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12．1 函数
第1课时 函数的概念
1．使学生了解函数的意义，会举出函数的实例，并能写出简单的函数关系式．
2．了解常量、变量的意义，能分清实例中出现的常量，变量与自变量和函数．
重点
在了解函数、常量、变量的基础上，能指出实例中的常量、变量，并能写出简单的函数关系式．
难点
对函数意义的正确理解．
一、创设情境，导入新课
请同学们先看两个实际问题：(出示幻灯片)
问题1：某粮店在某一段时间内出售同一种大米，请大家思考：在整个的售米过程中出现了哪些量？其中哪些量是变化的？这其中有没有不变的量？
由学生讨论回答．
答：共出现了米的千克数、每千克米的价格、总价三个量，其中千克数和总价是随着顾客的需购量的不同而变化的，但每千克米的价钱即单价是不变的．
问题2：我们生活在美丽的海滨城市，我们知道大海的脾气是捉摸不透的，她有时暴躁不安，有时却温柔善良．试想，当海上风平浪静时，若我们将一块石头投入海中，我们将会发现水面上有怎样的变化？
答：水面上出现一圈圈圆形的水波纹，如右图．(出示幻灯片)
那么，在这一变化过程中，圆的半径r，周长C和面积S是怎样变化的呢？圆的周长和直径2r的比值又是怎样的呢？
第一个问题很简单，学生可直接得到答案，针对第二个问题的回答结果可再提问：你是怎样得到圆的周长和直径2r的比值是不变的呢？这个比值是什么呢？
由上面的两个例子我们可以看到，在某一具体过程中有些量是可以取不同的数值的，如以上两例中的大米的千克数、总价、圆的半径r，周长C以及面积S，我们称之为变量；而有些量在整个过程中都保持不变，例如米的单价与圆周率π，我们称之为常量．
但请大家注意：常量和变量并不是绝对的，而是相对的．例如：(出示幻灯片)
(1)从大连到北京，如果我们乘坐火车，且火车的速度保持不变，在这一过程中，哪些量是变量，哪些量是常量？
这个问题的答案有很多种，引导学生回答：随着时间的不同，距北京的距离不同，但速度是不变的．
(2)从大连到北京，如果我们一部分人坐火车，一部分人乘飞机，在这一过程中，哪些量是变量，那些量是常量？
引导学生回答：距离不变，但随着两种交通工具速度的不同，到北京的时间也不同．
这两个问题都可由学生讨论、回答．通过这两个问题可以向学生进行对立统一的辩证唯物主义教育．
二、合作交流，探究新知
在日常生活中，工农业生产和科学实验中，常量和变量是普遍存在的，但数学所要研究的是某一变化过程中的两个量之间的关系，即它们是怎样互相制约、互相联系的．例如：大米的千克数与总价，圆的半径与面积之间的关系，这就是我们今天要学习的数学中一个很重要的基本概念——函数．
现在，我们就来研究什么叫函数．
首先，我们来看问题1：在售米的过程中，米的千克数和总价这两个量有什么关系？
给学生一定的时间讨论，由学生回答后加以总结：对于米的千克数，每确定一个值，就有唯一的总价与它相对应．
提问：(1)大家试想，若每千克大米售价2.40元，我们用字母n表示大米的千克数，字母m表示总价，那么n与m之间有怎样的关系式呢？
(2)若买5千克大米，应付多少钱？若买25千克大米呢？
这两问主要是为了让学生从实际问题中体会一下对应的关系．
再来看问题2：(1)请大家考虑，若已知圆的半径为r，我们应怎样计算它的面积呢？
(2)半径r与面积S有怎样的关系呢？
总结：对于每一个半径r的值，面积S都有唯一的确定值与它相对应．
类似于这种变量间相互依存的关系还有很多，我们就不再一一列举．由上面两个例子中的共同特点，你能否总结出函数的概念呢？
教师提出问题之后，先由学生讨论，再由一名同学给出他的叙述方式，交由大家讨论，若完全正确，则教师可以加以肯定表扬之后，再强调其中的关键词语，然后板书；若回答得不完善，可由其他同学再接着补充，直到补充正确、完整之后(若学生不能总结完整，教师可适当给予提问性的铺垫)，再强调关键词语，然后板书．此处是本节课的重点和难点，一定不能操之过急．
【归纳总结】一般地，设在一个变化过程中有两个量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．
三、运用新知，深化理解
例1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，求矩形面积S(m2)与一边长L(m)之间的关系式，并指出式中的常量与变量，函数与自变量．(出示幻灯片)
分析：此题较简单，可由学生独立完成，完成之后，可适当给予几个数值加以计算，强化学生对定义中“唯一的”的理解．
例2 判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是( )
A．x，y是变量，y＝±2
B．人的身高与年龄
C．三角形的底边长与面积
D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间
分析：选项A中根据x每取一个值，y有两个值与其对应，故不存在函数关系，此选项错误；选项B中人的年龄变，但身高不一定变，故人的身高与年龄不存在函数关系，此选项错误；选项C中高不能确定，共有三个变量，故不存在函数关系，此选项错误；选项D中速度一定的汽车所行驶的路程与时间存在函数关系，此选项正确．
【归纳总结】判断函数关系时，应先看问题中是否仅有两个变量，再看一个变量是否随着另一个变量的变化而变化，最后看给定一个自变量的值，因变量的值是否有唯一的值与它对应．
补充练习：
下列表达式是函数吗？若是函数，指出自变量与函数，若不是函数，请说明理由：
(1)y＝2x＋3；(2)y＝；
(3)y＝；(4)x2＋y2＝1.
由学生加以讨论回答．
答案：(1)、(2)、(3)是函数，其中x是自变量，y是x的函数；
(4)不是函数．因为对于每一个x值，y不是有唯一的值与它对应．(注意学生在说明原因时的语言，一定要准确．)
提问：由练习(4)说明了什么问题？
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P23练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P31习题12.1第1题．
第2课时 函数的表示方法
1．运用丰富的实例，帮助学生全面理解函数的三种表示方法．
2．会用函数模型解决问题．
重点
函数的三种表示方法及其应用．
难点
函数的三种表示方法的应用．
一、创设情境，导入新课
活动一 问题与情境
用哪些方法表示函数？它们各有什么优点？
分组活动，教师应注意：(1)列表法，图象法，解析法．
(2)表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法．
(3)为了全面认识问题，有时几种方法可同时运用．
先独立思考，然后组内交流并作记录，最后各组选代表发言，归纳出以下几点：列表法直接给出部分函数；解析法能明显地表示对应规律；图象法能明显地表示变化趋势．
二、合作交流，探究新知
活动二 探究问题
有时为了需要，这三种表达方式交替使用或同时使用．
出示问题1.
一个水库的水位在最近5 h内持续上涨．下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度．
t/h
0
1
2
3
4
5
y/m
3
3.3
3.6
3.9
4.2
4.5
思考：(1)观察记录表中的记录数值，你认为两个变量有什么对应关系？
(2)这个函数的图象是一条直线吗？
(3)根据什么预测？
教师用设问的形式引导学生．
(1)观察记录表中的记录数值；
(2)写出水位y随时间x的变化的函数表达式；
(3)画出这个函数图象；
(4)根据图象预测．
教师板书并画出图象．
要求学生体会不同的表示方法之间的转化．
问题2 试判断点(2，4)是否在函数y＝2x的图象上．
思考：怎样确定一个点是否在函数的图象上？
让学生思考、讨论，然后师生共同归纳出判断点是否在函数图象上的方法是：将点的坐标代入函数的表达式，看是否适合．
教师适当点评．
活动三 深化问题
问题3 1.已知函数y＝2x－3，求：
(1)函数图象与x轴、y轴的交点坐标；
(2)x取什么值时，函数值大于1；
(3)若该函数图象和函数y＝－x＋k相交于x轴上一点，试求k的值．
2．在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x与函数y＝2x－1的图象，并求出它们的交点坐标．
教师提示：(1)函数图象与x轴交点的纵坐标是0，与y轴的交点横坐标为0；(2)让学生画出草图．
注意：画图要标准．
学生讨论．
(1)根据老师的引导解答问题；
(2)画图，根据图象解答．
学生分组进行，然后交换方法．
三、运用新知，深化理解
例1 (教材P24例1)
【归纳总结】函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式有算术平方根的表达式时，考虑被开方数为非负数．在实际问题中，自变量的取值还要使实际问题有意义．
例2 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
时间t(s)
1
2
3
4
…
距离s(m)
2
8
18
32
…
写出用t表示s的函数表达式：______________．
分析：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出函数表达式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42；…，所以s与t的函数表达式为s＝2t2，其中t≥0.
【归纳总结】本题以列表法表示时间t与距离s之间的关系，认真观察分析s随t的变化而变化的规律是列出函数表达式的关键．
例3 一根弹簧原长12 cm，它所挂的重量不超过10 kg，并且挂重1 kg就伸长1.5 cm，写出挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是( )
A．y＝1.5(x＋12)(0≤x≤10)
B．y＝1.5x＋12(0≤x≤10)
C．y＝1.5x＋12(x≥0)
D．y＝1.5(x－12)(0≤x≤10)
分析：设挂重为x，则弹簧伸长为1.5x，挂重后弹簧长度y(cm)与挂重x(kg)之间的函数关系式是y＝1.5x＋12(0≤x≤10)．
【归纳总结】解这类题的关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．在实际问题中求函数解析式时，要特别注意自变量的取值范围．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P26和P28练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
1．函数的三种表示方法及各自的优点．
2．如何用函数解决问题？
提示：函数不同的表示方法之间可以互相转化；
思考三种表示方法之间的关系．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P31习题12.1第2～4，8，9题．
第3课时 函数的图象
1．能根据函数图象所提供的信息获取函数的性质．
2．判断点与函数图象的位置关系．
重点
根据图象判断函数的有关性质．
难点
正确无误地观察函数图象．
一、创设情境，导入新课
如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，你从图象中得到了什么信息？
教师引导学生按要求讨论问题，在学生充分发表自己的意见后，师生共同归纳得出：气温T是时间t的函数．
学生观察图形后讨论，分小组发表自己的意见．
二、合作交流，探究新知
[活动1]
问题
正方形边长x与面积S的函数关系是S＝x2(x>0)．
思考：
(1)能否利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系？
(2)自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的数值S，是否确定了一个点(x，S)呢？
[活动2]
问题
根据上面的练习，思考什么叫函数的图象？
[活动3]
问题
教材P28“思考”第1题．
思考：
(1)这天最高体温、最低体温分别是多少？分别是在什么时刻达到的？
(2)什么时间段体温上升？什么时间段体温不断下降？
(3)体温变化规律是什么？
巩固练习：P29“思考”第2题．
教师请学生思考，并与学生校核答案．
教师应重点关注：
(1)对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，这样可确定点．
(2)用光滑的曲线连接，是指不出现明显的拐弯点．
(3)表示x与S的对应关系的点有无数个，但我们实际上只能描述出有限个点，要学生同时想象出其他点的位置．
教师在学生讨论的基础上叙述出函数的图象的定义，并板书．
应重点关注：
(1)学生是否明确函数定义的内涵，包括图象的画法；
(2)举例说明，如：你所画的就是函数S＝x2(x>0)的图象．
教师在学生讨论的基础上，对学生的答案作出评价．
学生按教师的要求填表，在直角坐标系中描点连线．
学生根据自己画的图象，思考函数图象的定义，然后讨论．
让学生先讨论，然后分组回答．
[活动4]
出示问题：
如图①所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．图②反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
图①
图②
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
教师应重点关注：(1)小明离家的距离y是时间x的函数，从图象中有两段是平行于x轴的线段可知，小明离家后这两段时间内先后停留在食堂与图书馆．(2)题中的图象是由5条线段组成的，它对应5个时间段内的活动，x表示时间，每条线段左右端点的横坐标之差表示了相应的时间段的长，y表示小明离家的距离．学生书写时必须说明是根据横坐标还是根据纵坐标得到的．(3)学生回答问题要规范、全面．
在教师的引导下，学生先回答每个问题，再书写出答案，然后比较与教材答案的异同．
三、运用新知，深化理解
例 某星期四下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y(公里)和所用的时间x(分)之间的函数关系．下列说法错误的是( )
A．小强从家到公共汽车站步行了2公里
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公共汽车的平均速度是30公里/时
D．小强乘公共汽车用了20分钟
分析：根据题意和图象可知小强从家到公共汽车站步行了2公里，选项A正确；根据题意和图象可知小强在公共汽车站等小明用了10分钟，选项B正确；公共汽车的速度为15÷＝30(公里/时)，选项C正确；小强和小明一起乘公共汽车，时间为30分钟，选项D错误．
【归纳总结】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的实际意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
四、课堂练习，巩固提高
1．教材P30练习．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．
五、反思小结，梳理新知
以师生共同交流的方式进行归纳：
(1)函数图象会使函数关系更为清晰，怎样画出函数的图象呢？
(2)如何根据函数图象中获得的信息来研究实际问题？
教师在学生讨论的基础上，总结出：(1)函数图象的特点；(2)用描点法画出函数的图象；(3)应用函数图象时，注意自变量与函数的对应关系．
讨论怎样画函数的图象，小组之间可以交换意见．
六、布置作业
1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．
2．教材P31～32习题12.1第5～7题．
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