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计算流体力学
第一节
各位老师好，我叫黄灿，今天我讲授的课程是计算流体力学这门课程。我参考的教材是《计算流体力学基础及其应用》，由美国John D. Anderson编著，由吴颂平、刘赵淼翻译，出版社是“机械工业出版社”。今天是我讲的是计算流体力学的第一节课，内容主要包含三方面。
1、 计算流体力学的原理及应用。
2、 这门课程的目的和任务。
3、 两个概念物质导数和速度散度定理。
1.1. 计算流体力学的原理及应用。
在计算机出现以前，流体力学的研究方法主要是：
实验

理论
流体力学的研究方法

17世纪的时候，法国和英国奠定了实验流体力学的基础；18、19世纪理论流体力学在欧洲开始发展起来。可以说这两种方法在整个流体力学的发展过程中有巨大的贡献。
理论分析方法的有点在于所得的结果具有普遍性，各种因素的影响清晰明确，是指导实验和计算流体力学的理论基础。但是，如果采用理论方法研究问题，需要将复杂的流体控制方程简化到我们能利用现有的数学知识能进行求解的方程，通常只有少数的简单流动才能抽象简化到这样的数学方程。不能用于研究复杂的流动问题。
实验方法得到的实验结果真实可信，可以用于研究复杂问题，然而实验往往受到模型尺寸、环境干扰、人身安全和测量精度的限制，因此有时侯可能很难通过实验方法得到结果。此外，实验通常要求大量的经费、人力和物力，以及遭遇周期长等问题。
实验
随着计算机的诞生，计算机成为研究流体问题一种新的而且非常重要的方法，成为流体力学研究的第三种方法。

流体力学的研究方法

数值计算

理论

这种方法称为数值计算方法，也可以简称为数值方法，现在这种方法已经发展成为一门独立学科——也就是我们今天上的这门课，计算流体力学。数值方法能方便快速的研究各种复杂问题，克服了理论方法只能研究少数简单问题这一缺陷；而且数值方法可以看做像是在计算机上进行的一次实验，不需要购买高价的实验设备，而且能快速方便的重复实验，大大的缩短了周期，因此也有效的克服实验方法中遇到的问题。除此以外，数值模拟可以观察和监测到流场的各种细节，这能帮我们更好的理解物理问题。
随着计算机的发展，计算流体力学也迅速的发展。现在所有涉及流体流动、热交换、分子输运等现象的问题几乎都可以通过计算流体力学的方法进行模拟和分析，应用的场合非常广泛，比如水利工程、土木工程、环境工程、食品工程、海洋工程、工业制造、航空航天、汽车发动机。
利用计算流体力学对流动问题进行数值模拟时，通常包括如下四个步骤：
1) 建立能正确反映物理问题的数学模型。流体的基本控制方程是质量守恒方程，动量守恒方程，能量守恒方程。对于不同的物理问题可能还需要考虑其它相关方程，比如对于燃烧问题，需要考虑化学方程式。
2) 建立物理模型，离散数学方程，处理边界条件。这一部分是计算流体力学的核心内容。
3) 编写程序和进行计算。这是一个技术工作，需要通过长期的反复练习。
4) 显示和分析计算结果。
经过这四个步骤我们就完成了利用数值方法对物理问题的研究工作。

1.2. 本课程的目的和任务。
本课程的目的是：
1) 了解计算流体力学的基本原理和能力。
2) 理解流体力学的控制方程，尤其是形式适合于计算流体力学的控制方程，能够利用有限差分方法离散流体力学控制方程。
3) 对于某些简单问题能够编写出解算程序，并对这些问题进行数值模拟，学会使用后处理软件对数值结果进行分析。
4) 学习Fluent软件，掌握利用Fluent软件解决工程问题的步骤。
5) 掌握计算流体力学的术语。
本课程的任务安排如下：
学习和推到流体控制方程的各种形式

学习有限差分方法

利用计算流体力学求解一个三维问题(这个问题要根据大家对计算流体力学的掌握情况以及Fluent软件的学习情况来设计。)
利用计算流体力学求解一个二维问题(比如泊肃叶流动、库叶特流动、腔内剪切流动。)
利用计算流体力学求解一个一维问题(比如对流扩散问题、一维喷管问题。)

1.3. 两个概念——物质导数和速度散度定理
接下来我们讲两个概念，这两个概念为下节课推到流体控制方程做准备。
1.3.1. 物质导数
第一个概念物质导数。连续介质力学对物质导数有详细的阐述和说明，这里将不采用连续介质力学中那种方式讲解物质导数，因为我个人认为连续介质力学讲解物质导数的思路虽然能够很好的反映物理意义，但是相对来讲比较抽象不易理解。这里以比较数学的形式来讲解物质导数。
对任意物理量来讲都可以表示为空间和时间的函数f(x,y,z,t)，如果将函数在空间某一点(x0,y0,z0)，某一刻t0进行泰勒展开，我们可以得到这样的表达式：
(1-1)
移项，并让等式两边同时除以(t- t0)，可得：
(1-2)
我们可以将这个式子左边的这一项看做当时间从t0变化到t，且流体微团从点(x0,y0,z0)运动到点(x,y,z)时，物理量f在时间Dt=t- t0的平均变化率。如果我们让这个时间段Dt→0，那么这一项就变为物理量f在t0时刻的瞬时变化率，我们将取极限后的表达式记为：
(1-3)
注意观察式(1-2)右边的第二项，在时间段Dt内，当点的x方向坐标从x0变化到x时，位移x方向的变化量除以时间的变化量，那么就是该点在x方向的平均速度u，取极限后就是点(x0,y0,z0)在t0时刻的速度u0。第三、四项同理有y、z方向的速度v0、w0。将(1-3)式和u0、v0、w0代入(1-2)中可以得到(去掉高阶项)：
(1-4)
因为(x0,y0,z0)和t0具有任意性，我们可以去掉上式的下角标0，最终得到：
(1-5)
上式左边Df/Dt就是物理量f的物质导数，¶f/¶t是物理量的当地导数。或许大家可能对物质导数求解公式(1-3)与高数中学的¶f/¶t的求解公式稍有疑问，认为这两个表达式的求解结果相同，这里必须指出事实上物质导数Df/Dt和当地导数¶f/¶t在式(1-3)中的主要区别在于f的表达式不同，物质导数的表达式要同时包含¶f/¶t和(1-5)式右边的其它三项。
(1-5)式中的f表示任意物理量，因此我们可以得到这样的表达式：
(1-6)
进一步可以写为：
(1-7)
上式中的是Ñ是微分算子，表示对某一物理量求梯度，实际上就是对物理在空间上求导数。这个式充分反映了物质导数和当地导数的关系，即速度矢量与物理量空间导数的内积之后加上当地导数就该物理量的物质导数。
这些解释基本上是从数学角度进行的，事实上物质导数、当地导数和迁移导数都具有实际的物理含义。物质导数在物理上表示跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；当地导数表示物理量在固定点处的时间变化率；迁移导数表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点时，由于流场在空间的不均匀性而引起的时间变化率。举一个例子：设想你在山上行走，看到一个洞，试图进入这个洞，如果洞内比洞外冷，当你向洞内行走时会感到温度降低，这就好比式(1-6)中的迁移导数，假设这个时候有一个人突然丢到你身上一个雪球，你会感到瞬间的寒冷，这就是式(1-6)中的当地导数。如果这两件事情同时进行，那么总的温降就是式(1-6)的物质导数。
1.3.2. 速度散度
第二个概念是速度散度Ñ×V。这个表达式以后我们会经常遇到，因此需要弄清楚它的物理意义。我们看到我手里有一瓶水，无论我怎样晃动这个瓶子或挤压这个瓶子，里面水的质量都不会发生变化，但是我们可以看到这瓶水表面的速度发生了变化，以及水的形状发生了变化。我们假定水的表面是这个形状，我们在这个表面上画出一个无穷小的面元ds，这个面元内的水的速度是V，面元的法向量是n，这个小面元在Dt时间内走过的距离是VDt，我们看到这个小面元从1位置走到2位置时，水的体积发生这么多的变化，这个体积可以计算出来的，首先我们计算出小微元面在速度方向的投影面积dsn×V/|V|，然后在利用柱体体积计算公式底×高，即可以得到这个体积为：
(1-8)
整瓶水的体积的变化等于整个表面对上式进行求和，这个和写成连续的形式，就是在整个表面上对上式进行积分：
(1-9)
将上式除以Dt，然后取极限就是体积变化的时间变化率：
(1-10)
我们将上式用符号DQ/Dt来表示，这里采用了物质导数的符号，因为我们刚才推到公式的时候一开始就是在随流体运动的控制体上进行的，也就说控制体是运动的。利用散度定理(高斯定理)可以将(1-10)中的面积分转换到体积分上，写为：
(1-11)
我在将这个控制体Q进行缩小以至于趋于零，用dQ来表示，那么上式表示成：
(1-12)
因为dQ非常小，因此可以近似的认为在整个dQ上Ñ×V都相等，因此利用积分中值定理式(1-12)可以表示为：
(1-13)
最后我们可以得到速度散度的表达式：
(1-14)
上式的右边就是速度散度的物理意义。即速度散度是每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。