八年级数学下册 第9章 二次根式 9.3 二次根式的乘法与除法教案 （新版）青岛版-（新版）青岛版初中八年级下册数学教案.doc

9.3 二次根式的乘法与除法（1）
教学内容： ·＝（a≥0，b≥0），反之=·（a≥0，b≥0）及其运用．
教学目标
知识与技能目标：理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
过程与方法目标：由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点关键
重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．
难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．
关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与算术平方根的乘法进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟二次根式的乘法法则，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学完成下列各题．
1．填空
（1）×=_______，=______；
（2）×=_______，=________．
（3）×=________，=_______．
参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
×_____，×_____，×________
2．利用计算器计算填空
（1）×______，（2）×______，
（3）×______，（4）×______，
（5）×______．
老师点评（纠正学生练习中的错误）
二、探索新知
（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为： ·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: =·（a≥0，b≥0）
例1．计算
（1）× （2）× （3）× （4）×
分析：直接利用·＝（a≥0，b≥0）计算即可．
解：（1）×=；
（2）×==；
（3）×==9；
（4）×==.
例2、 化简：
（1） ； （2） ； （3）；
（4）； （5）.
分析：利用=·（a≥0，b≥0）直接化简即可．
解：（1）=×=3×4=12；
（2）=×=4×9=36；
（3）=×=9×10=90 ；
（4）=×=××=3xy；
（5）==×=3.
三、巩固练习
（1）计算：① × ； ②3×2 ； ③·；
(2) 化简: ； ； ； ； .
四、应用拓展
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：
（1）；
（2）×=4××=4×=4=8；
解：（1）不正确．
改正：=＝×=2×3=6；
（2）不正确．
改正：×=×===＝4.
五、归纳小结：本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．
六、布置作业：一、选择题
1．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（ ）．
A．3cm B．3cm C．9cm D．27cm
2．化简a的结果是（ ）．
A． B． C．- D．-
3．等式成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1
4．下列各等式成立的是（ ）．
A．4×2=8 B．5×4=20
C．4×3=7 D．5×4=20
二、填空题：1．=_______．
2．自由落体的公式为S=gt2（g为重力加速度，它的值为10m/s2），若物体下落的高度为720m，则下落的时间是_________．
三、综合提高题：1．一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．
（1）2=
验证：2=×==
==
（2）3=
验证：3=×==
==
同理可得：4
5，……
通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．
答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D；二、1．13 2．12s
三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，
则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，
x=×=30． 2． a=
验证：a=
===.
板书设计：
16．2 二次根式的乘除（1）
情境引入 例2 学生板演

·＝（a≥0，b≥0）， 例3
反之=·（a≥0，b≥0）．
例1 练习 小结

9.3 二次根式的乘法与除法（2）
教学内容
=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
教学目标
知识与技能目标：理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
过程与方法目标：利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点关键:1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与商的平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟二次根式的除法法则，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程： 一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题：
1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．
2．填空
（1）=________，=_________；（2）=________，=________；
（3）=________，=_________；（4）=________，=________．
规律：______；______；_______；
_______．
3．利用计算器计算填空:
（1）=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________．
规律：______；_______；_____；_____。
二、探索新知
一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0），
反过来，=（a≥0，b>0）
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1．计算：（1） （2） （3） （4）
分析：上面4小题利用=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
解：（1）===2
（2）==×=2
（3）===2
（4）===2
例2．化简：
（1） （2） （3） （4）
分析：直接利用=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．
解：（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
三、应用拓展
例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值．
分析：式子=，只有a≥0，b>0时才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．
解：由题意得，即
∴6<x≤9
∵x为偶数
∴x=8
∴原式=（1+x）
=（1+x）
=（1+x）=
∴当x=8时，原式的值==6．
四、归纳小结
本节课要掌握=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用．
五、布置作业
一、选择题
1．计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
2．阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（ ）．
A．2 B．6 C． D．
二、填空题
1．分母有理化:(1) =_________;(2) =________;(3) =______.
2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．
三、综合提高题
1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，现用直径长为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房梁的最大面积是多少？
2．计算
（1）·（-）÷（m>0，n>0）
（2）-3÷（）× （a>0）
答案: 一、1．A 2．C二、1．(1) ;(2) ;(3) 2．
三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，得：（x）2+x2=（3）2，
4x2=9×15，x=（cm），x·x=x2=（cm2）．
2．（1）原式＝-÷=-
=-=-
（2）原式=-2=-2=-a
板书设计：
16．2 二次根式的乘除（2）
情境引入 例2 学生板演

=（a≥0，b>0），
反过来=（a≥0，b>0） 例3
例1 练习 小结

9.3 二次根式的乘法与除法(3)
教学内容:最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．
教学目标
知识与技能目标： 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
过程与方法目标：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
重难点关键
1．重点：最简二次根式的运用．
2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟最简二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程: 一、复习引入
请同学们完成下列各题
1．计算（1），（2），（3）
=，=，=
2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径长的比是_________．
它们的比是．
二、探索新知
观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．
学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．
老师点评：不是．
=.
例1．(1) ; (2) ; (3)
例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

解：因为AB2=AC2+BC2
所以AB===6.5（cm）
所以AB的长为6.5cm．
三、应用拓展
例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
==-1，
==-，
同理可得：=-，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
（+++……）（+1）的值．
分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．
解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）
=（-1）（+1）
=2002-1=2001
四、归纳小结
本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．
五、布置作业
一、选择题
1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）．
A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（ ）．
A． B． C．- D．-
3．在下列各式中，化简正确的是（ ）
A．=3 B．=±
C．=a2 D． =x
4．化简的结果是（ ）
A．- B．- C．- D．-
二、填空题
1．化简=_________．（x≥0）
2．a化简二次根式号后的结果是_________．
三、综合提高题
1．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：
解：-a=a-a·=（a-1）
2．若x、y为实数，且y=，求的值．
答案:
一、1．C 2．D 3.C 4.C
二、1．x 2．-
三、1．不正确，正确解答：
因为，所以a<0，
原式＝-a·=·-a·=-a+=(1-a)
2．∵ ∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=
∴ .
板书设计：
§16.2.二次根式的乘除（3）
情境引入 例2 学生板演

最简二次根式的定义 例3

例1 练习 小结