复变函数习题四参考答案.doc

习题四
4.1判别下列复数列的收敛性，若收敛求其极限。
（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）
所以复数列收敛。
（2），
，所以复数列收敛，且。
（3），复数列不收敛。
（4），
，都不收敛，所以复数列不收敛。
4.4判别下列级数的收敛性
（1）；（2）；（3）；（4）
解：（1）由于，所以发散，但是收敛，所以原级数条件收敛；
（2），所以绝对收敛；
（3）和均绝对收敛，所以绝对收敛；
（4）一般项的实部，虚部为，都发散，所以发散。
4.5判断下列命题是否正确。
（1）每个幂级数在它的收敛圆上处处收敛。
（2）每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点。
（3）每个在连续的函数必能在的邻域能展开成泰勒级数。
解：（1）错，幂级数在它的收敛圆上可能收敛，也可能发散。
（2）错，每个幂级数的和函数在收敛圆内不可能有奇点。
（3）错，因为在的邻域内解析不解析还不知道，如果不解析将不能展开成泰勒级数。
4.7求下列幂级数的收敛半径
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）。
解：（1），收敛半径为；
（2），收敛半径为；
（3），收敛半径为2；
（4），收敛半径为1；
（5），收敛半径为；
（6），收敛半径为。
4.9把下列函数展开成的幂级数，指出收敛半径
（1）；（2）；（3）；（4）。
解：（1）

；
（2）

，即收敛半径为1；
（3）
；
（4）

。
4.10求下列函数在指定点处的泰勒展开式
（1），；（2），；（3）；（4），
（5），；（6），（写出前4项）；（7），；
（8），。
解：（1）

其中，即
（2）

（3）

其中
（4）

其中，即
（5）

其中
（6）

其中
（7） 其中
（8），

其中

其中
4.12把下列各函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。
（1），，；
（2），；
（3）在以为中心的圆环内；
（4），。
解：（1）在内，
；
在内，

（2）

（3）有两个奇点，，，所以以为中心的圆环域有：
和，
在内展开，得：

在内展开，得：

（4）在内，
，
所以

4.13把下列各函数在指定圆环域内展开成洛朗级数，并计算沿正向圆周的积分值。
（1），的去心邻域；
（2），；
（3），。
解：（1），
洛朗展开式中项系数为，所以；
（2）在内，
，
洛朗展开式中不含项，所以；
（3）在内，

，
洛朗展开式中项系数为，所以。
7