整式的乘除与因式分解、分式.doc

整式的乘除与因式分解
知识点一：幂的四个运算法则
① am·an=am+n(m,n都是正整数) 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
② （am）n=amn(m,n都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
③ (ab)n=anbn(n是正整数) 积德的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
④ am÷an=am-n(m,n都是正整数) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

典例剖析
例1已知ma+b·ma-b=m12,求a的值。

变式训练（1）若644×83=2x,则x=
（2）若x 2n=4，则x6n=
（3）已知am=2，an=3，则am+n=
例2 计算（-3）2004·()2005

例3 已知2x=3,2y=5,2z=15.求证：x+y=z

例4 如果（x+q）(x+)的积中不含x项，那么q=
知识点二：三个公式
①平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2 “两数和两数差等于两数平方差”
②完全平方公式（a+b）2= a2+2ab+ b2 (a-b)2= a2-2ab+ b2
③ （x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab

典例剖析

例5 运用乘法公式计算
（1）102×98； （2）1022； （3）992

例6 计算19982-1997×1999

例7 计算（2+1）（22+1）（24+1）…(22n+1)

例8 已知（a+b）2=7，(a-b)2=4，求a2+ b2，ab的值。

变式练习：已知x+=2，求x2+ ()2

例9 已知x+y=1,那么x2+xy+y2的值为
知识点三：因式分解（三种方法）
① 提公因式法
② 公式法（平方差公式 完全平方公式）
③ x2+(p+q)x+pq=（x+p）(x+q)型二次三项式
例10 若a,b,c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c2-ab-ac-bc=0试判断这个三角形的形状。

分式
知识点一：分式的定义
例1 x为何值时，下列分式：（1）有意义？（2）无意义?
(3) 的值为零？
知识点二：分式的基本性质 （主要用于通分、约分）
① 约分：约去分子、分母中相同因式的最低次幂（即公因式）。
注意：若分子分母都是单项式，直接约去分子、分母中的公因式即可；若分子或分母是多项式要先因式分解，然后再将公因式约去。
例2 约分：（1） （2） (3)

② 通分：把几个异分母的分式化成同分母的过程
最简公分母：分子分母中所有因式的最高次幂的乘积
注意：若分子分母都是单项式，直接通分；若分子或分母是多项式要先因式分解，然后再通分。
例3 通分：（1）， （2）,

知识点三：分式的运算（分式的乘除、分式的加减、分式的乘方）
① 分式的乘法：.=
② 分式的除法:÷=.=
③ 分式的加减：同分母直接相加减，异分母先通分再加减
④ 负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，a=(a≠0)
⑤ 混合运算的顺序是：先乘除，后加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号，先算括号内的。
例3 先化简代数式：÷-1，然后选择一个使原式有意义的a,b的值代入求值。

知识点四：分式方程
步骤：（1）确定最简公分母
（2）去分母
（3）解这个整式方程
（4）检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是增跟，应舍去，使最简公分母不为零的根才是原方程的根。
例4 解方程 -1=

注意：造成分式方程无解的原因有两个，可能是原分式方程去分母后，所得的整式方程无解，也可能是所得整式方程的解是原方程的增跟，因此要分情况求解。
例 若关于x的分式方程-=1无解，则a=
例5 供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修，技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果同时到达。已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求两种车的速度。
4