点集拓扑思考题.doc

一、 填空
⒈ 当X={1,2,3}，则T = {{1},{2}, }是X的一个拓扑。T ={Φ , X ,{1} , {2} ,{1,2} }

2. 一拓扑空间，A包含于X，x属于X。如果对于任何U属于Ux，有 _ U∩(A-{x})≠Φ_______，则称点是集合的一个凝聚点。

3. 空间R中，所有_有限开区间构成的集____是R的一个基。

4.X是一集合，S 是X的一个子集族，即S Ì P (X)，如果________
_X=Us属于s S 则X有唯一的一个拓扑以S 为子基。

5.X是拓扑空间，xÎX，如果B是X的一个基，则 __ B x={B∈B | x∈B }_____是X是一个邻域基。

6. X为 _有限_____集时，X的有限补拓扑是离散拓扑。
7.____ 子集A和B是隔离的_______的充分必要条件是A与B无交且其中任何一个不含另一个的凝聚点。
8.一个局部连通___空间等价于X有一个基，它的每个元素都是连通的。
9.数空间R的一个子集包含着不少于两个点，则A是__连通子集__A是一个区间。
10. 从任意拓扑空间到 _平庸__空间的映射都是连续的。
11. Y是拓扑空间X的一个子空间，yÎY，如果V Y 是y在X中的一个邻域基，则 V y|Y 是y在Y中的一个邻域基.
12. Y是拓扑空间X的一个子空间。如果B 是X的一A基，则 B|Y 是Y的一个基.
13.X,Y是两个集合，则f : X→Y是 单 射当且仅当"A,B Ì X , f (A∩B) = f (A)∩f (B)。
14.A是拓扑空间X的子集，则____ A∪d(A)_____叫做集合a的闭包。
15.是拓扑空间，如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间。
16.扑空间X中任意两个不相同的点中，每一个点都有一个邻域不包含另一个点，则X一定是_____ T1 _______空间。
17.扑空间，是的，则映射f : X→Y连续对每一点xÎX ，如果__如果X中的序列{xi}收敛于x∈X _则Y中的序列{ f (xi)}iÎZ+收敛于f (x)。

18.拓扑空间必定是某一个__紧致空间 空间的开子空间。
19.紧致空间X的每一个____具有有限交性质_________的闭集族都有非空的交。

20. 设F是X的所有闭集构成的集族，则F_一个凝聚点的并仍是的闭集。

21. 如果X是T1空间，则点x是X的子集A的 F的有限个元 对x的每个邻域U，U∩A是无限集。

22.集合A的内部等于____包含于A的所有__开集之并。

23. B是拓扑空间(X,T)的____一个基___当且仅当对每一个x属于X和，存在VÎB使x 属于V包含于U。

24. 设是拓扑空间，每一个___连续映射f：[0,1]→X ___叫做X中的一条道路。

25.X,Y是拓扑空间，X是的，如果映射f : X→Y是一个 满的连续开映射 映射，则也是的。

26._ 局部连通___空间的任何开集的任何一个连通分支是开集。

27. X是平庸空间，则它的拓扑T = {Φ , X }； ; X是离散空间，则它的拓扑T = P(X)
28. 度量空间 空间中的任何一个收敛序列只有唯一的一个极限点。
29. 设X是一个拓扑空间，AX ,则A是闭集Û A'是开集 。
30. x∈ A的导集 对x的任何一个邻域U，U∩A≠Φ。

31. 设X是一个拓扑空间，AX , 则A是开集Û A=Aº

32. X是拓扑空间，AX , x∈X 。则x∈Û
33. 设A是度量空间(X, ρ)中的一个非空子集，则x ∈ d(A) ρ(x,A-{x}) =0 。
34.X是一个 度量 空间时，A包含于X , 则点x∈X是A的一个凝聚点Û在集合A-{x}
中有一个序列{xi}iÎZ+ 收敛于x

35. 设X,Y是两个拓扑空间，如果 f：X→Y连续 则X中的序列{xi}i∈Z+ 收敛于x蕴涵Y中的序列{f(xi)}i∈Z+收敛于f(x)。

36. .设是拓扑空间，Y是一个集合，f : X→Y满射，则T1= T 1={UY | f-1(U)∈T }称为Y的相对于满射f而言的商拓扑。

37. 一个拓扑空间X如果 在它的每一点处有一个可数邻域基 ，则称它为满足第一可数性公理的空间。
38.B是拓扑空间(X,T )的基当且仅当对每一个和， 存在Vx ∈B ，使得x∈Vx包含于U 。

39.设是拓扑空间Y 的一个基，（X,T）是拓扑空间。则f : X→Y连续Û对每个B∈B ，有 _ 原像f-1(B)是X中的一个开集____ 。

40.实数空间R中， S = 是R的一个子基。
41. X是一个拓扑空间，如果对于任何点x∈X和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得，则X是 一个正则空间 空间。

42.若对拓扑空间X的任何两个不交的闭集A和B，存在连续映射f： X→[a,b]使得当x∈A时f(x) = a ，和当x∈B时f(x) = b ，则X是一个正规空间。
43.拓扑空间X是一个 一个可分的度量空间 充分必要条件是X是一个满足第二可数性公理的T3空间。
44. 从紧致空间到 hausdorff 空间的任何一个连续映射都是闭映射。
45.X是一个 局部连通空间 拓扑空间ÛX有一个基，它的每一个元素都是连通的。
46. 拓扑空间X中包含点x的 连通分支 是包含点x的最大的连通子集。
47. 如果X是 只有有限个连通分支 空间，则X的连通分支既是开集又是闭集.
48. 设X是连通空间，f : X→R连续，则f(X)是R中的 一个区间 。
49. E是实数空间R的一个子集，则E是一个连通子集E是_ ____区间__。
50. n维欧氏空间Rn的任何一个 连通开集 都是道路连通的。
51.X是拓扑空间，A、B Ì X 。如果 （A∩）∪（∩B）=Φ 则称A,B是X的两个隔离子集。
52. X是一个 只有有限个连通分支 空间时，X的每一个连通分支既是开集又是闭集。
53. 度量 空间中，任何一个收敛序列的极限点是唯一的。
54. X是一个 正规 空间，当且仅当对于任何一个闭集AX和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得。
55. 若对拓扑空间X的任意一点x和不包含x的闭集B，存在连续映射f： . f：X→[0,1]使得f (x) = 0 以及对于任何y∈B有f (y) = 1 ，则X叫做完全正则空间。
56. 拓扑空间X是一个可分的度量空间的充分必要条件是X同胚于 Hilbert空间ℍ 的某一子空间。
57. 从 空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射一定是同胚映射。
58. 设X是一个拓扑空间，AX , x∈X 。如果对于x的任何一个邻域U有 U∩A≠ф,且U∩A′≠ф ,
则称x是A的一个边界点。
59. 在度量空间中，_所有球形领域___ 构成的集族是这个度量空间的一个基。
60.设X是n个拓扑空间X1, X2 ,……，Xn 的积空间，B i是Xi 的基（i=1,2,……n）。
则X的子集族B * = 是X的一个基。
二、选择填空题
1、设是拓扑空间，AÌX，则 ________不是A为闭集的充要条件。
① A′是开集； ② ； ③ ； ④ d (A)ÌA。
2、是拓扑空间，，则________不是A∈T 的充要条件。
① ； ② $A Ì T 使A=U∈A U；；
③ °； ④ 若x∈A，则，（是x的邻域）。
3、以下结论正确的是 。
①连通空间一定是局部连通空间；； ②局部连通空间一定是连通空间；
③道路连通空间一定是连通空间； ④道路连通空间一定是局部连通空间。
4、实数空间R不是 空间。
① Hausdorff； ② 连通； ③ 正规； ④ 可数紧致。
5、以下结论不正确的是 。
① 度量空间是T4空间； ② Tychonoff空间是Hausdorff空间；
③ 完全正则空间是正则空间 ； ④正规空间是Hausdorff空间 。
6、设是拓扑空间，如果对于X中的任何两个不相交的闭集A,B总存在连续映射f ：X→[0，1]使得x∈A时使f (x) = 0 , y∈B时f (y) = 1，则这样的空间X是 空间。
① Hausdorff； ② Lindeloff； ③Tychonoff； ④ 正规。
7、以下关系 不正确。
① 可数紧致序列紧致； ② 序列紧致可数紧致；
③ 可数紧致列紧致； ④ 可数紧致+ Lindeloff性 紧致。
8、局部紧致空间中，以下关系 不成立。
① Tychonoff 空间Û Hausdorff空间； ② 完全正则空间Û 正则空间；
③ 完全正则空间Û Tychonoff空间； ④ 正则空间 + T1空间 Û T3空间。
9、以下空间中 不是连通的空间。
①至少含两个点的离散空间；② 平庸空间；③ 实数空间; ④ 含无限多个点的有限补空间。
10、以下空间中 不是正则的空间。
① 离散空间； ②实数空间； ③ 度量空间； ④ 含不可数多个点的可数补空间。
11、设X是拓扑空间，A、B Ì X，则下列条件中 _____不一定成立。
① 若AB，则d(A)d(B) ； ② d (A∩B) = d (A)∩d(B) ；
③ d (AB) = d (A)d(B) ； ④ d(d (A)) Ì Ad(A) ；
12、设X,Y是拓扑空间，映射f：X→Y在以下 条件下不一定连续。
①Y是平庸空间; ②X是离散空间; ③ 存在y∈Y，对任何x∈X , f(x) = y; ④Y是实数空间。
13、设X是拓扑空间，Y是X的子空间，以下结论 不正确。
① 分别记T和T * 是X,Y的拓扑，则T * =T |Y ；
② 分别记F和F * 是X,Y的闭集族，则F * =F |Y ；
③ 分别记B和B * 是X,Y的基，则B * =B|Y ；
④ 如果y∈Y ，V y 是y在X中的邻域基，则V y|Y是y在Y中的邻域基。
14、离散拓扑空间是 空间。
① 紧致； ② Lindeloff； ③ 可分； ④ 可度量化。
15、以下结论正确的是 。
① Hausdorff空间是T1 空间； ② Hausdorff空间是正则空间；
③ 完全正则空间是正规空间； ④ 完全正则空间是Tychonoff空间。
16、以下结论 不正确。
① A2空间是Lindeloff空间； ② A2空间是可分空间；
③ 可分的度量空间是A2空间； ④ 可分空间是Lindeloff空间
17、X是 空间时，任取x∈X和不含x的闭集A，不一定存在连续映射f ：X→[0，1]使得f (x) = 0 , y∈A时f (y) = 1。
① T3； ② T4； ③ T3.5； ④ 完全正则空间。
18.在紧致空间中，以下关系 不正确。
① T4空间⇔T3.5 空间； ② T3空间⇔T2 空间；
③ 正则空间⇔完全正则空间 ④ 完全正则空间⇔正规空间。
19.以下空间中 不是局部紧致。
①离散空间； ② n维欧氏空间； ③ 有限补空间； ④ T2但非正则的空间。
20.设, X,Y是两个集合，f：X→Y, 则下列几项中， 不一定成立。
① 对任意，A Ì f -1(f (A)) ； ② 对任意B Ì Y，B Éf (f -1 (B)) ;
③ 对任意B Ì Y，B = f (f -1 (B))； ④对任意A, BÌ X, f (A∪B)= f (A)∪f (B)。
21. 以下映射中， 不一定连续。
① 同胚映射f : X→Y； ②单射f : X→Y； ③常值映射 f :X→Y； ④商映射p: X→X/R 。
22. 设X是拓扑空间，AÌX，以下关系中 __ ___ 不一定成立。
① ； ② ； ③ ； ④ 。
23.以下结论正确的是 .
①连通空间一定是局部连通空间；； ②局部连通空间一定是连通空间；
③道路连通空间一定是连通空间； ④道路连通空间一定是局部连通空间。
24.以下空间中， 不一定有可数基。
①实数空间R； ②平庸空间； ③ n维欧氏空间Rn ； ④离散空间 。
25. 若是Hausdorff空间，则以下结论中， 不一定成立。
①是T2空间；②是T1空间；③是Lindeloff空间；④X的收敛序列只有一个收敛点。
26. X={1,2,3}，T ={Φ，{1,2,3}，{1}，{2,3} }，则X不是 空间。
① T1 ； ② 正则； ③ 正规 ； ④ 完全正则。
27. 以下关系， 不一定成立。
① 完全正则空间Þ正则空间； ② 正则的Lindeloff 空间Þ正规空间；
③正规的正则空间ÞTychonoff空间； ④正则的Lindeloff空间Þ完全正则空间。
28.实数空间不是 空间。
① A2 ; ② 可分 ； ③ Lindeloff ； ④ 紧致 。
29、设, X,Y是两个集合，f：X→Y, 则下列几项中， 一定成立。
① 对任意B Ì Y，B Éf (f -1 (B)) ； ② 对任意，A Ì X ，A = f -1(f (A));
③ 对任意A, BÌ X, f (A∩B)= f (A)∩f (B)； ④对任意，f (X-A)= f (X) - f (A)。
30. 以下映射中， 不一定连续。
① 满射f : X→Y； ②单位映射f : X→Y； ③商映射 f :X→Y；④投射pi: X1×X2→Xi (i=1,2)。
31. 设是拓扑空间，A, B Ì X ，则下列各项中 __ ___ 不一定成立。
① ； ② ； ③； ④ 。
32. 拓扑空间X中不存在既开又闭的真子集，则X是 空间.
① 道路连通； ② 局部连通； ③ 连通； ④ 连通且道路连通。
33. 以下空间中， 不一定满足第一可数性公理。
① 度量空间； ② A2空间； ③ 离散空间； ④ 可数补空间 。
34. 若是一个包含无限多个点的有限补空间，则X是 。
① T1空间； ② Hausdorff空间； ③ 正则空间； ④ 正规空间 。
35以下空间中， 是完全正则空间。
① 正则且正规的空间 ； ② 正则空间； ③ 正规空间 ； ④ Hausdorff空间 。
36. 以下判断， 不正确。
① T1的正则空间Þ完全正则空间； ② A2 的正则空间Þ完全正则空间；
③ Lindeloff的正则空间Þ完全正则空间； ④ 正规的正则空间Þ完全正则空间。
37.度量空间一定是 空间。
① A2 空间 ; ② 可分空间 ； ③ T4空间 ； ④ 紧致空间。
38.设是拓扑空间，，则的充要条件是对任意的有_____。
①.U∩V ≠ Φ ②. U∩(A-{x}) ≠ Φ ③ U∩V = Φ. ④ U∩(A-{x}) = Φ
39.设是实数空间R中的有理数集，则________。
① Φ ②. Q ③. R ④. Q¢
40.下面结论不正确的是_________。
①.连通空间一定是局部连通的； ②.道路连通一定是连通的；
③.空间一定是A1空间； ④. A2空间一定是可分空间。
41.对实数空间R，________判断是不正确的。
①. 是连通且局部连通的；②.是的也是的；③. 是可分的 ④. 不是Lindeloff空间
42.下列性质中，__________不是拓扑空间的可遗传性质。
①. 离散性 ②. 平庸性 ③. 连通性 ④. 满足第一（第二）可数公理
43.以下空间中，_______不一定满足第一可数性公理。
①. 度量空间 ②. A2空间 ③.离散空间 ④. 可数补空间
44.离散空间不一定是_________。
①. 紧致空间 ②. 局部连通空间 ③. 局部紧致空间 ④.仿紧致的空间
45. 满足以下条件的空间中，______空间不一定是正规空间。
①. 紧致的正则 ②. 仿紧致的正则 ③. 仿紧致的Hausdorff ④. 紧致的T1
46.满足第二可数性公理的空间不一定是_______。
① .度量空间 ②. A1空间 ③.Lindeloff空间 ④ 可分空间
47.设(X,T )是含不可数多个点的可数补空间，是的不可数集，则_____。
①. A ②. A¢ ③. X ④.Φ或A
48.X是拓扑空间，则下面_______不是X为正规空间的充要条件。
①. 对X的任何两个不交的闭集A、B，都分别存在开邻域U、V，使U∩V=Φ；
②.对X的任意两个不交的闭集A、B，存在连续映射使xÎX时时，；
③.对X的任意一个闭集A和任何一个连续映射f：A→[a,b]，存在连续映射g：X→[a,b]是的扩张；
④.对X的任一点和不含的闭集A，存在连续映射f：X→[0,1]，使， 时，f (y) = 1。
49.以下判断_______是不正确的。
① T1的正则空间是完全正则空间； ②.每一个的正则空间是完全正则空间；
③. Lindeloff的正则空间是完全正则空间；④每一个正规且正则的空间是完全正则空间。
系别____________年级____________专业________________班级__________姓名_______________学号_______________

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50.在_______空间中，一个收敛序列的极限可能不唯一。
①. ②. ③. 实数空间 ④. 度量空间
51.离散空间不一定是_______。
①.紧致空间; ②. 局部紧致空间; ③.局部连通空间; ④. 仿紧致空间
52.以下结论________是不正确的。
①.紧致空间中的闭集一定是紧致子集； ②.Hausdorff空间中，紧致子集一定是闭集；
③.紧致空间中,A是紧致子集ÛA是闭子集;④.紧致的T2空间中,A是紧致子集ÛA是闭子集。
53.以下性质中，______不是连续映射下不变的性质。
①. 满足第二可数性公理 ②. 可分性; ③. Lindeloff性质 ; ④. 紧致性
54.设X是拓扑空间，A,B Ì X 。则下列式子中________不一定成立。
系别____________年级____________专业________________班级__________姓名_______________学号_______________

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①. ② ; ③ ; ④
55.X是离散空间，则_____。
①.X是连通空间; ②.X是局部连通的空间; ③.X满足第二可数性公理; ④.X是可分的
56.实数空间R，_______判断不正确。
①.是连通的且是局部连通的；②是A2的且是A1的；③.不是可分的；④.是Lindeloff空间；
57满足第二可数公理的空间，不一定是_______。
①度量空间 ②.A1空间 ③Lindeloff空间 ④.可分空间
58.设(X,T )是含有不可数多个点的可数补空间，U是X的开集，则 ______。
①.U ②.U¢ ③. X ④. U或X
59.设(X,T )是拓扑空间，A Ì X ，以下各式中_______不成立。
①.A0=A¢-¢ ②. A00=A¢-¢ ③. ④.
60.正则的空间一定是_______。
①.正规空间 ②. 空间 ③空间 ④. 完全正则空间
61.T0、T1、T2、T3、正则、T3．5、完全正则性质不是________。
①.拓扑不变性 ②.有限可积性 ③.可遗传性 ④.可商性
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