资源描述
4.2 解一元一次方程
【教学目标】
知识与技能：（1）了解与一元一次方程有关的概念．
（2） 理解等式的基本性质，并能用等式性质来解一元一次方程.
（3） 会解含有括号的一元一次方程，并能判别解的合理性.
（4） 掌握含有分母的一元一次方程的解法.
过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，感受数学思考过程的条理性和数学结论的严密性.
情感态度与价值观：体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化.
【重难点】
重点：掌握解一元一次方程的方法.
难点：（1）解含括号的方程，符号的变化．
（2）解含分母的方程，求各分母的最小公倍数，以及去分母时，有时要添括号.
【教学过程】
活动一：创设情境，导入新课
教师请一位同学阅读“丢番图”的故事.
丢番图（Diophantus）是古希腊数学家.人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：
坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅途. 上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛. 五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉. 悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.
——出自《希腊诗文选》（The Greek Anthology）第126题
你能用方程求出丢番图去世时的年龄吗？大家讨论一下.（引入新课）
活动二：实践探究，交流新知
【探究一】利用小学所学的知识可以设他的年龄为x岁，列出的方程为
x+x+x+5+x+4=x.
教师进一步提出问题：结合算术法，你能试着解出这个方程吗？得到的结果对所列的方程来说具有什么特点？
学生可能利用逆运算求解，得出所求的结果使方程左右两边的值相等的特点，教师加以肯定，教师归纳总结有关方程的概念：
方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
例1 检验下列各数是不是方程4x-3=2x+3的解.
（1）x=3；（2）x=8.
处理方式：教师讲解题（1），学生代表上台板演题（2），教师点评.
解：（1）把x=3分别代入方程等号的左边和右边，得
左边= ，右边= .
左边=右边.
所以x=3是方程4x-3=2x+3的解.
（2）把x=8分别代入方程等号的左边和右边，得
左边=，右边=.
左边≠右边.
所以x=8不是方程4x-3=2x+3的解.
【探究二】等式的性质
1.实验演示.
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律，然后按如图的方法演示实验.
（课件展示课本第81页图3.1－1）
教师可以进行两次不同物体的实验，学生独立思考，小组内交流，代表发言.
2.集体归纳.
在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质.比如“8＝8”，我们在两边都加上6，就有“8＋6＝8＋6”；两边都减去11，就有“8－11＝8－11”.
提出问题1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？
学生思考，师生共同归纳：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
提出问题2：等式一般可以用a＝b来表示，等式的性质1怎样用式子的形式来表示？学生思考，师生共同归纳：
如果a＝b，那么a±c＝b±c.（字母a，b，c可以表示具体的数，也可以表示一个式子.）
3.演示归纳.
观察下列实验，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？
（课件展示课本第81页图3.1－2）
在学生观察上图时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义. 观察后再请一名学生用实验验证.然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b（c≠0），那么.
【探究三】利用等式的性质解一元一次方程
例2 利用等式的性质解方程：
(1)0.6－x＝2.4；(2)－13x－5＝4.
处理方式：教师讲解题（1），学生自主解答题（2），教师点评.
解：（1）两边减0.6，得0.6－x－0.6＝2.4－0.6.
化简，得－x＝1.8.
两边同乘－1，得x＝－1.8.
（2）两边加5，得－13x－5＋5＝4＋5.
化简，得－13x＝9.
两边同乘－3，得x＝－27.
小结：(1)方程的解答中两次运用了等式的性质；(2)解方程的目标是把方程最终化为x＝a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化.
【探究四】移项
利用等式的基本性质，我们对两个方程进行了如下的变换，观察并回答：
（1）与原方程相比，哪些项的位置发生了改变？哪些没变？
（2）改变位置的项的符号是否发生了变化？没改变位置的项的符号是否发生了变化？
归纳：像这样把原方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项.
移项要注意：（1）移项的根据是等式的基本性质1.（2）移项要变号，没有移动的项不改变符号.（3）通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移动方程的右边.
例4 解下列方程：
（1）2x+6=1；（2）3x+3=2x+7.
解：（1）2x+6=1移项得2x=1-6.
化简，得2x=-5.
方程两边同时除以2，得x=-.
（2）3x+3=2x+7移项得3x-2x=7-3.
合并同类项，得x=4.
【探究五】解方程——去括号
教师：4（x+0.5）+x=10-3与4x+4×0.5+x=10-3有什么关系呢？
学生：去掉了括号.
教师：是的，对于一些含有括号的方程，我们求解未知数时，要先去掉括号，再解方程.
带括号的一元一次方程的解法：
（1） 去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1.
例5 解下列方程：
（1）4x+3(2x-3)=12-(x+4)； ( 2 ) 6(x-4)+2x=7-(x-1).
处理方式：学生代表上台板演，师生共同评析.
解：（1）去括号，得4x+6x-9=12-x-4.
移项，得 4x+6x+x=12-4+9 .
合并，得 11x=17 .
系数化为1，得 x=.
（2）去括号，得3x-24+2x=7-x+1.
移项，得3x+2x+x=7+1+24.
合并，得 5x=32.
系数化为1，得 x=6.
【探究六】解方程——去分母
教师：解方程：（x+14）=（x+20）.
解：（解法1）去括号，得x+2=x+5.
移项、合并同类项，得-x=3.
方程两边同时除以-，得x=-28.
（解法2）去分母，得4（x+14）=7（x+20）.
去括号，得4x+56=7x+140.
移项、合并同类项，得-3x=84.
方程两边同时除以-3，得x=-28.
学生解完方程后，回答：
（1）两种解法有什么不同？
（2）解法2中如何把方程中的分母化去的？依据是什么？
（3）你认为哪种解法比较好？
解：（1）解法1是按去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解的；解法2是按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解的.
（2）解法2方程的左、右两边同时乘各分母的最小公倍数，依据是
等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式.
（3）解法2好，去分母后，不再涉及分数的计算，不易出错.
解一元一次方程的步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
注意：解一元一次方程时，不一定都要严格按照这样的步骤.
例6 解方程：（1）；（2）[（x-1）]=1.
解：（1）去分母，得4（x-2）-（x+1）=60.
去括号，得4x-8-x-1=60.
移项、合并同类项，得3x=69.
方程两边同时除以3，得x=23.
（2）去括号，得x-=1.
去分母，得x-2=5.
移项，得x=7.
例7 整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计算由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人工作？
处理方式：学生代表上台板演，师生共同评析.
解：设应先安排x人工作，根据题意列方程
+＝1.
去分母，得4x+8（x+2）=40
去括号，得4x+8x+16=40
移项，合并，得 12x=24
解得 x=2
答：应先安排2人工作4小时．
【当堂反馈】
1.解下列方程：（1）2x+6=1；
（2）3x+3=2x+7；
（3）；
（4） .
【课后小结】
解方程的一般步骤：
步骤
方法
注意
去分母
在方程两边都乘_______
不要漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后应加括号
去括号
先去_______，再去_______，最后_______
带着符号计算，不要漏乘
移项
把________项都移到方程的一边，其他项移到另一边
移项要________
合并
把方程两边分别合并，化成ax＝b的形式
合并只是系数相加，字母及指数不变
系数
化为1
在方程两边都除以未知数的系数________，得到方程的解x＝
分子、分母要________
【教学反思】
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