的一端接有阻值为的电阻；在区域有一与水平面垂直的均匀磁场；一质量为的金属杆垂直放置在导轨上并以的初速度进入磁场中，在安培力及垂直于杆的水平外力F共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为方向与初速度方向相反；设导轨及金属杆的电阻均不计且接触良好求：（1）电流为0时金属杆所处的位置？（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小及方向？（3）保持其它条件不变而初速度取不同值，则开始时外力F的方向与初速度取值的关系？
 　　解析：由题意知杆必向右作匀减速直线运动到速度为0后再向左作匀加速直线运动直到离开磁场区域，故电流为0时表示杆的速度为0；
　杆向右匀减速直线运动的位移为得；杆的运动速度变化时电路中的电动势变化，故电流相应变化，由电动势有杆运动的速度最大则电路中感应电动势最大、电流最大，即最大电流必为；当电流为最大值的一半时即时：
 　　①若此时杆向右运动，则外力方向不定，我们假设外力F水平向右由牛顿定律有即，故杆向右运动中外力F大小为0．18N方向水平向左；②若此时杆向左运动，则外力F方向必水平向左且有即代入数据得。
 　　（3）杆开始运动时速度为，则电动势为，故安培力为；那么对杆由牛顿定律有即：
 　　当即时，表示外力F方向与X轴方向相反；

　　当即时，表示外力F方向与X轴方向相同.

8．如图所示，在磁感强度为0.1T的匀强磁场中有一个与之垂直的金属框ABCD，框电阻不计，上面接一个长0.1m的可滑动的金属丝ab，已知金属丝质量为0.2g，电阻R＝0.2Ω，不计阻力，当导体ab从静止开始下落后，（1）试定性分析ab下落的整个运动过程；（2）导体ab下落的稳定速度；（3）试定性分析导体从静止达到稳定速度过程中的能量转化；（4）导体稳定后电路的热功率。（5）若在R处加一开关K，ab下落时间t后再合上K，ab的运动可能会怎样？
解析：（1）mg –ILB=ma I=E/R E=BL V 联立三式得：mg –B2L2 V /R= ma
可见，随着V的增大， 加速度a减小，当mg= B2L2 V /R 即当Vm=mgR/B2L2时速度达到最大，此后导体ab将以最大速度匀速下落。
故导体ab先作加速度减小的变减速运动，然后作匀速运动。
（2）mg=ILB I=E/R E=BL Vm 联立三式得：Vm=mgR/B2L2=4m／s
(3)重力势能转化电能和导体棒的动能；
（4）导体稳定后，重力势能全部转化为电能，重力的功率就等于电功率。P=m2g2R/B2L2
(5)FA= B2L2 /R 若FA＞mg作变减速运动；若FA＜mg 变加速运动；若FA=mg 匀速运动。翰
 变式1：将上题的框架竖直倒放，使框平面放成与水平成30°角，不计阻力，B垂直于框平面，求v？(2m／s)
变式2：上题中若ab框间有摩擦阻力，且μ＝0.2，求v？(1.3m／s)
变式3：若不计摩擦，而将B方向改为竖直向上，求v？(2.67m／s)
变式4：若此时再加摩擦μ＝0.2，求v？(1.6m／s)
变式5：如在原题中的AC中间加ε＝0.3v、r＝0.8Ω的电池，求v？
变式6：如在变式2中的AC中间加ε＝0.3v、r＝0.8Ω的电池，求v？(20m／s)
变式7：上题中若有摩擦，μ＝0.2，求v？
变式8：B改为竖直向上，求v？
变式9：将电池ε反接时的各种情况下，求v？
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