九年级数学上册 2.3 用公式法求解一元二次方程教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

2．3　用公式法求解一元二次方程
第1课时　用公式法解一元二次方程

【知识与技能】
1．在教师的指导下，学生能够正确地导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力．
2．能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力．
【过程与方法】
通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力．
【情感态度】
通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力．

【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用．
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导．

一、创设情境，导入新课
能否用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)?
教师引导学生回忆配方法解一元二次方程的基本思路及基本步骤．
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解如何求得？有没有什么简便方法？
学生观察分析、思考找出解决问题的途径，小组内讨论交流．
二、合作交流，探究新知
(1)活动1：自主推导求根公式．
提出问题：解一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
学生在演算纸上自主推导、并针对自己推导过程中预见的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式．
解：两边都除以一次项系数a得x2＋x＋＝0，
问：为什么可以两边都除以一次项系数a?
答：因为a≠0，
配方：加上再减去一次项系数一半的平方，
x2＋x＋－＋＝0，
即：－＝0，
＝，
问：现在可以两边开平方吗？
答：不可以，因为不能保证≥0.
问：什么情况下≥0?
学生讨论后回答：
答： ∵ a≠0，∴ 4a2>0.
要使≥0，只要b2－4ac≥0即可．
∴当b2－4ac≥0时，两边开平方取“±” 得：
x＋＝±.
x＋＝±，x＝－±，
x＝.
问：如果b2－4ac<0时，会出现什么问题？
答：方程无解．
如果b2－4ac＝0呢？
答：方程有两个相等的实数根．
(2)活动2：归纳总结公式法定义和根的判别式．
三、运用新知，深化理解
活动内容：
1．判断下列方程是否有解：(学生口答)
(1) 2x2＋3＝7x；(2)x2－7x＝18；
(3)3x2＋2x＋1＝0；(4)9x2＋6x＋1＝0；
(5)16x2＋8x＝3；(6)2x2－9x＋8＝0.
学生迅速演算或口算出b2－4ac，从而判断出根的情况．
2．上述方程如果有解，求出方程的解．
学生口述，教师板书第(1)题，第(4)题．
例1：解方程2x2＋3＝7x.
解：先将方程化成一般形式：2x2－7x＋3＝0，
确定a，b，c的值：a＝2, b＝－7, c＝3.
判断方程是否有根：
∵b2－4ac＝(－7)2－4×2×3＝25>0，
∴x＝＝，
写出方程的根：即x1＝3，x2＝－.
例2：解方程 9x2＋6x＋1＝0.
确定a，b，c的值 ：a＝9, b＝6, c＝1.
判断方程是否有根：
∵b2－4ac＝62－4×9×1＝0，
∴x＝＝＝－.
【教学说明】通过让学生口述交流或上黑板解方程，公示学生的思维过程，查缺补漏，了解学生的掌握情况和灵活运用所学知识的程度．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
本节课你学到了什么？提出问题：
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？
2．如何判断一元二次方程根的情况？
3．用公式法解方程应注意的问题是什么？
4．你在解方程的过程中有哪些小技巧？
让学生在四人小组中进行回顾与反思后，进行组间交流发言．
六、布置作业
1．教材习题2.5第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．

第2课时　一元二次方程的简单应用

【知识与技能】
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法．
【过程与方法】
通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性．
【情感态度】
通过列方程解决简单的实际问题，体会运用代数中方程的思想方法解应用题的优越性．

【教学重点】
通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，巩固解一元二次方程的方法．
【教学能点】
会用一元二次方程解简单易行的实际问题，会根据实际问题检验解的合理性．

一、创设情境，导入新课
活动内容：
教师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？
在一块长为16 m，宽为12 m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半．你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？
二、合作交流，探究新知
学生先自己设计，画出草图，教师选择具有代表性的几种：

问题解答：
1．如何设未知数？怎样列方程？
2．分组解答图(5)所列的方程．
图(5)的解答：
解：设小路的宽为x m，由题意得：
(16－2x)(12－2x)＝16×12×，
整理，得：x2－14x＋24＝0，
x2－14x＋49＝－24＋49，
(x－7)2＝25，
x1＝12，x2＝2.
答：(略)．
问题：你认为小路的宽为12 m和2 m都符合实际意义吗？
集体解答图(7)，根据学生所列的方程进行解答．
【教学说明】通过问题的解答和验证，使学生明确用数学知识解决实际问题时，它的解要符合实际意义，增强用数学的意识，巩固用配方法解一元二次方程．
三、运用新知，深化理解
活动内容：在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？

出示图(2)和图(3)做比较，你认为那一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？
解：设金边的宽为x m，由题意得：
(90＋2x)(40＋2x)×72%＝90×40.
【教学说明】增强用数学的意识，进一步巩固用配方法解一元二次方程．
四、课堂练习，巩固提高
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“互动课堂”部分．
五、反思小结，梳理新知
通过本节课的学习，你有哪些感悟？还有哪些困惑？
六、布置作业
1．教材习题2.6第2、3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．