资源描述
18.1 勾股定理（三）
教学时间 第3课时
三维目标
一、知识与技能
能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
二、过程与方法
1．经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识．
2．在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神．
3．在解决实际问题的过程中，学会与人合作，并能与他人交流思维过程和结果，形成反思的意识．
三、情感态度与价值观
1．在用勾股定理探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
2．在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯．
教学重点 将实际问题转化为直角三角形模型．
教学难点 如何用解直角三角形的知识和勾股定理解决实际问题．
教具准备 多媒体课件．
教学过程
一、创设情境，引入新课
活动1
问题：欲登12米高的建筑物，为完全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？
设计意图：
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大．它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用．
此活动让学生体验勾股定理在生活中的一个简单应用．
师生行为：
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入小组活动中，倾听学生的想法．
此活动，教师应重点关注：
①学生能否将简单的实际问题转化为数学模型；
②学生能否利用勾股定理解决实际问题并给予解释；
③学生参加数学活动是否积极主动．
生：根据题意，（如图）AC是建筑物，则AC=12m，BC=5m，AB是梯子的长度．所以在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13m．
所以至少需13m长的梯子．
师：很好！
由勾股定理可知，已知两直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2=c2-b2或b2=c2-a2，由此可知已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
二、讲授新课
活动2
问题：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
设计意图：
进一步体会勾股定理在现实生活中的广泛应用，提高解决实际问题的能力．
师生行为：
学生分组讨论、交流，教师深入学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
教师在此活动中应重点关注：
①学生能否独立思考，发现解决问题的途径比较AC与宽2.2m的大小即可；
②学生遇到困难，能否有克服的勇气和坚强的毅力．
生：从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．
生：在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否通过．
师生共析：
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2=AB2+BC2=12+22=52．
因此AC≈≈2.236．
因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
活动3
问题：如图，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？
设计意图：
进一步熟悉如何将实际问题转化为数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题，发展学生的应用意识和应用能力．
师生行为：
学生独立思考后，在小组内交流合作．
教师深入到学生的数学活动中，倾听他们是如何将实际问题转化为数学问题的．
教师在此活动中应重点关注：
①学生克服困难的勇气和坚强的意志力；
②学生用数学知识解决实际问题的意识．
生：梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D，即BD的长度就是梯子外移的距离．
观察图形，可以看到BD=OD-OB，求BD可以先求出OB，OD．
师：OB，OD如何求呢？
生：根据勾股定理，在Rt△OAB中，AB=3m，OA=2.5m，所以OB2=AB2-OA2=32-2.52=2.752．
OB≈1.658m（精确到0.001m）
在Rt△OCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，所以OD2=CD2-OC2=32-22=5．
OD≈2.336m（精确到0.001）
BD=OD-OB=2.236-1.658≈0.58m（精确到0.01m），所以梯子顶端沿墙下滑0.5m，梯子底端外移0.58m．
活动4
问题：“执竿进屋”：笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角．笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．
──当代数学教育家清华大学教授
许莼舫著作《古算题味》
设计意图：
通过古代算题的研究，揭发学生学习数学的兴趣，进一步提高学习数学应用数学知识的能力．
师生行为：
学生先独立思考，读懂题意，后小组交流、讨论、合作完成本活动．
教师深入到学生的数学活动中去，倾听学生理解题意，寻找解题思路的过程．
本活动教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与；
②学生能否运用勾股定理，借助方程（或方程组）解决问题．
生：解：设竿长为x尺，门框的宽度为（x-4）尺，高度为（x-2）尺，根据题意和勾股定理，得
x2=（x-4）2+（x-2）2．
化简，得x2-12x+20=0，
（x-10）（x-2）=0，
x1=10，x2=2（不合题意，舍去）．
所以竿长为10尺．
三、巩固提高
活动5
练习：1．有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少多长（结果保留整数）．
2．如下图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，你能求出A、B两点间的距离吗？
设计意图：
进一步提高学生应用勾股定理解决问题的能力．提高学生学习数学的兴趣．
师生行为：
由学生在黑板上板演，其他同学在练习本上完成，教师可巡视学生完成的情况，对程度较差的学生给予及时的辅导．
在本活动中，教师应重点关注：
①学生能否独立完成任务；
②学生解答的过程是否严格规范．
生：1．解：设圆的直径为xdm，根据勾股定理，得502+502=x2，
解得x≈71．
所以圆的直径改为71dm．
2．解：如右图，在Rt△ABC中，AC=20m，BC=60m，根据勾股定理，得
AB2=BC2-AC2=602-202=3 200，AB=40．
所以A，B两点间的距离为40m．
四、课时小结
活动6
问题：谈谈你这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单应用题；学会构造直角三角形．
设计意图：
通过本节，让学生利用勾股定理，完成了将实际问题转化为直角三角形的数学模型的全过程．
师生行为：
学生思考总结．
教师完善，得出结论：
本节是从实际问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解决．
在活动6中，教师应重点关注：
（1）学生能否从实际问题出发，将实际问题转化成直角三角形的问题，并用勾股定理完成解决，体验勾股定理的重要性；
（2）完成是否积极主动地参与小结．
板书设计
18．1 勾股定理（三）
活动与探究
一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路爬最近？你能帮它找出来吗？（这个长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B离点C5厘米）
过程：要求蚂蚁爬行的最短路径，需将空间图形转化成平面图形，即将A和B所在的相邻的两个面展示，利用“两点之间，线段最短”，就可求得．
结果：根据题意，最短路径有下列三种情况（如下图所示）．
由图（1）求得AB2=AB12+BB12=152+202=625；
由图（2）求得AB2=BC12+C1A2=252+102=725；
由图（3）求得AB2=AC2+BC2=302+52=925．
比较上面结果，可知最短路径应为AB=25厘米．
备课资料
一、雅典凉席
毕达哥拉斯平日生活简朴，他的一张雅典凉席（草编的带有绿方格的席子）已伴随他十几个春秋了，夏天又快到了，他的妻子将草席破损处剪去后，剩下一个不方不正的残片（如下图）．
“换一张新的吧！”毕氏的妻子嘟哝着，“实在不能用了．”
正在一旁演算题目的毕氏放下手中的笔，看了看那块被妻子剪裁后的草席道：“把它裁裁拼拼还能用一夏天”．说完他想了一阵，便用手在席子上比划着说：“这样裁成3块（如上图中粗线所示部分），便可将它们拼成一个正方形．”
毕氏说完，妻子看了看又想了一阵说：“你这裁法拼起来太麻烦，还有别的更好的裁法吗？”
毕氏又想了一阵，还是把残草席裁成了3块（图（1）），用它们拼成了一个正方形凉席（图（2）），并且花纹也没有被打乱，妻子看后很满意．
你能试试将按第一种裁法得到的3个图形拼成一个正方形吗？
二、考虑练习
1．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
2．如下图，要修一个育苗棚，棚宽a=2m，b=1.5m，长d=16m，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米？
答案：1．约480m 2．40m2
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