九年级数学上册 2.1花边有多宽第一课时教案 北师大版.doc

2.1花边有多宽 方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位 本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解 本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解2.1花边有多宽(一)教学目标 (一)教学知识点 1一元二次方程的概念 2一元二次方程的有关概念 (二)能力训练要求 1经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型 2理解一元二次方程的概念 (三)情感与价值观要求 从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识教学重点 一元二次方程的概念a0教学难点 一元二次方程的概念:a0教学方法 启发诱导式教具准备 投影片四张 第一张：花边有多宽(记作投影片211 A) 第二张：数学问题(记作投影片211 B) 第三张：实际问题(记作投影片211 C) 第四张：想一想(记作投影片211 D)教学过程 创设现实情景、引入新课 师前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗? 生黄金比是0.618 师很好，你知道黄金比为什么是0618吗? 师好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗? 从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程 与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型 下面我们来学习第一节：花边有多宽 讲授新课 师我们来看一个实际问题 (出示投影片211 A)；大家来讨论讨论一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?生我们可以利用列方程来求解 师很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法 生要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系 这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2 这个题所要求的是；地毯的花边有多宽 本题是以面积为等量关系 师这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程 师生共析如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程 (8-2x)(5-2x)18 注意： 1利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽 2用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等 师好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片 211 B)：观察下面等式102+112+122132+142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗? 生这个题我们也可以利用数量关系列方程 师很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢? 生甲因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4 生乙根据题意，则可得到方程 x2+(x+1)2+(x+2)2 =(x+3)2+(x+4)2 生丙老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程 (x-2)2+(x-1)2+x2 (x+1)2+(x+2)2 这样行吗? 师丙同学的思路很好， 这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化 下面我们来看一个实际问题(出示投影片211 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米? 师同学们分组讨论，列出方程 生甲墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m 生乙设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程 (x+6)2+(8-1)2102， 即(x+6)2+72102 师同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片 211 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72102 这三个方程有什么共同特点? 生甲这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式 生乙我把这三个方程进行了化简，即 (1)(8-2x)(5-2x)18， 40-26x+4x218， 4x2-26x+220 (2)x2+(x+1)2+(x+2)2 (x+3)2+(x+4)2， x2+x2+2x+1+x2+4x+4 =x2+6x+9+x2+8x+16， x2-8x-200 (3)(x+6)2+72=102， x2+12x+36+49=100， x2+12x-15=0 由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和 生丙把这三个方程经过化简后，最高次数是二次 生丁这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数 师同学们总结得很好上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程这三个方程还都可以化为ax2+bx+c0(a、b、c为常数，a0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 注意： 1一元二次方程必须同时满足以下三点； (1)方程是整式方程 (2)它只含有一个未知数 (3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a0 2任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0(a0)的形式,其中a0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了 因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0a0的形式，所以我们把ax2+bx+cO(a、b、c为常数，a0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数 注意： (1)当a0，b0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a0. (2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式 应用、深化 课本P43随堂练习 1从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了你知道竹竿有多长吗? 请根据这一问题列出方程 解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2(x-4)2+(x-2)2， 即x2-12x+20=0 2把方程(3x+2)24(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：方程(3x+2)24(x-3)2的一般形式是5x2+36x-320 方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32 课时小结 本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念 1一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a0)的形式 2一元二次方程的一般形式为ax2+bx+cO(a0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的 3在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性 .课后作业 (一)课本P44习题21 1、2 (二)1预习内容：P44-P46 2预习提纲 探索一元二次方程的解或近似解， 活动与探究 1当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是一元一次方程? 过程让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c0，当a0时是一元二次方程；当a0且b0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程 结果 当a1时，方程(a-1)x2-bx+c0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b 当a=1且b0时，方程是一元一次方程板书设计2.1花边有多宽(一)一、1设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m根据题意，可得(8-2x)(5-2x)182设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2(x+3)2+(x+4)23设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m根据题意，可得(x+6)2+72102二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数(2)整式方程(3)可化为ax2+bx+c0三、1一元二次方程的定义2一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c0(a0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业