可化为一元二次方程的分式方程.doc

可化为一元二次方程的分式方程

一、教学目标
　　1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.
　　2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
　　3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.
　　二、重点·难点·疑点及解决办法
　　1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
　　2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．
　　3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．
　　4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.
　　三、教学步骤
　　（一）教学过程
　　1．复习提问
　　（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？
　　（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？
　　（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.
　　通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.
　　在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.
　　在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.
　　2．例题讲解
　　例1 解方程.
　　分析 对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.
　　解：两边都乘以，得

　　去括号，得

　　整理，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，所以是原方程的根.
　　∴ 原方程的根是.
　　虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学
　　生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另
　　外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解
　　分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．
　　例2 解方程
　　分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是
　　正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所
　　以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．
　　解：方程两边都乘以，约去分母，得

　　整理后，得
　　解这个方程，得
　　检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
　　代入它等于0，所以是增根．
　　∴ 原方程的根是
　　师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．
　例一、教学目标
　　1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，能用去分母的方法或换元的方法求此类方程的解，并会验根.
　　2．通过本节课的教学，向学生渗透“转化”的数学思想方法；
　　3．通过本节的教学，继续向学生渗透事物是相互联系及相互转化的辨证唯物主义观点.
　　二、重点·难点·疑点及解决办法
　　1．教学重点：可化为一元二次方程的分式方程的解法．
　　2．教学难点：解分式方程，学生不容易理解为什么必须进行检验．
　　3．教学疑点：学生容易忽视对分式方程的解进行检验通过对分式方程的解的剖析，进一步使学生认识解分式方程必须进行检验的重要性．
　　4．解决办法：（l）分式方程的解法顺序是：先特殊、后一般，即能用换元法的方程应尽量用换元法解．（2）无论用去分母法解，还是换元法解分式方程，都必须进行验根，验根是解分式方程必不可少的一个重要步骤．（3）方程的增根具备两个特点，①它是由分式方程所转化成的整式方程的根②它能使原分式方程的公分母为0.
　　三、教学步骤
　　（一）教学过程
　　1．复习提问
　　（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方法与步骤是什么？
　　（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方法是什么？
　　（3）解方程，并由此方程说明解方程过程中产生增根的原因.
　　通过（1）、（2）、（3）的准备，可直接点出本节的内容：可化为一元二次方程的分式方程的解法相同.
　　在教师点出本节内容的处理方法与以前所学的知识完全类同后，让全体学生对照前面复习过的分式方程的解，来进一步加深对“类比”法的理解，以便学生全面地参与到教学活动中去，全面提高教学质量.
　　在前面的基础上，为了加深学生对新知识的理解，教师与学生共同分析解决例题，以提高学生分析问题和解决问题的能力.
　　2．例题讲解
　　例1 解方程.
　　分析 对于此方程的解法，不是教师讲如何如何解，而是让学生对已有知识的回忆，使用原来的方法，去通过试的手段来解决，在学生叙述过程中，发现问题并及时纠正.
　　解：两边都乘以，得

　　去括号，得

　　整理，得

　　解这个方程，得

　　检验：把代入，所以是原方程的根.
　　∴ 原方程的根是.
　　虽然，此种类型的方程在初二上学期已学习过，但由于相隔时间比较长，所以有一些学
　　生容易犯的类型错误应加以强调，如在第一步中．需强调方程两边同时乘以最简公分母．另
　　外，在把分式方程转化为整式方程后，所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由于是解
　　分式方程，所以在下结论时，应强调取一即可，这一点，教师应给以强调．
　　例2 解方程
　　分析：解此方程的关键是如何将分式方程转化为整式方程，而转化为整式方程的关键是
　　正确地确定出方程中各分母的最简公分母，由于此方程中的分母并非均按的降幂排列，所
　　以将方程的分母作一转化，化为按字母终X进行降暴排列，并对可进行分解的分母进行分解，从而确定出最简公分母．
　　解：方程两边都乘以，约去分母，得

　　整理后，得
　　解这个方程，得
　　检验：把代入，它不等于0，所以是原方程的根，把
　　代入它等于0，所以是增根．
　　∴ 原方程的根是
　　师生共同解决例1、例2后，教师引导学生与已学过的知识进行比较．

　 解分式方程的基本思想
在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程;.即
分式方程转化为整式方程;
解分式方程的基本方法
(1)去分母法
去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的公最简分母为,使分式方程转化为整式方程;
.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根.
产生增根的原因:
当公分最简母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解.
检验根的方法:
将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等.
为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使为等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去.
注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公
分母为0.
用去分母法解分式方程的一般步骤:
(i)去分母,将分式方程转化为整式方程;
(ii)解所得的整式方程;
(iii)验根做答
(2)换元法
为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程.
用换元法解分式方程的一般步骤:
(i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数
式;
(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;
(iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值;
(iv)检验做答.
注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊方法.它的基本思想是用换元法把原方程化简,把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程.
(2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般,即先考虑能否用换元法解,不能用换元法解的,再用去分母法.
(3)无论用什么方法解分式方程,验根都是必不可少的重要步骤.