八年级数学上册 全册教案 人教新课标版.doc

全等三角形11.1
教学内容：全等三角形
教学目标

1.理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质。
2.在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉。
3.使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体念数学的乐趣，并能够利用性质解决简单的问题。
重点难点
探索全等三角形的性质
三角形全等的表示方法与准确找出全等三角形中的对应元素
教学准备
教师准备
三角形模板、剪刀
是否需要课件
课件备课已
另外准备
学生准备
小剪刀、几张较硬的纸
教学过程设计
一、提出问题，创设情境

问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
形状与大小都完全相同
要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．
二、动手操作，体验全等
让学生们把两张纸叠在一起，用小剪刀随意剪出一个图形，摆在桌子上观察两个图形，体验全等。再用同样的方法剪出两个一样的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
叫学生阅读课本第2页概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．请同学们类推得出全等三角形的概念。
三、导入新课
用同学们所剪的三角形进行演示：
将△ABC沿直线BC平移得△DEF（图甲）；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC（图乙）；将△ABC旋转180°得△AED（图丙）．

议一议：各图中的两个三角形全等吗？
启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．
观察与思考：
请同学们阅读课本第3页的第二段回答小黑板上的问题。
1、两个全等三角形中，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 。
2、如图，△ABC和△DEF全等，如何用符号表示它们
D
E
FF
CA
B
A

__________________________
3、在表示的过程中应该注意什么问题？____________________________
4、在上图中AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，BC的对应边 是 ，∠A的对应角是 ，∠B的对应角是 ，∠C的对应角是 。
同学们自己总结全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
四、例题讲解
[例1]如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角。

问题：△OCA≌△OBD，说明这两个三角形可以重合，思考通过怎样变换可以使两三角形重合？
将△OCA翻折可以使△OCA与△OBD重合．因为C和B、A和D是对应顶点，所以C和B重合，A和D重合．
解题过程略
[例2]如图，已知△ABE≌△ACD，∠ADE=∠AED，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角．
_
A
_
B
_
E
_
D
_
C
_
A

分析：通过拆分三角形找对应边和对应角，发现规律，总结规律（对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角）
注意：所写出的对应元素必须是两个全等三角形中的边与角。解答过程略
[例3]已知，△ABC≌△DEF，AB=5cm，BC=6 cm，
AC=4 cm，求△DEF的周长。（写在小黑板反面）
D
E
FF
CA
B
A

解：因为△ABC≌△DEF ，所以
DE=AB=5cm，EF=BC=6cm，DF=AC=4cm，
所以△DEF的周长=DE+EF+DF=5+6+4=15(cm)。
五、课时小结
通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，探索了找两个全等三角形对应元素的方法，并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种：
（一）从运动角度看
1．平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．
2．翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．
3．旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．
（二）根据位置元素来推理
1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．
2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
（三）根据经验来判断
1. 大边对应大边，大角对应大角
2. 公共边是对应边，公共角是对应角
六、作业
课本习题11.1第1-4题。
留白：
（供教师个性化设计）
附：板书设计 §11．1 全等三角形
一、概念
二、全等三角形的性质
三、性质应用
例1：（运动角度看问题）
例2：（根据位置来推理）
例3：（性质的应用）
四、小结：找对应元素的方法
运动法：翻折、旋转、平移．
位置法：对应角→对应边，对应边→对应角．
经验法：大边→大边，大角→大角．公共边是对应边，公共角是对应角。
教后反思： 留白：（供心得体会与反思）

授课时间：_____年_____月____日
三角形全等的判定（一）
湖城学校 杨贤
　　教学目标
　　1．三角形全等的“边边边”的条件．
　　2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
　　教学重点
　　三角形全等的条件．
　　教学难点
　　寻求三角形全等的条件．
　　教学过程
　　Ⅰ．创设情境，引入新课
　　回忆前面研究过的全等三角形．
　　已知△ABC≌△A′B′C′，找出其中相等的边与角．

　　图中相等的边是：AB=A′B、BC=B′C′、AC=A′C．
　　相等的角是：∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′．
　　提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
　　（可以先量出三角形的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形全等）．
　　这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．
探究1：先任意画一个⊿ABC，再画一个⊿A′B′C′,使⊿ABC与⊿A′B′C′满足上述六个条件中的一个或两个，你画出的⊿ABC与⊿A′B′C′一定重合吗？
　　Ⅱ．导入新课
　　1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
　　2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
　　①三角形一内角为30°，一条边为 3cm．
　　②三角形两内角分别为30°和50°．
　　③三角形两条边分别为 4cm、 6cm．
　　学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．
　　结果展示：

　1．只给定一条边时：

　　只给定一个角时：

　　2．给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边．

　　可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等．
　　给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？
　　归纳：有四种可能．即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边．
　　在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等．下面我们就来逐一探索其余的三种情况．

　　探究2：先任意画出一个ΔABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′= AB，A′C′= AC，B′C′= BC．你能画出这个三角形吗？把你画好的△A′B′C′剪下与ΔABC进行比较，它们全等吗？作图方法：
　　1．先画一线段B′C′= BC．
　　2．分别以B′C′为圆心，线段AB，AC为半径画弧，两弧交于点A′．
　　3．连接A′B′， A′C′．

　　这反映了一个规律：
　　三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．
　　用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．请看例题．
　　[例]如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
　　求证：△ABD≌△ACD．
　　[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．
　　证明：因为D是BC的中点
　　所以BD=DC
　　在△ABD和△ACD中
　　所以△ABD≌△ACD（SSS）．
　　生活实践的有关知识：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．
　　由前面的结论还可以得到作一个角等于已知角的方法
　　已知：∠AOB
　　求作：∠A＇O＇B＇=∠AOB
　　作法：
　　①以O点为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
　　②画一条射线O＇A＇，以点O＇为圆心，OC长为半径画弧，交O＇A＇于点C＇；
　　③以点C＇为圆心，CD长为半径画弧，与②中所画弧交于D＇；
　　④过点D＇画射线O＇B＇，则∠A＇O＇B＇=∠AOB
　　Ⅲ．课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．
Ⅳ.布置作业
1.课本P15页习题11.2中的第1，2题
教后反思：

三角形全等的判定（二）
　　教学目标
　　1．三角形全等的“边角边”的条件．
　　2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
　　3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．
　　教学重点
　　三角形全等的条件．
　　教学难点
　　寻求三角形全等的条件．
　　教学过程
　　一、复习提问
　　1．怎样的两个三角形是全等三角形？
　　2．全等三角形的性质？
　　3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？
　　二、导入新课
　　1．三角形全等的判定（二）
　　(1)我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题：
　　如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

　　不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：
　　AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．
　　如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．
　　从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．
　　2．上述猜想是否正确呢？不妨作如下的实验：
探究3：先任意画出一个ΔABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′= AB，A′C′= AC，∠A＇=∠A（即使有两边和它们的夹角对应相等）你能画出这个三角形吗？把你画好的△A′B′C′剪下与ΔABC进行比较，它们全等吗？
画一个△A＇B＇C＇，使A＇B＇= AB，A＇C＇= AC，∠A＇=∠A
作图方法：
　　①画∠DAE＝∠A；
　　②在射线A＇D上截取 A＇B＇= AB，在射线A＇E上截取A＇C＇= AC；
　　③连结B＇C＇．

　　把画好的△A＇B＇C＇剪下后可以发现它能与ΔABC完全重合，这样我们就有：
　　3．边角边公理．
　　有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)
　　三、随堂练习
　　1．填空：
　　(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．

　　(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
　　2、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD≌△ACE．
　　四、探究：
探究4：我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？
　　学生讨论，教师归纳
　　可通过画图来回答这个问题，如图，图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等

　　这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
　　五、小  结：
　　1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
　　2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理．
六．布置作业
1.课本P15页习题11.2中的第3，4题
教后反思：

三角形全等的条件（三）
　　教学目标
　　1．三角形全等的条件：角边角、角角边．
　　2．三角形全等条件小结．
　　3．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．
　　教学重点
　　已知两角一边的三角形全等探究．
　　教学难点
　　灵活运用三角形全等条件证明．
　　教学过程
　　Ⅰ．提出问题，创设情境
　　1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
　　三个角、三个边、两边一角、两角一边．
　　（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
　　三种：①定义；②SSS；③SAS．
　　2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？
　　Ⅱ．导入新课
　　问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？
　　1．两角和它们的夹边．
　　2．两角和其中一角的对边．
　　问题2：
探究5：先任意画出一个ΔABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′= AB， ∠A＇=∠A，∠B＇=∠B（即使有两角和它们的夹边对应相等）你能画出这个三角形吗？把你画好的△A′B′C′剪下与ΔABC进行比较，它们全等吗？
　　两个三角形中有两个内角分别对应相等，它们的夹边也相等，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
　　画一个△A＇B＇C＇，使A＇B＇= AB，∠A＇=∠A，∠B＇=∠B；
　　画法：
　　①画A＇B＇= AB；
　　②在A＇B＇的同旁画∠DA＇B＇=∠A，∠EB＇A＇=∠B，A＇D，B＇E交于点C＇

　　将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这两个三角形全等．
　　由此我们可提炼规律：
　　两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
　　思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
　　探究问题4：
　　如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？

　　证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°
　　∠A=∠D，∠B=∠E
　　∴∠A+∠B=∠D+∠E
　　∴∠C=∠F
　　在△ABC和△DEF中

　　∴△ABC≌△DEF（ASA）．
　　这也就是说明：两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
　　[例]如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
　　求证：AD=AE．
　　[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．
　　证明：在△ADC和△AEB中

　　所以△ADC≌△AEB（ASA）
　　所以AD=AE．
　　Ⅲ．课时小结
　　至此，我们有五种判定三角形全等的方法：
　　1．全等三角形的定义
　　2．判定定理：边边边（SSS）  边角边（SAS）  角边角（ASA）  角角边（AAS）
　　推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．
Ⅳ.布置作业
1.课本P15--16页习题11.2中的第6，11题
教后反思：

三角形全等的判定---直角三角形全等的判定（四）
　　教学目标
　　1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
　　2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题；
　　3、在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
　　教学重点
　　运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
　　教学难点
　　熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
　　教学过程
　　Ⅰ．提出问题，复习旧知
　　1、如图，Rt△ABC中，直角边是         、         ，斜边是_______
　　2、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
　　（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF          
　　（填“全等”或“不全等” ），根据          （用简写法）
　　（2）若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF__________           （填“全等”或“不全等” ），根据          （用简写法）
　　（3）若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF          
　　（填“全等”或“不全等” ），根据          （用简写法）
　　（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC与△DEF           （填“全等”或“不全等” ），根据          （用简写法）
Ⅱ．导入新课
　　我们在前面已经学习了几种三角形全等的判定方法，那么这节课我们来研究一种特殊的三角形全等的判定方法——直角三角形全等的判定
　　由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了；那么如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
　　（一）探索练习：（动手操作）：已知线段a，c (a<c) 和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c ，CB= a
　　1、按步骤作图：                                 a              c
　　①作∠MCN=∠α=90°，
　　②在射线 CM上截取线段CB=a，
　　③以B 为圆心，C为半径画弧，交射线CN于点A，  

　　④连结AB
　　2、与同桌重叠比较，是否重合？从中你发现了什么？
　　斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等．（ＨＬ）
　　（二）巩固练习：

1、判断题：
　　（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　（8）一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（     ）
　　2、如图，∠D=∠C=90°，请你再添加一个条件，使△ABD≌△BAC，并在
　　添加的条件后的（    ）内写出判定全等的依据。
　　（1）                 （         ）
　　（2）                 （         ）
　　（3）                 （         ）
　　（4）                 （         ）
Ⅲ.课时小结
　　至此，我们有六种判定三角形全等的方法：
　　1．全等三角形的定义
　　2．边边边（SSS）
　　3．边角边（SAS）
　　4．角边角（ASA）
　　5．角角边（AAS）
　　６．ＨＬ（仅用在直角三角形中）
Ⅳ.布置作业
1.课本P16--17页习题11.2中的第7，8，12，13题
教后反思：

八年级数学上册教案 备课人：余发辉
角平分线的性质11.3
教学内容：角平分线的性质（一）
教学目标
1.掌握角平分线的画法及角平分线的性质。
2. 在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心。
3. 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神。
重点难点
利用尺规作已知角的平分线。
角的平分线性质的应用。
教学准备
教师准备
自制教具——平分角的仪器 小黑板、折纸
是否需要课件

学生准备
折纸、小剪刀、直尺、圆规、三角板
教学过程设计
一、创设情境 复习导入
老师出示下列问题:
问题1：三角形中有哪些重要线段？你能作出这些线段吗？
学生能由老师的引导认真的思考老师所出示的问题,并能找出正确的答案:
三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角平分线。
过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线，交对边于一点，顶点与垂足之间的线段就是这个三角形的高。
取三角形一边的中点，此中点与这个边对着顶点的连线就是这个三角形的一条中线。
用量角器量出三角形一个角的大小，画出这个角的平分线，这个角的平分线与对边相交，这个角的顶点与对边交点的线段就是这个三角形的角平分线。
注意：三角形的角平分线是一条线段，而一个已知角的平分线是一条射线，这两个概念是有区别的。
问题2:如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？（学生思索）
二、尝试活动 探索新知
老师出示事先准备的自制教具——平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？
老师引导分析其中的原理（运用逆向思维法分析）
欲证AC是∠DAB的平分线

∠CAB =∠CAD

△ABC≌△ADC

AB=AD, BC=DC, AC=AC
并引导学生给出正确的证明：
ABC≌△ADC（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB．
即射线AC就是∠DAB的平分线．

在△ABC和△ADC中

老师出示问题：
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法
三、尝试反馈 理解新知
（一）老师出示小黑板上作已知角平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求．

学生动手操作并议一议：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
学生讨论后总结：
1、去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以找不到角的平分线。
2、若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧．两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB的内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了。
（二）如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形,使第一条折痕为斜边,然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?

学生能由老师的引导与组内的同学合作,进行有关的活动:
1、你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．
2、按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？
拿出画的较大的两名同学的画图，请大家评一评。
3、你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
老师引导学生得出角的平分线的重要性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
如何对文字命题进行论证呢？如何对文字命题进行论证呢？

回顾三角形内角和定理的证明，一般情况下，我们要证明文字证明题，通常会按照以下三个步骤进行：
1、 分析命题中的题设与结论，
2、 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证，
3、 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
师生共同写好已知、求证、画好图形，并进行分析，然后让学生自己完成 证明。
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
求证: PD=PE

教师引导学生运用逆向思维法来进行分析： 欲证PD=PE

△ PDO ≌ △PEO

∠PDO= ∠PEO，OP=OP，∠1= ∠2

PD ⊥ OA，PE ⊥ OB OC平分∠ AOB
学生自己证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义）
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
∴ ∠PDO= ∠PEO=90°（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
利用此性质怎样书写推理过程?
∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E（已知）
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等。 ）

注意：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．
四、解析、应用与拓展
问题1：任意画一个∠AOB，作它的平分线。
问题2：已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC,点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD.求证：PM=PN
分析：要证PM=PN，可以证明点P在∠ADC的平分线上，也就是要证△ABD ≌ △CBD。

P

五、小结反思
本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并探究了角平分线的性质。
五、布置作业
教材习题11.3第1、2题。
留白：
（供教师个性化设计）

附班：板书设计 §11．3 角的平分线的性质（1）
一、 情境引入
二、自主探究
1、角的平分线的画法
2、角的平分线的性质
3、角的平分线性质的应用
三、总结提高
1、小结
2、巩固练习
教后反思：

留白：（供心得体会与反思）
授课时间：_______年_______月______日

八年级数学上册教案 备课人：余发辉

角平分线的性质11.3
教学内容：角平分线的性质（二）
教学目标

1.角的平分线的性质
2.会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．
能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．
3.通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣．
重点难点
角平分线的性质及其应用．
灵活应用两个性质解决问题．
教学准备
教师准备
小黑板、折纸
是否需要课件

学生准备
折纸、小剪刀
教学过程设计
一、 复习导入
（见小黑板反面）如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。

证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、CA的距离相等
问题1：点P是否在∠A的平分线上呢？也就是说角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？说明三角形的三条角平分线有什么关系？
二、尝试活动 探索新知
教师引导学生进行解决，利用全等三角形证明这个命题正确。可让学生进行如下操作：先画图，并写出已知、求证，再加以证明。
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．

证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
　∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
　 QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
　∴ ∠ QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上

由此可得出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
利用此性质怎样书写推理过程?
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．

问题1得以解决：点P在∠A的平分线上；
三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这点到三边的距离相等。

三、应用新知 解决问题
例1（见小黑板）如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？
教师分析：应该运用第二个性质，这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500m处，在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题，1米=100厘米，比例尺为1:20000，就是1厘米表示200米。

学生自己解决。

例2 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
证明： ∵D是BC的中点 ∴BD=CD
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F
∴ ∠ BED=∠CFD= 90°
在Rt△BED和Rt△CFD中
　 BE＝CF
BD=CD
∴ Rt△BED ≌ Rt△CFD （HL）
∴DE=DF(全等三角形对应边相等)
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F
∴AD是△ABC的角平分线。

四、总结提高
1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的
平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
五、布置作业
1、教材P22中的第3、4题.
2、同学们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个命题的题设与结论有什么关系？以前学过这样的一对命题吗？

留白：
（供教师个性化设计）
附：板书设计 §11．3 角的平分线的性质（2）
一、 复习导入
二、尝试活动 探索新知
三、应用新知 解决问题
四、总结提高
教后反思：

留白：（供心得体会与反思）
授课时间：_______年_______月______日
§12．1 轴对称（一）
教学目标
1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
教学重点:轴对称图形的概念．
教学难点:能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教师准备:
学生准备:
教学过程（师生活动）
个性设计
Ⅰ．创设情境，引入新课
我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥妙，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
Ⅱ．导入新课
出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．
这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
如课本的图12．1．1，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．不仅窗花可