资源描述
图形的相似
教学目标
1. 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，平行线分线段长比例，通过实例了解黄金分割.
2.通过具体实例认识图形的相似，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；
3.了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件.
4.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；
5.通过实例了解物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度).
教学重点与难点：
重点：相似三角形的性质与判定定理的应用．
难点：能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决有关的问题．
教学准备：
教师准备：导学案、多媒体课件．
学生准备：课前完成导学案上的“课前热身及知识梳理”．
教学过程：
一、课前热身，回顾知识
（学生在提前下发的导学案上完成课前热身训练，以及相似三角形相关的知识点的回顾.）
1.若 ＝，则= .
2. 如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，
则S△ABC= .
3.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3题图 4题图
4．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD ：DE=3 ：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
A． B． C． D．
5.如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，则线段CD的长是 ．
6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5题图 6题图
7. 如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=6 m,点P到CD的距离是2.7 m,则AB与CD的距离为_____m.
E
D
A
C
B
7题图 8题图
8. 如图，∠DAB＝∠CAE，请添加一个适当的条件：，使△ABC∽△ADE．
9．如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE ：S△COB=（ ）
A．1：4 B．2：3 C．1：3 D．1：2
9题图 10 题图
10. 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11.如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
11题图 12题图
12．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE：ED=2：1．如果△BEC的面积为2，那么四边形ABED的面积是 .
处理方式：一生用展台展示自己的导学案，其余学生互查并纠正错误，教师用多媒体展示答案.
设计意图：在学生展示及其相互纠错的过程中，让学生进一步巩固本节学习的知识点，把握复习重点，如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间，也能加深学生对知识网络的理解．
二、揭示目标，建构网络
同学们，刚才我们顺利完成了课前热身训练的反馈，大家表现的非常棒！在此基础上，今天我们一起来重点复习第二十四讲 图形的相似．
下面我们先看一看中考要求：（多媒体展示）
1. 了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，平行线分线段长比例，通过实例了解黄金分割.
2.通过具体实例认识图形的相似，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方；
3.了解两个三角形相似的概念，掌握两个三角形相似的条件.
4.了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小；
5.通过实例了解物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度).
设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．
结合课前热身和中考要求，你能总结一下相似图形的有关知识吗？
考点统计：
（导学案提前下发，学生在导学案中填空．）
1.比例的性质：①比例的基本性质 ；②比例的合比性质 ；
③比例的等比性质 ；
2.相似三角形的性质：
（1） 的两个三角形叫相似三角形， 叫相似比．
（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角 ，对应边 ；
②相似三角形的对应 比，对应 比，对应 比， 比都等于相似比， 比等于相似比的平方．
3.相似三角形的判定方法：
（1） 角对应相等的两个三角形相似；（2）两边 ，且夹角 的两个三角形相似；（3）三边 的两个三角形相似．
4.位似图形
位似图形是特殊的相似图形，对应点所在的直线都过 ，位似比等于相似比．
5.知识网络
设计意图：在导学案上以填空题的形式给学生梳理知识，再让学生填空.检查其对知识点掌握情况，避免遗漏；同时也便于学生把握知识点间的联系，为学生归纳知识网络奠定基础.
三、典例剖析，应用升华
考点一 比例线段与比例的基本性质
例1已知＝，则的值是( )
A. B. C. D.
处理方式：先给学生10秒钟时间理解本题的条件与要求，再分别口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键.学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】本题的关键是把要求值的代数式中的两个或更多的字母统一成一个字母的表达式.具体做法有两种：方法一，代换法.由 ＝可得b＝a，代入原式即可求解；方法二,设k法. 可设a＝13k，b＝5k(k≠0)，将a、b值代入原式即可求解.
【参考解答过程】方法一，代换法（略）.
方法二，设k法.
解：∵＝，∴可设a＝13k，b＝5k(k≠0)，∴＝＝＝.故选D.
【方法总结】此题考查了比例条件的应用，可以看出设k法更加方便，如a:b:c=2:3:4，
可设a＝2k，b＝3 k，c＝4 k，这样可使相关联的条件分开单独应用.
变式练习：1.已知，( )
A. B. C. D.
2．已知＝＝，且a，b，c都是正数，则＝ .
考点二 相似三角形的判定和性质
例2 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求的值．
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB•AD；
（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；
（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．
【参考解答过程】(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC ＝∠CAB.
又∵∠ADC ＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB.
∴＝.
∴AC2＝AB·AD.
(2)证明：∵E为AB的中点，
∴CE＝AB＝AE，∠EAC ＝∠ECA.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC ＝∠EAC.
∴∠DAC ＝∠ECA.∴CE∥AD.
(3)∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，
∴＝.
∵CE＝AB，∴CE＝×6＝3.
又∵AD＝4，由＝，得＝.
∴＝.
【方法总结】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．在证明成比例线段或等积式（一般需要转化成比例式）时，可以考虑证明两个三角形相似.这样可以避免走弯路，所以我们要注意掌握数形结合思想的应用．
设计意图：通过考点解析，让学生体会如何运用相似三角形的性质与判定定理相关知识进行解题，掌握解题的方法，同时也体会利用转化思想，往往能使问题变得简单化，解决过程清晰明了．
变式练习：3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．
（1）求证： = ；
（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．
考点三：位似图形的定义与性质
例3 已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(3,4)，C(2,2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2∶1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．
处理方式：学生先读题理解题意，并根据本题的条件与要求画出平移后的图形及其位似图形，然后根据图形口述解题过程.教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案.(2)利用位似图形的性质得出对应点位置即可，利用等腰直角三角形的性质可以得出△A2BC2的面积.
【参考解答过程】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求，C1(2，－2)；
(2)如图，△A2BC2即为所求，C2(1,0)，△A2BC2的面积等于10.
【方法总结】此题考查了位似变换的性质与平移的性质.熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键.此题难度不大，我们要注意掌握数形结合思想的应用.
变式练习：4.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（4，3） C．（3，1） D．（4，1）
4题图 5题图
5.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是 .
考点四：相似三角形的实际应用
例4 某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸)．
①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．
根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？
【思路点拨】根据题意可知∠BAD＝∠BCE，又∠ABD＝∠CBE＝90°，根据两角对应相等的两个三角形相似可判定△BAD∽△BCE，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.
【参考解答过程】解：由题意得，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，∴＝，即＝，解得BD＝13.6米．答：河宽BD是13.6米.
【方法总结】读懂题目信息得到相等的角（∠BAD＝∠BCE），并根据三角形相似的判定方法判定出相似三角形是解决问题的关键，也是本题的难点.
变式练习：6.我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直．已知装饰画的高度AD为0.66米．
求：(1)装饰画与墙壁的夹角∠CAD的度数(精确到1°)；
(2)装饰画顶部到墙壁的距离DC(精确到0.01米)．
考点五 相似三角形综合问题
例5 课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？
小颖解得此题的答案为48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．
(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
处理方式：学生先理解本题的条件与要求，再说出解题思路，教师适时引导，教师可进行有针对性的提问，让学生明确解题的关键．学生完成后教师引导学生对本题进行总结．
【思路点拨】（1）证明△APN∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．
（2）设PN＝x mm，由(1)可知△APN∽△ABC，所以＝，即＝，解得PQ＝80－x，然后将PN、PQ代入矩形面积S＝PN·PQ即可求解．
【参考解答过程】解：(1)设矩形的边长PN＝2y mm，则PQ＝y mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得y＝，∴PN＝×2＝(mm).
答：这个矩形零件的两条边长分别为 mm， mm.
(2)设PN＝x mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得PQ＝80－x.∴S＝PN·PQ＝x(80－x)＝－x2＋80x＝－(x－60)2＋2 400，∴S的最大值为2 400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80－×60＝40(mm).
【方法总结】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．
变式练习：7.(2014·安顺)如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；
(3)在满足(2)的条件下，AB＝10，ED＝4，求BG的长．
四、总结收获，反思提升
今天我们复习了哪些数学知识？
我最大的收获是……
我表现不足的地方是……
我想进一步研究的问题是……
设计意图：反思是重要的学习方式，能够帮助学生从整体上理顺知识间的联系，提升解决问题的策略，丰富学生的经验.
五、达标检测，反馈提高
1．若 ＝，则= ．
2．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（ ）
A．3：2 B. 3：1 C. 1：1 D．1：2
4.如图，在▱ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形： ．
3题图 4题图
5.如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（ ）
A. AB=24m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM：MA=1：2
5题图 6题图
6．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米.
7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）将△ABC向上平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画一个格点△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1．
选做题：
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
【方法总结】判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”．
设计意图：落实基础，结合激励性评价，检测学生本节课学习的达成度，为后续的复习提升做准备.
六、布置作业，拓展提高
必做题：复习指导丛书 第149页 第16题．
选做题：复习指导丛书 第141页 第14题．
设计意图：分层布置作业，让能力不同的每个学生都能各有所得，全面提高．
板书设计:
第二十四讲 图形的相似
例1：
例2：
例3：
例4：
例5：
多媒体展示区
学生板演区
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