2016-2017新课标创新理数总复习----一轮复习再回顾.doc

一轮复习再回顾
　专题一　选择题、填空题对点练
集合与常用逻辑用语
[记概念公式]
1．集合的基本概念
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．
(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念．
2．集合的基本运算
(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
3．运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

[览规律技巧]
1．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．
2．解决集合的运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解．
3．判断命题真假的方法
(1)等价转化法：当一个命题的真假不好判断时，可转化为判断它的逆否命题的真假．
(2)特值法：当判定一个全称命题为假或一个特称命题为真时，可代入特值进行验证．
注意：判断有关不等式的充分条件和必要条件问题时，记住“小范围”⇒“大范围”．
[练经典考题]
一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　
．设全集为R，集合A＝{x∈R|x2<4}，B＝{x|－1<x≤4}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A．(－1,2) B．(－2，－1) C．(－2，－1] D．(－2,2)
解析：选C　由x2<4，得－2<x<2，所以A＝{x|－2<x<2}．∁RB＝{x|x≤－1或x＞4}，所以A∩(∁RB)＝{x|－2<x≤－1}．
2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{2,3}，集合B＝{1,3}，则(∁UA)∩(∁UB)的子集有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选D　∁UA＝{1,4,5}，∁UB＝{2,4,5}，则(∁UA)∩(∁UB)＝{4,5}，所以其子集有4个．
3．已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,2] D．[2，＋∞)
解析：选D　A＝{x|log2x<1}＝{x|0<x<2}．因为A∪B＝B，所以A⊆B，所以c≥2.
4．已知命题p：a，b，c成等比数列，命题q：b＝，那么命题p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D　a，b，c成等比数列，则有b2＝ac，b＝±，所以p不是q的充分条件．当a＝b＝c＝0时，有b＝成立，但此时a，b，c不成等比数列，所以p不是q的必要条件．所以p是q的既不充分也不必要条件．
5．命题“存在x∈R，x3＋x＋1≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3＋x＋1≤0
B．存在x∈R，x3＋x＋1>0
C．对任意的x∈R，x3＋x＋1>0
D．对任意的x∈R，x3＋x＋1≤0
解析：选C　“存在x∈R，x3＋x＋1≤0”的否定是“对任意的x∈R，x3＋x＋1>0”．
6．设集合A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，则A∩B＝(　　)
A．{1,2,5} B．{1,2,4,5}
C．{1,4,5} D．{1,2,4}
解析：选B　当k＝0时，x＝1；当k＝1时，x＝2；当k＝5时，x＝4；当k＝8时，x＝5.所以A∩B＝{1,2,4,5}．
7．已知集合M＝，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N＝(　　)
A．∅ B．{x|x≥1}
C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0}
解析：选C　由≥0得∴x>1或x≤0，∴M＝{x|x>1或x≤0}，又∵N＝{y|y≥1}，∴M∩N＝{x|x>1}．
8．命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是(　　)
A．若a，b都是偶数，则a＋b不是偶数
B．若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数
C．若a，b都不是偶数，则a＋b不是偶数
D．若a，b不都是偶数，则a＋b是偶数
解析：选B　因为“都是”的否定是“不都是”，所以“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”．

解析：选A　易知函数y＝e|x－1|的图像关于直线x＝1对称是真命题；将x＝代入y＝cos中，得y＝0，故函数y＝cos的图像关于点对称是真命题．p和q都为真，所以p且q为真命题．

解析：选A　当a>1时，一元二次方程x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a<0，则x2＋2x＋a>0对任意x∈R恒成立，故函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R.故命题p是真命题；直线ax＋2y＝0与直线2x－3y＝3垂直等价于a×2＋2×(－3)＝0，解得a＝3，故“a＝3”是“直线ax＋2y＝0与直线2x－3y＝3垂直”的充要条件，故命题q是真命题．所以p或q为真命题，
11．设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(1，＋∞)
解析：选B　A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，因为函数y＝f(x)＝x2－2ax－1的图像的对称轴为x＝a>0，f(0)＝－1<0，根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f(2)≤0且f(3)>0，即所以即≤a＜.
12．下列命题中正确的是(　　)
A．命题“任意x∈R，x2－x≤0”的否定是“存在x∈R，x2－x≥0”
B．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”
C．存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题
解析：选C　A中命题的否定是“存在x∈R，x2－x>0”，所以A错误；B中“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，所以B错误；C中m＝2时成立；D中“若cos x＝cos y，则x＝y＋2kπ或x＝－y＋2kπ，k∈Z”，所以D错误．
二、填空题
13．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x＋1}，则A∩B＝________.
解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(1，＋∞)，所以A∩B＝[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
14．已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由x2－a≥0，得a≤x2，x∈[1,2]，所以a≤1.要使q成立，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2.因为命题“p且q”是真命题，则p，q同时为真，即即a≤－2或a＝1.
答案：(－∞，－2]∪{1}
15．当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为________．
解析：因为B＝{x|ax2＝1，a≥0}，所以若a＝0，则B为空集，满足B⊆A，此时A与B构成“全食”．若a>0，则B＝{x|ax2＝1，a≥0}＝，由题意知＝1或＝，解得a＝1或a＝4.此时A与B构成“偏食”．故a的取值集合为{0,1,4}．
答案：{0,1,4}
16．若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
解析：P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)<f(2)}，Q＝{x|f(x)<－4}＝{x|f(x)<f(－1)}，因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t<2}＝{x|x<2－t}，Q＝{x|x<－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则有2－t<－1，即t>3.
答案：(3，＋∞)
函数的图像、性质及应用
[记概念公式]
1．指数与对数式的运算公式
am·an＝am＋n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN；loga＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0)．
2．函数的零点与方程根的关系

3．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
[览规律技巧]
1．函数单调性和奇偶性的重要结论
(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，函数f(x)＋g(x)为增(减)函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．
(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称．
(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数；奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；奇函数与偶函数的积、商是奇函数．
2．函数的周期性
(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期．
(2)设f(x)是R上的偶函数，且图像关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．
(3)设f(x)是R上的奇函数，且图像关于直线x＝a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，4a是它的一个周期．
3．函数图像的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图像关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称．
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝对称．
4．利用指数函数与对数函数的性质比较大小
(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图像进行比较．
[练经典考题]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝则f[f(2)]＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B. C．2 D．4
解析：选A　因为f(2)＝－，所以f[f(2)]＝f(－)＝4＝.
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝ B．y＝cos x
C．y＝3x D．y＝ln|x|
解析：选D　利用排除法求解．函数y＝，y＝3x都是非奇非偶函数，排除A和C；函数y＝cos x，x∈(0，＋∞)不单调，排除B；函数y＝ln|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选D.
3．设a，b∈R，若函数f(x)＝(x∈R)是奇函数，则a＋b＝(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：选B　因为函数f(x)＝(x∈R)是奇函数，所以f(0)＝＝0，得a＝－1，又因为f(1)＋f(－1)＝0，所以＋＝0，解得b＝1，经检验，符合题意．故a＋b＝0.
4．已知定义域为R的函数f(x)的图像关于原点对称．当x>0时，f(x)＝ln x，则f(－e)＝(　　)
A．－e B．e
C．1 D．－1
解析：选D　由于函数f(x)的图像关于原点对称，故f(x)为奇函数，故f(－e)＝－f(e)＝－ln e＝－1.
5．已知函数f(x)＝4－x2，y＝g(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，g(x)＝log2x，则函数f(x)·g(x)的大致图像为(　　)

解析：选D　因为函数f(x)＝4－x2为偶函数，y＝g(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)·g(x)为奇函数，其图像关于原点对称，所以排除A，B.当x>2时，g(x)＝log2x>0，f(x)＝4－x2<0，所以此时f(x)·g(x)<0，排除C.
6．已知函数f(x)＝ln x，则函数g(x)＝f(x)－f′(x)的零点所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：选B　因为f′(x)＝，所以g(x)＝f(x)－f′(x)＝ln x－.因为g(1)＝ln 1－1＝－1<0，g(2)＝ln 2－>0，所以函数g(x)的零点所在的区间为(1,2)．
7．函数f(x)＝(x＋1)ln x－1的零点有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：选B　由f(x)＝(x＋1)ln x－1＝0得ln x＝，作出函数y＝ln x，y＝的图像如图，由图像可知交点个数为1，即函数的零点个数为1.

8．若当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0<|f(x)|≤1，则函数y＝loga的图像大致为(　　)

解析：选B　因为当x∈R时，函数f(x)＝a|x|始终满足0<f|x|≤1，所以0<a<1，则当x>0时，函数y＝loga＝－logax，显然此时函数单调递增．
9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)＝(　　)
A．0 B．3 C．4 D．6
解析：选A　依题意得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，故f(x)是以4为周期的周期函数，2 014＝4×503＋2，因此f(2 014)＝f(2)＝0.
10．奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝3x＋，则f(log354)＝(　　)
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选A　∵f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．又∵f(log354)＝f＝f＝f＝－f，易知0<log3<1，∴f＝3log3＋＝＋＝2，∴f(log354)＝－2.
11. 设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及y2＝log2x＋2的图像交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2的图像上．若△ABC为正三角形，则m·2n＝(　　)

A．8 B．12
C．12 D．15
解析：选B　由题意可得BC＝2，则正三角形的边长为2，设直线BC：x＝t，则t＝m＋，log2t＝log2m＋1，t＝2m，则t＝m＋＝2m，解得m＝.又n＝log2m＋2,2n－2＝m,2n＝4m，所以m·2n＝4m2＝4×()2＝12.
12．函数f(x)＝cos πx与函数g(x)＝|log2|x－1||的图像所有交点的横坐标之和为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选B　将两个函数的图像同时向左平移1个单位，得到函数y＝f(x＋1)＝cos π(x＋1)＝cos(πx＋π)＝－cos πx，y＝g(x＋1)＝|log2|x||的图像，则此时两个新函数均为偶函数．在同一坐标系下分别作出函数y＝f(x＋1)＝－cos πx 和y＝g(x＋1)＝|log2|x||的图像如图，可知有四个交点，两两关于y轴对称，所以此时所有交点的横坐标之和为0，所以函数f(x)＝cos πx与函数g(x)＝|log2|x－1||的图像所有交点的横坐标之和为4.

二、填空题
13．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则满足f(2x－1)<f的x的取值范围是________．
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2x－1)＝f(|2x－1|)，所以f(2x－1)<f⇔f(|2x－1|)<f，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以|2x－1|>，解得x<，或x>，所以x的取值范围为∪.
答案：∪
14．已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N＋，则a＋b＝________.
解析：由于函数f(x)＝ln x＋3x－8，故函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又a，b∈N＋，f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0.f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且b－a＝1，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，∴a＋b＝5.
答案：5
15．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，有如下结论：
①任意x∈(－1,1)，f(－x)＝f(x)；②任意x∈(－1,1)，f(－x)＝－f(x)；③任意x∈(－1,1)，f(x)为增函数；④若 f(a)＝ln 2，则a＝.
其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)
解析：f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)＝ln，f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝ln 1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，①错误，②正确；f(x)＝ln＝ln－1＋，利用复合函数的单调性可知f(x)为增函数，③正确；∵f(a)＝ln＝ln 2，∴＝2，∴a＝，④正确．
答案：②③④
16．已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：
①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；
②函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数；
③直线y＝x与函数f(x)的图像有1个交点；
④函数f(x)的值域为(－1,1)．
其中正确的命题序号有________．
解析：结合函数图像逐个判断．当x∈[1,2)时，x－1∈[0,1)，f(x)＝－f(x－1)＝－log2x，且x≥0时，f(x)＝f(x＋2)，又f(x)是R上的偶函数，作出函数f(x)的部分图像如图，由图可知，②错误，③④都正确；f(2 013)＝f(1)＝－f(0)＝0，f(2 014)＝f(0)＝0，所以f(2 013)＋f(－2 014)＝0，①正确，故正确的命题序号是①③④.

答案：①③④

导数的运算及简单应用
[记概念公式]
1．求导公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ln x)′＝；(logax)′＝；
(4)(ex)′＝ex；(ax)′＝axln a.
2．导数的四则运算法则
(1)[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)．
(2)[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)．
(3)′＝(v(x)≠0)．
3．导数与极值
函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．
[览规律技巧]
“切点”的应用规律
(1)若题目中没有给出“切点”，就必须先设出切点．
(2)切点的三种情况：切点在切线上；切点在曲线上；切点处的导数值等于切线的斜率．
[练经典考题]
一、选择题
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．2 B．－2 C. D．－
解析：选D　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，∴f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－.
2．已知函数f(x)＝2－2ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是(　　)
A．2x＋y－2＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋y－2＝0 D．y＝0
解析：选B　函数f(x)＝2－2ln x，f(1)＝0，f′(x)＝2－.曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为f′(1)＝2.从而曲线y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
3．若曲线f(x)＝x3＋x2＋mx的所有切线中，只有一条与直线x＋y－3＝0垂直，则实数m的值等于(　　)
A．0 B．2 C．0或2 D．3
解析：选B　f′(x)＝x2＋2x＋m，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，由题意知关于x的方程x2＋2x＋m＝1，即(x＋1)2＝2－m有且仅有一解，所以m＝2.
4.dx＝(　　)
A．2ln 3＋4 B．2ln 3 C．4 D．ln 3
解析：选A　dx＝[2ln(x＋1)＋x2]＝2ln 3＋4.
5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋b)2＋c的图像如图所示，则函数f(x) 的图像可能是(　　)

解析：选D　由导函数图像可知，当x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，排除A，B.当0<x<x1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，因此，当x＝0时，f(x)取得极小值，排除C.
6．函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选B　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．
7．函数f(x)的图像如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排列正确的是(　　)

A．0<f′(1)<f′(2)<f(2)－f(1)
B．0<f′(2)<f(2)－f(1)<f′(1)
C．0<f′(2)<f′(1)<f(2)－f(1)
D．0<f(2)－f(1)<f′(1)<f′(2)
解析：选B　由已知函数的图像可知函数f(x)是增函数，但增加的速度越来越慢，结合导数的几何意义可知f′(1)>>f′(2)>0.
8．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C　f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立，
即解得a≥.
9．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<，则不等式f(x2)>的解集为(　　)
A．(1,2) B．(0,1) C．(－1,1) D．(1，＋∞)
解析：选C　令g(x)＝f(x)－(x＋1)，∴g′(x)＝f′(x)－<0，故g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减且g(1)＝0.令g(x)>0，则x<1，f(x2)>⇔f(x2)－>0⇔g(x2)>0⇔x2<1⇔－1<x<1.
10．若函数y＝e(a－1)x＋4x(x∈R)有大于零的极值点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－3，＋∞) B．(－∞，－3)
C. D.
解析：选B　因为y′＝(a－1)e(a－1)x＋4，所以导函数的零点为x0＝ln，因为函数y＝e(a－1)x＋4x(x∈R)有大于零的极值点，故ln>0，得到a<－3.
11．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－2(a≠0)有且仅有两个不同的零点x1，x2，则(　　)
A．当a<0时，x1＋x2<0，x1x2>0
B．当a<0时，x1＋x2>0，x1x2<0
C．当a>0时，x1＋x2<0，x1x2>0
D．当a>0时，x1＋x2>0，x1x2<0
解析：选B　由于函数有且仅有两个不同的零点，因此必有一个零点是重零点，则令f(x)＝a(x－x1)(x－x2)2＝ax3－a(x1＋2x2)x2＋ax2(2x1＋x2)x－ax1x，
则ax1x＝2　①，
ax2(2x1＋x2)＝0　②，
当a<0时，由①式得，x1<0且x2≠0，
由②式得，2x1＋x2＝0，x2＝－2x1.
因此，x1＋x2＝－x1>0，x1x2＝－2x<0.
当a>0时，由①式得，x1>0且x2≠0，
由②式得，2x1＋x2＝0，x2＝－2x1.
因此，x1＋x2＝－x1<0，x1x2＝－2x<0.只有B项符合．
12．我们常用以下方法求形如函数y＝f(x)g(x)(f(x)>0)的导数：先两边同取自然对数ln y＝g(x)ln f(x)，再两边同时求导得到·y′＝g′(x)ln f(x)＋g(x)··f′(x)，于是得到y′＝f(x)g(x)g′(x)ln f(x)＋g(x)··f′(x)，运用此方法求得函数y＝x(x>0)的一个单调递增区间是(　　)
A．(e,4) B．(3,6) C．(0，e) D．(2,3)
解析：选C　由题意知f(x)＝x，g(x)＝，则f′(x)＝1，g′(x)＝－，所以y′＝x＝x·，由y′＝x·>0得1－ln x>0，解得0<x<e，即单调递增区间为(0，e)．
二、填空题
13．已知函数f(x)＝x－sin x－cos x的图像在A(x0，f(x0))处的切线斜率为1，则tan x0＝________.
解析：函数f(x)的导函数f′(x)＝－cos x＋sin x，由f′(x0)＝1得－cos x0＋sin x0＝1，即sinx0－＝1，所以x0－＝2kπ＋，k∈Z，即x0＝2kπ＋，k∈Z.所以tan x0＝tan＝tan＝－.
答案：－
14．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a(a>0)与抛物线y＝x2所围成的封闭图形的面积为，则a＝________.
解析：根据定积分的应用可知所求面积为2∫0(a－x2)dx＝20＝，即＝，解得a＝2.
答案：2
15．已知向量a＝，b＝(1，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上存在单调递增区间，则实数t的取值范围为________．
解析：f(x)＝ex＋－tx，x∈(－1,1)，f′(x)＝ex＋x－t，∵函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上存在单调递增区间，∴f′(x)＝ex＋x－t>0在区间(－1,1)上有解，即t<ex＋x在区间(－1,1)上有解，而在区间(－1,1)上ex＋x<e＋1，∴t<e＋1.
答案：(－∞，e＋1)
16．已知函数f(x)＝ex(sin x－cos x)(0≤x≤2 015π)，则函数f(x)的各极大值之和为________．
解析：∵函数f(x)＝ex(sin x－cos x)，∴f′(x)＝ex(sin x－cos x)＋ex(cos x＋sin x)＝2exsin x．令f′(x)＝0，解得x＝kπ(k∈Z)，当2kπ<x<2kπ＋π(k∈Z)时，f′(x)>0，原函数单调递增，当2kπ＋π<x<2kπ＋2π(k∈Z)时，f′(x)<0，原函数单调递减，∴当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，函数f(x)取得极大值，此时f(2kπ＋π)＝e2kπ＋π[sin(2kπ＋π)－cos(2kπ＋π)]＝e2kπ＋π(k∈Z)，又∵0≤x≤2 015π，∴0和2 015π都不是极值点，∴函数f(x)的各极大值之和为eπ＋e3π＋e5π＋…＋e2 011π＋e2 013π＝＝.
答案：

三角函数与解三角形
[记概念公式]
1．三角函数诱导公式(k∈Z)的本质
奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．
2．两角和与差的三角函数公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
3．二倍角公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，cos2α＝，sin2α＝；
(3)tan 2α＝.
4．正弦定理及其变形
在△ABC中，＝＝＝2R(其中R是外接圆的半径)；
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝.
5．余弦定理及其变形
a2＝b2＋c2－2bccos A；cos A＝.
6．三角形的面积公式
S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
[览规律技巧]
1．三角函数的两种常见变换

2．整体法：求y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．
3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x(或cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．
4．公式法：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为.
[练经典考题]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f的值是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．0 B．1 C．－1 D.
解析：选A　由题意知T＝，由T＝＝，得ω＝4，∴f(x)＝tan 4x，∴f＝tan π＝0.
2．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)
A. B．－ C. D．－
解析：选A　cos＋sin α＝cos αcos＋sin α·sin＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝，所以sin＝.
3．sin 25°、cos 24°、tan 61°的大小关系正确的是(　　)
A．cos 24°<sin 25°<tan 61°
B．cos 24°<tan 61°<sin 25°
C．tan 61°<cos 24°<sin 25°
D．sin 25°<cos 24°<tan 61°
解析：选D　因为sin 25°<sin 66°＝cos 24°<1<tan 61°，所以sin 25°<cos 24°<tan 61°.
4．若将函数f(x)＝sin x－cos x的图像向右平移m(0<m<π)个单位长度，得到的图像关于原点对称，则m＝(　　)
A. B. C. D.
解析：选A　因为f(x)＝sin x－cos x＝sinx－，所以将其图像向右平移m(0<m<π)个单位长度，得到g(x)＝sin的图像．又因为函数g(x)的图像关于原点对称，所以函数g(x)为奇函数，所以m＋＝kπ(k∈Z)，即m＝kπ－(k∈Z)，又因为0<m<π，所以m＝.
5．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ)ω>0,0<φ<一个周期内的图像上的五个点，如图所示，A－，0，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，CD―→在x轴上的投影为，则(　　)

A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝
C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝
解析：选A　由题知，T＝4×＝π，所以ω＝2.因为A在曲线上，所以sin＝0，又0<φ<，所以φ＝.
6．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
解析：选A　由题意可知≥2，则ω≤2.因为ωx＋∈⊆，k∈Z，所以ω＋≥＋2kπ，πω＋≤＋2kπ，k∈Z，故＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z.即ω∈.
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则AB边上的高等于(　　)
A. B. C. D．2
解析：选C　设AB＝c，由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，得7＝c2＋4－2×c×2×cos 60°，c2－2c－3＝0，得c＝3，因此×2×3×sin 60°＝×3×hAB(hAB为AB边上的高)，所以hAB＝.
8．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，b2＝c(b＋2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D．3
解析：选C　∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.又a＝，cos A＝＝，∴c＝2，b＝4.∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中A＝150°，b＝2，且△ABC的面积为1，则＝(　　)
A．4(＋) B．4(－)
C．2(＋) D．2(－)
解析：选C　因为△ABC的面积S＝bcsin A＝1，A＝150°，b＝2，所以c＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝8＋4，解得a＝＋.设△ABC外接圆的半径为R，则有＝2R，得2R＝2(＋)，所以＝2R＝2(＋)．
10．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f<f(π)，则下列结论正确的是(　　)
A．f＝－1
B．f>f
C．f(x)是奇函数
D．f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
解析：选D　由f(x)≤恒成立知x＝是函数f(x)图像的对称轴，即2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z.又f<f(π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ，所以sin φ>0，所以φ＝，f(x)＝sin.由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
11．若sin α＝1－tan 10°sin α，则锐角α的值为(　　)
A．40° B．50° C．60° D．70°
解析：选B　原式可变形为sin α(1＋tan 10°)＝1，可得sin α(1＋tan 10°)＝2sin α·＝2sin α·＝＝1，所以sin α＝sin 50°.又因为α为锐角，所以α＝50°.
12．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1(x∈R)，若在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，A为锐角，且f＝，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A　f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1＝sin 2x＋cos 2x＝sin，f＝⇒sin2A＋＝⇒cos 2A＝，∴2cos2A－1＝，cos A＝，sin A＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2－bc＝3≥2bc－bc，∴bc≤，∴S△ABC＝bcsin A≤××＝，当且仅当b＝c＝时等号成立，故△ABC面积的最大值为.
二、填空题
13．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为________．
解析：由题知，tan α＝＝＝－，且sin>0，cos<0，所以α是第四象限角，因此α的最小正值为.
答案：
14．函数y＝2sin的单调递增区间为________．
解析：由y＝2sin，得y＝－2sin，由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋3kπ≤x≤＋3kπ，k∈Z，故函数的单调递增区间为＋3kπ，＋3kπ，k∈Z.
答案