【创新设计】(浙江专用)2014届高考数学总复习-第5篇-第1讲-平面向量的概念及其线性运算限时训练-理.doc

第1讲　平面向量的概念及其线性运算

分层A级　基础达标演练
(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.
答案　A
2．(2013·北京海淀一模)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么＝
(　　)．
A.＋
B．－－
C．－＋
D.－
解析　在△CEF中，有＝＋，因为E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的中点，所以＝.所以＝＋＝＋＝＋＝－.
答案　D
3．(2012·宁波四所重点中学联考)已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则 (　　)．
A．a－b＋c－d＝0 B．a－b－c＋d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a＋b＋c＋d＝0
解析　依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.
答案　A
4．(2012·杭州高三质量检测)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为 (　　)．
A. B. C. D.
解析　由＋2＝3，得－O＝2－2，即B＝2，所以＝.故选A.
答案　A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2013·温州模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．
解析　∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，
∴存在实数λ，使＝λB.
即∴p＝－1.
答案　－1
6.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
解析　根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.
答案　4
三、解答题(共25分)
7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.
解　由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－)＝(a－b)＝a－b，
则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.
＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，
＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.
8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．
(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．
(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，
所以＝＋＝10e1＋15e2.
又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，
又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．
(2)解　＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，
＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥，
设＝λA，所以⇒k＝－8.
分层B级　创新能力提升
1．在△ABC中，已知点D为BC边上的中点，点P满足＋＋＝0.＝λ，则实数λ的值为 (　　)．
A．－1 B．－2
C．－3 D．－
解析　如图所示，由＝λ，且＋＋＝0，则P为以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝－2，则λ＝－2.
答案　B
2．在▱ABCD中，点E、F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝ (　　)．
A．3 B.
C. D.

解析　如图，设＝a，＝b，则
＝＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b，
＝＋＝a＋b，所以＋＝(a＋b)＝，
即＝＋.所以λ＝μ＝，λ＋μ＝.
答案　C
3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．
解析　＋－2＝－＋－＝＋，
－＝＝－，∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
答案　直角三角形
4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析　∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝nA，∴A＝A＋A.
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.
答案　2
5.如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λC时，＝，试确定λ的值．
解　∵＝－＝(－)
＝(＋)＝，
＝－＝＋λ，
又∵＝，∴＋λM＝，
即λM＝M，∴λ＝.
6．已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．
(1)求＋＋；
(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.
(1)解　∵＋＝2，又2G＝－，
∴＋＋＝－＋＝0.
(2)证明　显然＝(a＋b)．
因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．
由P，G，Q三点共线，得∥，
所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.
而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，
＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，
所以a＋b＝λ.
又因为a，b不共线，所以
消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.

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