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集合与简易逻辑
1. 自然数集: ；有理数集: ；整数集: ；实数集: ；正整数集 .
2. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3. 集合的子集个数共有 个；真子集有 个；
非空子集有 –1个；非空真子集有 个.
【注】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，集合的交、并、补运算又通常关注集合的端点。
4．充要条件的判断：
（1）定义法----正、反方向推理
【注意】区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”
（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。
5．逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p
⑵或（or）： 命题形式 pq； 真 真
⑶非（not）：命题形式p . 真 假
假 真
假 假

6. 四种命题： ⑴原命题：若p则q； ⑵逆命题： ；
⑶否命题： ； ⑷逆否命题： .
【注】：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。
7. 命题的否定与否命题
*1.命题的否定与它的否命题的区别：
命题的否定是,否命题是.
命题“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.
*2.常考模式：
全称命题p：；全称命题p的否定p：.
特称命题p：；特称命题p的否定p：.
【注】：含有量词的命题的否定，先对量词取否定，再对结论取否定
函数与导数
函数的单调性
函数的定义域：即使函数有意义的所有的集合，
常见函数的定义域：
① 被开偶次方的必须“”，如 则 ；
② 分母不能为0，如 则 ；
③ 真数不能为0，如 则 .
【注】：求出函数的定义域后，“闭端”一定要检查端点，以防出错。如②③中
函数的单调性
（1）定义法：任取（定义域），
（2）导数法：在某区间内，若
（3）常用结论：
①增函数增函数增函数；减函数减函数减函数
增函数减函数增函数；减函数增函数减函数
②复合函数单调性：同增异减
（4）判断下列函数的单调性：
①， ； ②， .
函数的奇偶性
是奇函数 图象关于 对称；
奇函数在0处有定义，则必有 .
是偶函数 图象关于 对称.
（1）指出下列函数的奇偶性：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
（2）根据奇偶性确定解析式中的待定系数：
①
②设函数f(x)＝为奇函数，则a＝__________.
【特值法】：已知奇偶性求待定系数时，若奇函数定义域中包含0，则利用解决；
若不包含0，还可用（奇函数）或（偶函数）.
函数的周期性
（1）若有函数为是以为周期的周期函数，则必有 .
（2）与周期有关的结论：
或 的周期为 .
.
（3）指出下列函数的最小正周期：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
（4）根据周期性求函数值
已知定义在R上的奇函数f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为 .
指对幂函数运算法则
（1） ； ；；
（2） ； ； ； ； .
（3）若，则 .
若，则 .
（4）画出函数的图像
（两条）
（两条）

时，越小，图像越贴近坐标轴；时，越大，图像越贴近坐标轴.

（5）特殊函数（熟悉期图像与性质）
①反比例型：的图像 ②对勾函数：
函数的图像
（1） 图像的翻折变换.
，
，———左+右-
———上+下－
———（去左翻右）
———（留上翻下）

（2） “组合函数”根（或零点）的个数.
已知，则方程的实根个数是 (数形结合)
（3） 根据对称性补充图像.
若是奇函数，且当时，，画出的图象

原函数与反函数
（1）定义：
设的定义域为，值域为，
原函数，对应的反函数记为
且有，；
【理解】：
①设的定义域为，值域为，那么，对应的反函数定义域为，值域为.
②一般地，如果函数有反函数，且，那么．这就是说点（）在函数图像上，那么点（）在函数的图像上．
③与互为反函数.即，函数的反函数是，函数的反函数是.

(2)图像与性质：
① 原函数的图像与其反函数的图像关于直线对称.
② 在定义域上,只有单调函数才有反函数，并且单调函数必有反函数.
③ 原函数与反函数在定义域内相同的区间具有相同的单调性；
④ 如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数；

(3)常见互为反函数的函数：
同底的指数函数与对数函数与
导数及其应用
（1）导数的几何意义
函数图像上某点处的导数，就是该点处切线的斜率。所以在该点处
切线的方程为： （点斜式）
（2）常见函数的导数公式:
①；
②；；；；；
③；④；⑤；⑥；
⑦；⑧ .
（3）导数的四则运算法则：
（4）导数的应用：
①利用导数求切线：
注意：ⅰ)所给点是切点吗？ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线？
②利用导数判断函数单调性：
i）是增函数；ii）为减函数；
③利用导数求极值：
ⅰ）求导数；ⅱ）求方程的根；ⅲ）列表得极值。

区间1

区间2

……
（填+或-）

0

0
……
（填↘或↗）

极大/小值

极大/小值
……

④利用导数求最大值与最小值：
ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。

（5）三次函数图像与性质初步
·
*1.解析式： ；
*2.导函数：，
*3.导函数与原函数大致图像：
【注】：导函数的零点对应原函数的拐点，
也有可能是驻点所在处.我们只根据导函数
的符号判断原函数的增减.
三角函数
（1）= ；
（2）和差角公式：
： ； ： ；
： ；： ；
： .
（3）2倍角公式（升幂）：
： ； ： .
（4）降幂公式：（降幂伴随着倍角）
； .
（5）诱导公式：
周期性
（）与 互补
（）与 互余

=
=
周期性+奇偶
互补+奇偶
互余+奇偶
=
=
=

=
=
（6）辅助角公式：
；(与必须同角同次，且放前)
（其中 ，的象限由 确定当为负时，若为第二象限角，则用补角的思想求出。若为第四象限角，则用负角的思想求出）
若，其值域为： .
若，求其值域时，应用“整体思想”，将 看作一个整体，
利用的图像或性质求解.
（7）重要结论：
①当时， ； .
①当时， ；
；
；
【注】：∵中，内角和，∴该结论在三角形中的运用很重要.

（8）由图像确定“正弦型”函数的解析式.
①的确定： ；
②的确定： ；③的确定： .

（9），，的图像与性质
函数

图像

值域

奇偶性

周期

符号

（10）三角函数图像的平移.
①先伸缩，后平移；②先平移，后伸缩.
无论哪种变换，在轴上的变换之争对，尤其注意平移——“左加右减”
如的图像向右平移个单位得到，而不是
（11）解三角形.
正弦定理： = = = （是外接圆直径 ）
【变式】：①；
②；
③。
④
【注】：正弦定理用于知道两边及其中一边的对角，求另一边的对角；或用于知道两角及其中一角的对边，求另一角的对边. 正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：
(1)三角形内角和定理：
(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
(3)面积公式：
(4)三角函数的恒等变形
，，，
余弦定理：求边， ；等三个.

求角， . 等三个.
【注】：余弦定理用于知道两边及第三边的对角，求第三边；或用于知道三边，求其中一边的对角.
（12）三角形的面积： （知道底与高）.
（知道两边及夹角）.
（13）在中，了解以下结论：
*1.成等差数列的充分必要条件是．
*2.是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列．
*3.三边成等差数列
*4.三边成等比数列,
*5..
向量
令，
（1）向量的模：，（勾股定理）
（2）向量的坐标运算：
①；②；③；
（3）向量的数量积：（为与的夹角）；
（4）向量的平行与垂直：
①当∥时，；
②当时，
（5）；
（6）（为中点）平行四边形法则
数列
等比数列与等差数列对照

等差数列
等比数列
通项公式
= =
= =
求和公式
= =

公差/公比

性质

解方程组思想：五个变量“知三求二”
、决定等差数列
、决定等比数列

【特别提醒】若已数列其中两项，为二次函数的两根，求
可根据韦达定理，得：或，再利用中项定理求出
判定数列是基本数列的方法
（1）判定数列是否是等差数列的方法主要有以下四种方法：定义法、中项法、通项法、和式法.
① ②2()
③(一次函数)． ④(二次函数，常数项为0)
【思考】：那等比数列呢？
（2）判定数列是否是等比数列的方法主要有以下四种方法：定义法、中项法、通项法、和式法
①（其中为不等于零的常数） ②(，)
③(为非零常数)． ④，其中互为相反数．
【注】：以上判断中，方法①②可用于解答题，方法③④只能用于填空选择

数列通项求解思路：
㈠由非递推关系求通项
⑴定义法：根据等差等比数列的等价条件，套用公式.
⑵公式法：①已知(即)求用作差.
【练习】：已知，求
②已知求用作商法：.
㈡由递推式求数列通项
（1）迭加法：等差型递推公式，求

（迭加法）

【练习】= .
（2）迭乘法：由递推式，求.
（迭乘法）
【练习】= .
（3）通项转换法：若已知

【练习】= .
（4）倒数法

解：

数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式. ②等比数列求和公式.
③，，
……
【特别声明】：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.
（2）倒序相加法:

【练习】
（3）错位相减法:

（4）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，常用裂项形式有：
①； ②；③；
④.

解：

不等式
解不等式
（1） 一元一次不等式
移除：不等号不变向；不等号要变向；

（2） 一元二次不等式的解法：
对于
的情形“小于零取中间，大于零取两边”

（3） 分式不等式型
移项→通分→合并→商变积→穿根法

（4） 简单的高次不等式的解法：穿根法.
注意重因式的处理，奇次重根一次穿过，偶次重根穿而不过。
-3
-1
1
5
-
-
-
例如：，
如图从图中易知解集为：

重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)．
【变形】：（当a = b时，）
【注意】： ，
2、均值不等式：
调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均

最值定理
①，若积，则当时和有最小值；
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.
③已知，若，则有：
④，若则有：

不等式证明放缩法
①，则.
【说明】：（，糖水的浓度问题）.
②，，则；
③，；
④，.
⑤,.
复数
1．概念：
⑴是实数
⑵是虚数
⑶是纯虚数
2．复数的相等：.（）
3．复数的模：==.
4．复数的共轭复数记为：，且
5．复数的代数形式及运算：若，，则：
①； ②
③； ④…（※）
【注】：实数的除法是高考高频考点，其主要思想方法是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母变为，去掉达到实数化的目的.涉及到平方差公式.
6．几个重要的结论：
； ⑵ ； ⑶
(4)虚数单位的幂的周期性：T=4；；，，，，

7．复数的几何意义：
复数对应复平面内的点，对应复平面内的向量

概率统计
1.分层抽样（按比例抽样）
首先必须明确抽取比例=； 各层抽取量=该层样本量抽取比例
2.频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.

①频率=. （频数即指定对象个数）
②小长方形面积=组距×=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1.

【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.
3.几何概型：
4.古典概率：；
5.回归直线方程
，其中
【特别提醒】公式在试卷前面会给出，不要求记忆，但是要知道该公式中的算法
6.独立性检验
2×2列联表数据

类1
类2
总计
类A
a
b
a＋b
类B
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d

要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0：Ⅰ和Ⅱ没有关系；（相反的假设）
（2）根据2×2列表与公式计算的值；
（分母为四个小总计）
（4） 查对临界值；

0.10
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
（5） 作出判断．
【特别提醒】：本题中所涉及的公式与参考数据，一般会在题目或试卷头中给出，不要求记忆。

算法流程图

①下图运行后输出的结果是___ _. ②下图运行后输出的结果是___ _.
开始

输出
结束
是
否

列表法
S
i
1
12

直线与圆
1．点与直线和圆的位置关系：在上方大于0，在下方小于0；在外部大于0，在内部小于0.
2．直线斜率公式：，其中、.
3．直线方程的五种形式：
(1)点斜式： (直线过点，且斜率为)．
(2)斜截式：(为直线在轴上的截距).
(3)两点式：(、 ，).
(4)截距式：(其中、分别为直线在轴、轴上的截距，且).
(5)一般式：(其中A、B不同时为0).
4．两条直线的位置关系：
（1）若，,则：
① 平行 ∥,； ②垂直 .
（2）若,,则：
①； ②；
（3）与平行的直线方程可设为,垂直的直线方程可设为.
5．求解线性规划问题的步骤是：
（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。
【注】①作可行域采取“B值判断法”————“同上异下”
，观察的符号与不等号是否相同，同取上，异取下.
②一般情况下最优解在可行域的顶点处取.

6．三个公式:
⑴点、的距离
⑵点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；
⑶两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离
7．圆的方程：
⑴标准方程：① ；圆心坐标是，半径是
⑵一般方程： （
圆心坐标是，半径是
【注】：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0
8．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。
9．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）
⑴点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）
①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）
①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）
①相离； ②外切； ③相交；④内切； ⑤内含。
圆锥曲线
圆锥曲线定义：
椭圆的第一定义：平面内与两个定点、的距离之和为常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.
双曲线的第一定义：平面内与两个定点、的距离差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.
0<e<1
F
P
k
e>1 e=1
抛物线的定义：平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹．简言之就是 “”，
椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图.

图像与性质：

【注】：离心率，椭圆中、双曲线中.
求离心率的问题频率较高，当不知、则不能直接用求得，此时需根据题中几何关系得到方程，再将用、表示出来，得到.然后等式两边同除以，得到（一般为一元二次方程），解出（增根要舍去）.
圆锥曲线的焦半径公式如下图：

准线与通径如下图：

立体几何
1．三视图与直观图：⑴三视图：正视图与俯视图长对正；正视图与侧视图高平齐；侧视图与俯视图宽相等。 ⑵斜二测画法画水平放置几何体的直观图。
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：；②圆柱侧面积：S侧=；③体积：
⑵锥体：①表面积：；②圆锥侧面积：S侧=；③体积：V=S底h：
⑶台体：①表面积：S=S侧+S下底;②圆台侧面积：S侧=;
③体积：V=（S+）h；
⑷球体：①表面积：S=；②体积：V=.
3.重要定理：
①线面平行：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
②面面平行：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
③线面垂直：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直．
④面面垂直：一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直．
⑤一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行．
⑥垂直于同一个平面的两条直线平行．
4．空间中平行关系
（1）线线平行：
①构造“三角形的中位线” ②构造“平行四边形的对边”
③梯形的平行对边 ④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
⑤线面平行的性质定理：直线与平面平行，过直线的平面与此平面的交线与该直线平行。
（2）线面平行
①判定定理：证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；（即证线线平行）
②证明面面平行，得到线面平行。（找一个过直线的平面与要证与直线平行的平面平行）
③证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；
④证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直
【注】找平行线的时候，常作辅助线的方法：构造三角形的中位线或平行四边形的对边，构造方法是“看到中点找中点，且中点一般在面的边上或者面的中心”，在证线面平行、面面平行时经常用到。
（3）面面平行
①判定定理：证明一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行；
②垂直于同一条直线的两平面平行。 ③证明这个平面的法向量平行。

5．空间中的垂直关系
（1）线线垂直：
①三角形的三边满足勾股定理
②证明两条异面直线所成角为90º，平移（辅助线的方法：构造三角形的中位线或平行四边形的对边）构造三角形，由勾股定理证；
③证明线面垂直，得到线线垂直；
④证明两条异面直线的方向量相互垂直。
（2）线面垂直
①判定定理：证明直线和平面内两条相交直线都垂直；
②面面垂直性质定理：面面垂直，一个平面内垂直于交线的直线也垂直于另一个平面；
③证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；
④证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。
（3）面面垂直
①证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；
②判定定理：证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；
③证明两个平面的法向量相互垂直。

坐标系与参数方程

1．极坐标与直角坐标的互化：

, .

2．极坐标方程问题一般转化为直角坐标方程问题处理
参数方程的问题一般转化为普通方程问题处理.
【以下内容了解就行】
3．圆的极坐标方程：
以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 ；
以 (a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是 ；
以 (a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 ；
4．在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；
表示过极点的一条直线.
过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.
5．过点，倾斜角为的直线的参数方程：（t为参数）。
圆的参数方程可表示为.
椭圆(a>b>0)的参数方程可表示为.

抛物线的参数方程可表示为.

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