相似形的知识点及试题复习.doc

考试内容
A
B
C
图
形
与
变
换
相
似
1. 了解比例的基本性质；
2. 了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例；
3. 会利用线段的比例关系求未知线段；
4. 了解黄金分割；
5. 知道相似多边形及其性质；
6. 认识现实生活中物体的相似；
7. 了解图形的位似关系。
1. 会利用比例的基本性质解决有关问题；
2. 会用相似多边形的性质解决简单的问题；
3. 能利用位似变换将一个图形放大或缩小。

图
形
的
认
识
相似三角形
8.了解两个三角形相似的概念
4．会利用两个三角形相似的性质与判定进行简单的推理与计算；
5．会利用三角形的相似解决一些实际问题。

一、2011年中考说明对《相似形》一章的要求：

二、《相似三角形》各知识点之间的关系及与《全等三角形》的联系

全等 三角形 与 相似 三角形
定义
性质
条件
角平分线
表示方法
完全重合
两个三角形
对应边、角、周长
面积、中线、高线、
角平分线相等
两个三角形 用符号≌连接
SSS
AAS
ASA
HL
SAS
适合判定所有三角形 全等
适用于 直角三角形
性质
点到角两边 的距离相等
到角两边距离相等的点
判定
应用
关系
拓展、延伸
类比
相似三角形
全等三角形
相似多边形
位似变换
性质
判定
用坐标表示
位似变换
位似 中心是原点
对应点的坐标比为k或-k
相似图形
形状相同
性质
对应角相等， 对应边成比例， 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方
比例线段
平行
A字型X字型
三边对应
成比例
两边成比例
且夹角相等
两角对应
相等
对应角相等 对应边成比例， 周长的比=相似比 面积的比=相似比的平方
应用
放大或缩小图形
外位似内位似
性质
特征
两图形相似 对应顶点的连线交于一点对应边平行
动

三、相似三角形判定定理与全等三角形判定定理（一般与特殊）的比较

相似三角形判定定理（条件）
全等三角形判定定理（条件）
三组对应边成比例
三组对应边相等（SSS）
两组对应边成比例且夹角相等
两组对应边相等且夹角相等（SAS）
两组角对应相等
两组角对应相等，一夹边对应相等（一对边对应相等）（ASA、AAS）
直角三角形的斜边和一组直角边对应成比例
直角三角形的斜边和一组直角边对应相等（HL）

四、
1.基本图形

2.找出其中的相似的三角形

3.一线三等角

相似三角形知识点整理
重点、难点分析：
1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点．
2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）：

合比性质：

（比例基本定理）

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：
(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：
类型
斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定
SAS
SSS
AAS（ASA）
HL
相似三角形
的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边
成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
6.直角三角形相似：
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8. 相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2

三、注意
1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三
角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。
在利用定理证明时要注意A型图的比例，每个比的前项是同一个三

C
A
D
B.
角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成的错误。
2、 相似三角形的基本图形
Ⅰ.平行线型：即A型和X型。
Ⅰ.相交线型

C
E
D
B
A

3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明
三角形相似及比例式或等积式。
4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

基础部分1
1.（A2）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（　　）
A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3
2．（A3） 若、、、四条线段成比例，且，，，则=_______.
3.（B1） 若，则 ．
4. （A6）已知：（1）两个圆；（2）两个等边三角形；（3）两个正方形；（4）两个菱形；（5）两个直角三角形。在上述的两个图形中，形状一定相同的图形有__________组
5. （A7）如图1，是由经过位似变换得到的，点是位似中心，分别是的中点，则与的面积比是____________.
8.（A3） 已知：如图2，直线∥∥，，则=__________
9．（B4）如图3，在△ABC中，DE∥ BC.若点D是AB边的中点， ＝1∶8, 则△ADE与△ABC的周长的比为_________;面积的比为_______；AD∶DB=___________。
C
A
BA
DA
OA
EA
FA

图1
图2 图3 图4
10．（B4）如图4, ABCD中,E是AD延长线上一点,BE 交AC于点F,交DC于点G,则下列结论中错误的是( )
（A）△ABE∽△DGE　（B）△CGB∽△DGE（C）△BCF∽△EAF　（D）△ACD∽△GCF
11．（A4）如果点C为线段 AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BC B．AC＝AB C. AC＝AB D．AC≈0．61 8AB
12.（B4）已知:在中,分别为AB、BC的中点。求证：∽（用五种方法）

基础部分2
1．（A6）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）

2．（B5）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
3．（B4）如图1，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
图3

图l 图2 图3 图4
6．（B3）如图2，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（－2，－3） C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
7．（B4）如图3，，添加一个条件使得∽ .
9．（B4）如图4,梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于M，若 ，，梯形的面积 .
10．（B4）如图5，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为______________
11.（B3）如图6，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．
12.(B5)在同一块四边形地上有甲、乙两张地图，比例尺分别为l：200和1：500．甲、乙两地图的面积比________．

13.（B4）如图，DE∥BC,EF∥DC，求证

提高部分1
1．（B4）如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 _．
2．（B4）如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△的面积为，△的面积为，…，△的面积为，则= ；=____ （用含的式子表示）
3.(B2)如果一个矩形与它的一半矩形是相似形，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A．：1 B．：2 C．2：1 D．l：2
4．（B4） 一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张

5. （B4）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．
6. （B2）如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）．A．0．618 B． C． D．2
7. （B2）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则的值是 （ ）

8. （B4） 如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
⑴ 求证：△ABF∽△EAD；
⑵ 若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；
⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.

9. （B3） 如下图，方格纸中有图案ABCD．
（1）在同一方格纸中，画出将图案绕点B旋转180°后得到的图案；
（2）在同一方格纸中，将原图案以B为位似中心放大，使它们的位似比为3︰1，画出放大后的图案.
A
C
B
F
E
D
P1
P2
P3
P4

P5

10.（B4）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)　判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)　P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

11．（B4）如图,已知正方形ABCD的BC边与正方形CEFG的CE边在同一条直线上,线段BF和线段AF分别于线段CD相交于M、N两点。求证：MN=MC

12．（B5）某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，求松树的高度．

13. （B4）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB=5， ，求BC和BF的长.

14. （B4） 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为 1．5米，面积为1．5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小颖与小明两位同学的力工方法分别为图1－4－14，图1－4－15，图1－4－14中，△CDE∽△CBA．图1－4－15中，△BDE。∽△BAC．请你利用学过的知识说明哪位同学的加工方法符＿要求．（注：加工损耗忽略不计）．

15．（B4）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.
（1）证明：Rt△ABM ∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN，求此时的值.

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