湖南省益阳市六中九年级数学上册《第1课时 建立一元二次方程模型》教案 湘教版.doc

第1课时 建立一元二次方程模型

教学目标
知识与能力:
1. 理解一元二次方程的概念;
2. 掌握一元二次主程的一般形式,能分清一元二次方程的二次项及系数、常数项.
过程与方法
通过观察、类比,归纳一无际一次方程的概念.
情感、 态度与价值观
进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义,激发学生学习数学兴趣.
重点 难点
1．重点：一元二次方程的概念和它的一般形式.
2． 难点：对一元二次方程一般形式的正确理解及其各项系数的确定．
教学方法 创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
学案
学习目标　理解一元二次方程的概念和它的一般形式．
预学检测
1. 只含有＿＿个未知数，并且未知数的＿＿＿＿方程，叫做一元二次方程．
2. 一元二次方程的一般形式为＿＿＿＿，其中二次项为＿＿＿＿，一次项为＿＿＿＿，常数项为＿＿＿＿，二次项系数为＿＿＿＿，一次项系数为＿＿＿＿．
预习思考
已知关于x的方程 (-1) x+(k+1)x-2=0,(1)当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根；（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项．

教学过程
一、复习引入
学生活动：列方程．
问题（1）某住宅小区内有一栋建筑，占地为一边长为35m的正方形．现打算拆除建筑并在其正中间铺上一面积为900的正方形草坪，使四周留出的人行道的宽度相等，问人行道的宽度为多少米？
问题（2）一个数比另一个数小3，且两数之积为10，求这个数．
问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）都有等号，是方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．
三、巩固练习
教材P32 练习1、2
四、应用拓展
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．教材P4习题1.1 1、2、3.

板书设计

一、复习引入
问题1. 2. 3
二、探索新知
例1. 例2
三、巩固练习
四、应用拓展
例3
五、归纳小结
六、布置作业

教学反思
本节课从应用问题入手，让学生经历列一元二次方程的过程，通过类比一元一次方程总结出一元二次方程的定义，这样更能加深学生对定义的理解．对于一元二次方程定义与一般形式的教学，采用了讲练结合的方法，课堂上给学生独立思考的时间与小组合作交流的时间很多，为学生充分提供展示自己的机会，这一过程更利于老师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便更好地进行教学．针对教材中问题3较难的特点，对教材大胆进行改造，有利于突出重点，符合学生的认知规律．
本节课的不足在于通过实际问题列方程在练习中没有体现出来，只是通过布置作业加以弥补．