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课题：第十三讲 函数的综合应用
教学目标：
1.能利用函数的图像确定方程的解和不等式（组）的解集.
2.理解函数与方程、不等式之间的关系.
◆ 课前热身
1．已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（ ）
O
y
x
2
A． B．或
C． D．或
2．在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）
A．一、二、三象限 B．二、三、四象限
C．一、三、四象限 D．一、二、四象限
3.点在反比例函数（）的图象上，则k的值是（ ）．
A． B． C． D．
4、如图为二次函数的图象，给出下列说法：
①；②方程的根为；③；④当时，y随x值的增大而增大；⑤当时，．
其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
处理方式：题目较为基础，学生读题独立思考，给出答案。
设计意图：本环节主旨在于利用近几年来的中考题激起学生学习本考点的积极性，让学生真真切切的体会本考点在中考中的地位，归纳考查形式，做到心中有数，目标明确，从学生昂扬的斗志和铿锵的回答中可以看到学生的积极性和学习的欲望已经被调动起来，实现了导入的目的.
◆考点聚焦
考点一 : 一次函数与方程 (组)、不等式
1.解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，kx＋b＝0的解就是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围．
3．每个二元一次方程组都对应两个一次函数，方程组的解就是这两条直线交点的横、纵坐标.
考点二 ：二次函数与一元二次方程
判别式情况
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根
有两个不相等的实数根
x1，x2
有两个相等的实数根
x1＝x2
没有实数根
考点三：函数的综合应用
1．直接利用一次函数图象解决求一次方程、一次不等式的解及比较大小等问题．
2．直接利用二次函数图象、反比例函数图象解决求二次方程的解及比较大小等问题．
3．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题．
4．利用转化的思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题．
5．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性．
6．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否相符合．
7．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数．
设计意图：函数的知识点较多，若让学生自己梳理，学生梳理的可能不全面.因此，在导学案上以填空题的形式给学生梳理出来，再让学生填空.填空的同时要让学生（1）明确本章的知识点，（2）明确各知识点间的联系.
◆典例精析
考点一 在同一坐标系中确定多个函数的图象
例1 (2013·张家界)若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象在同一坐标系中大致是( )
考点二 利用函数图象解方程(组)或不等式
例2 (2013·黔西南)如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A(m,3)，则不等式2x＜ax＋4的解集为( )
A．x＜ B．x＜3
C．x＞ D．x＞3
考点三 一次函数与反比例函数的综合应用
例3 (2013·聊城)如图，一次函数的图象与x轴、 y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝－的图象在第二象限交于点C，如果点A的坐标为(2,0)，点B是AC的中点．
(1)求点C的坐标；
(2)求一次函数的解析式．
考点四 函数知识的综合应用
例4 (2013·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0，－1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P的坐标；
(3)在(2)的基础上，设直线x＝t(0<t<10)与抛物线交于点N，当t为何值时，△BCN的面积最大？并求出最大值．
考点四 函数知识的综合应用
例4 (2013·东营)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0，－1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P的坐标；
设计意图：只学数学知识，而不将数学知识联系生活，数学就是无意义的学科，也不会唤起学生对数学学习兴趣.利润问题、图形面积问题是二次函数中最具代表性的实际问题，准确分析其中的数量关系是解决问题的关键.
◆迎考精炼
1．若反比例函数y＝与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可以是( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2．如图，正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象交于A(－1,2)，B(1，－2)两点，若y1<y2，则x的取值范围是( )
A．x<－1或x>1
B．x<－1或0<x<1
C．－1<x<0或0<x<1
D．－1<x<0或x>1
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数 y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是
( )
4．设函数y＝与y＝x－1的图象的交点坐标为(a，b)，则－的值为
5．如图，函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝(x＞0)的图象交于A，B两点，与y轴交于C点，已知 A点坐标为(2,1)，C点坐标为(0,3)．
(1)求函数y1的解析式和
B点坐标；
(2)观察图象，比较当x＞0
时，y1与y2的大小．
设计意图：学习函数的一种重要的方法就是“数形结合”.导入问题主要考查学生对二次函数图象性质的理解程度，同时在每一个信息的背后让学生明确每一个知识点.设计为结论开放题，可以尊重每一位学生，让各层次学生都能有成功的体验.
◆达标检测
1．已知反比例函数y＝(b为常数，且b≠0)，当x>0时，y随x的增大而增大，则一次函数y＝x＋b的图象不经过第______象限．( )
A．一 B．二
C．三 D．四
2．等腰三角形的周长为4，当底边长y是腰长x的函数时，此函数的图象是( )
3．(2013·呼和浩特)在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )
4．如图所示，函数y1＝x－1和函数y2＝的图象相交于点M(2，m)，N(－1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是( )
A．x＜－1或0＜x＜2
B．x＜－1或x＞2
C．－1＜x＜0或0＜x＜2
D．－1＜x＜0或x＞2
5．(2013·德州)函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c>0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1<x<3时，x2＋(b－1)x＋c<0.其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
6．烟花厂为扬州“4·18烟花三月经贸旅游节”特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮在点火升空后到最高点处才引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A．3 s B．4 s
C．5 s D．6 s
7．(10分)如图，一次函数y＝kx－3的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点P(1,2)．
(1)求k，m的值；
(2)根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值．
8．(14分)如果一条抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
(1)“抛物线三角形”一定是 等腰 三角形；
(2)若抛物线y＝－x2＋bx(b>0)的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
(3)如图，△OAB是抛物线y＝－x2＋b′x(b′>0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．
设计意图：为了能及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，分层设置一组课堂反馈训练题，要求学生完成必做题后，可以有选择的去做选做题，有助于学生开拓思维，提高能力．
◆布置作业
复习丛书第十三讲
板书设计:
第十三讲 函数的综合应用
一、例1
二、例2
三、例3
四、例4
投
影
区
学生板演处
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