高中数学：第四章：三角-平面向量--复数(竞赛精讲).doc

第四章 三角 平面向量 复数
一 能力培养
1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力
二 问题探讨
问题1设向量,,
求证:.

问题2设,其中向量,,
(I)若且,求; (II)若函数的图象
按向量平移后得到函数的图象,求实数的值.

问题3(1)当,函数的最大值是 ,最小值是 .
(2)函数的最大值是 .
(3)当函数取得最小值时,的集合是 .
(4)函数的值域是 .

问题4已知中,分别是角的对边,且,=
,求角A.

三 习题探讨
选择题
1在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为,
那么向量对应的复数是
A,1 B, C, D,
2已知是第二象限角,其终边上一点P(),且,则=
A, B, C, D,
3函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是
A, B, C, D,
4已知向量,向量,向量,则向量
与向量的夹角的取值范围是
A, B, C, D,
5已知,,且与的夹角为钝角,则的取值范围是
A, B, C, D,
6若是三角形的最小内角,则函数的值域是
A, B, C, D,
填空题
7已知,则= .
8复数,,则在复平面内的对应点位于第 象限.
9若,则= .
10与向量和的夹角相等,且长度为的向量 .
11在复数集C内,方程的解为 .
解答题
12若,求函数的最小值,并求相应的的值.

13设函数,,若当时,
恒成立,求实数的取值范围.

14设,且,复数满足,求的最大值与最小值勤.

15已知向量,,且
(I)求及; (II)求函数的最小值.

16设平面向量,.若存在实数和角,
使向量,,且.
(I)求函数的关系式; (II)令,求函数的极值.

参考答案:
问题1证明:由,且
得= ①
在①中以代换得=.
即.
温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.
问题2解:(I)可得
由=1,得
又,得,有=,解得.
(II)函数的图象按向量平移后得到函数,
即的图象.也就是=的图象.
而,有,.
问题3解:(1)
而,有,
当,即时,;当,即时,.
(2),令,则,有
,得
令,有,
①当时,,为增函数;②当时,,为减函数.
=,而,
于是的最大值是.
(3)
当,即时,.
(4)可得,有
得,有,
得,又,于是有的值域是.
问题4解:由已知得,即,又
得,.
又得由余弦定理.
得,.
由正弦定理得,有.
又,得为最大角.
又,有,于是.
所以得.
习题:1得,,选D.
2 ,又,得或(舍去),
有,,选A.
3它的对称轴为:,即,有,选A.

4(数形结合)由,知点A在以
(2,2)为圆心,为半径的圆周上(如图),过原点O作
圆C的切线,为切点,由,
知,有,
过点O作另一切线,为切点,则,选D.
5由,,设与的夹角为,则,
有,即,得,有,选A.
6由,令而,得.
又,得,
得,有,选D.
7显然且,有,
当时,,有,于是,得,则
得到,
当时,同理可得.
8 ,它对应的点位于第一象限.
9由,得,有,即.
则,原式=.
10设,则,.
设与,的夹角分别为,则,
由,得=①;由=,得.②
由①,②得, ,,于是或
11设,,代入原方程整理得
有,解得或,所以或.
12解:

令,得
由,得,有,.
于是当,即,得时,.
13解:由,知是奇函数,
而
得在R上为增函数,则有
,令有
,恒成立.①
将①转化为:,
(1)当时,;
(2)当时,,由函数在上递减,知
当时,,于是得.
综(1),(2)所述,知.

14解:设,由得,
得
由,得,从而,
设在复平面上的对应点分别为,由条件知W为
复平面单位圆上的点,的几何意义为单位圆上的点W到点Z的距离,所以
的最小值为;最大值为.
15解(I),
,得
().
(II)
当且仅当时,.
16解:(I)由,,得
=,即,得
.
(II)由,得
求导得,令,得,
当,,为增函数;当时,,为减函数;
当时,,为增函数.
所以当,即时,有极大值;当,即时,有极小
值.

用心 爱心 专心