整式的乘除和因式分解.doc

整式的乘除
一、知识点睛：
在本章所有的知识中，幂的运算性质是最基础的，它是单项式乘除法、多项式乘除法以及使用乘法公式运算的必备知识；其中，单项式乘除法又是多项式乘除法运算的知识基础. 它们之间的关系可有下面的知识结构图来表示：

三、基础知识
学习本章包括幂的运算性质、单项式乘除法、多项式乘除法、乘法公式四部分内容. 其中，乘法公式是重点.
1、幂的运算性质包括：
（1） 同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n为正整数)；
（2） 幂的乘方：(am)n=amn(m,n为正整数)；
（3） 积的乘方：(ab)n=an·bn(n为正整数)；
（4） 同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0, m,n为正整数，并且m＞n).
2、单项式乘除法主要指两种运算：
（1） 单项式乘以单项式；
（2） 单项式除以单项式.
3、多项式乘除法学习了三种运算：
（1） 单项式与多项式相乘；
（2） 多项式与多项式相乘；
（3） 多项式除以单项式.
4、本章中介绍了两种（三个）乘法公式：
（1） 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；
（2） 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
五、 典型例题：
例1．下列计算错误的是 ( )
A．a2·a4=a8 B.2a3÷a=2a2 C.(－a3)2=a6 D.(a－1)2= .
例2．在下列计算中,正确的是（ ）
A.（ab2）3=ab6 B.（3xy）3=9x3y3 C.（－2a2）2=－4a4 D.（－2）－2=
例3．用小数表示 3×10-2，结果为( )
A.-0.03 B.-0.003 C.0.03 D.0.003
例4.将这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜＜
例5.计算x2y3÷(xy)2的结果是( )
A．xy B． x C ．y D. xy2
例6.若aa–3=1,则a等于（ ）
A.1，0； B.1，3； C.1，-1； D.1，-1，3.
例7.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
例8.下列各式中，相等关系一定成立的是 ( )．
A.(x－y)2=(y－x)2 B.(x+6)(x－6)=x2－6
C.(x+y)2=x2+y2 D.6(x－2)+x(2－x)=(x－2)(x－6)
例9.观察下列各式（x－1）（x＋1）=x2－1，
（x-1）（x2＋x＋l）=x3－l．
（x－l）（x3＋x2＋x＋l）=x4-1，
根据前面各式的规律可得（x－1）（xn＋xn-1＋…＋x＋1）＝ .

例10.请你观察右边图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 ．

例11.多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的多项式可以是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）.
例12.计算：
(02南通市) (1)(a＋2b)(3a－7b)；
(2)(16x2y3z+8x3y2z)÷8x2y2

变式练习:
一.选择题：
1.下列计算正确的是( )
A.(-x)·(-x)·(-x)2=(-x)4=-x4 B.-x·(-x)2·x2=-x·x2·x2=-x4
C.(-x)2·(-x)3·(-x)4=x9 D.(-x)·(-x)3·(-x)5·x = -x10
2.下列各式中，计算过程正确的是( )
A．x3十x3=x3+3=x6　　　　　　 B. x3·x3＝2x3＝x6
C．x·x3·x5= x0+3+5=x8　　 D．x2·(－x)3=－x2+3
3.(-m2n3)6÷(-m2n3)2= （ )
A.m8n12 B.m6n9 C.-m8n12 D.-m6n9
4.下列各数(- 2)0，-(-2)，(-2)2，(-2)3中，负数的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列关系式中，正确的是( )
A.(a－b)2=a2-b2 B.(a+b)(a - b)= a2-b2
C.(a+b)2= a2+b2 D.(a+b)2= a2-2ab+b2
6.( )
A.4m10n10 B.-12m13n12 C.-12m13n10 D.12 m13n12
7.下列计算正确的是( )
A.(a+3b)(a-3b)=a2-3b2 B.(-a+3b)(a-3b)=-a2-9b2
C.(-a-3b)(a-3b)=-a2+9b2 D.(-a-3b)(a+3b)=a2-9b2
8.(-x-y)2= ( )
A.x2+2xy+y2 B.-x2-2xy-2y2 C.x2-2xy+y2 D.-x2+2xy-y2
9.计算结果是x2+7x-18的是 ( )
A.(x-1)(x+18) B.(x+2)(x+9) C.(x-3)(x+6) D.(x-2)(x+9)
10.若一个多项式的平方的结果为4a2+12ab+m2,则m=( )
A.9b2 B.±3b2 C.3b D.±3b
二.填空题：
11.计算:=_______________.
12.计算: (-1.2×102)2×(5×103)3×(2×104)2=_____________.
13.计算:(-x)2·(-x)3+2x·(-x)4-(-x)·x4=_____________.
14.计算:-(y3)2(x2y4)3·(-x)7=_____________.
15.计算:2a(a2-3a-4)-a(2a2+6a-1) =_____________.
16.计算:=_____________.
17.计算：(x+4)(x-4)-(x-4)=_____________.
18.计算：(x-2)(x+2)(x2+4)(x4+16) =_____________.
19.计算:=_____________.
20.计算:［(-2a2bc)2-4a5b3c2］÷(2ab)2=_____________.
三.解答题：
21.计算:［-(a2)3］2·(ab2)3·(-2ab)

22.计算:

23.计算:(2a2-3a+1)·(-2a)-(4a3-3a2+2a)÷2a

24.计算:(x+3)(x+4)-(x-1)(x+2)

25.计算:(2x2+3x-1)(x+2)-(x+2)(x+1)

26.计算：a4-(a-b)(a+b)(a2-b2)

27.计算：(2a+b-c)(2a+b+c)

28. 用乘法公式计算：

29.计算:［2a(-4ab2)3+4ab(-2a)2+12ab2(ab2)3］÷(-4a2b)

30. 计算：(2m4n3+16m3n-8m2n5)÷(-2m2n)·(-mn)3

31.解方程:2x(x-1)-x(3x+2)=-x(x+2)-12;

四.拓展题：
1.若x2n=5,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.

2.已知4x=23x-1，求x的值。

3.已知a2n=3,a3m=5,求a6n-9m的值。

4.已知a+b=5,ab=6,求a2+b2,a4+b4的值.

因式分解
一.提公因式法
1. 提取公因式
探讨：例.14abx－8ab2x+2ax=________．
变式练习：把下列各式分解因式：
（1） （2）6（a–b）2–12（a–b）

（3）x(x+y)2–x(x+y)(x–y) （4）a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;

(5)5（m－n）2+2（n－m）3． (6)x4–3x2+x
2.运用公式法：
公式： a2–b2=（a+b）（a–b） a2–2ab+b2=（a–b）2 a2+2ab+b2=（a+b）2
因式分解的方法分析顺序：先提公因式——再用公式
二、典型例题：
1. 下列多项式分解因式: x-x5　　
2. 分解因式:
3. 分解因式:
4. 分解因式:b2-(a-b+c)2
5. 分解因式: a2(a-2b)2-9(x+y)2
三、变式练习:
1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于( )
A.3 B.-5 C.7. D.7或-1
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.22006+3×22005–5×22007的值不能被下列哪个数整除 ( )
A．3 B．5 C．22006 D．22005
4.分解因式：4x2-9y2=
5.若4a4–ka2b+25b2是一个完全平方式，则k= ．
6.已知x–3y=3，则 ．
7.已知x=，求2x2–+4的值．

8.因式分解:
(1). (2).

9.先分解因式，再求值：，其中。

10.已知x2–y2=63，x+y=9，求x与y的值．

11.已知多项式(a2+ka+25)–b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．
（1）写出常数k可能给定的值；
（2）针对其中一个给定的k值，写出因式分解的过程．

12.阅读题
先阅读理解：
(1).计算后填空：　　 　　　； 　　　　　　；
(2).归纳、猜想后填空：
(3).运用(2)的猜想结论，直接写出计算结果：　　　　　　　　
(4).根据你的理解，分解下列因式：
分解因式：

仿照这种方法把多项式分解因式。

先阅读： x2+2x-3
解：原式＝x2+2x+1-1-3
＝(x2+2x+1)-4
＝(x+1)2-4
＝(x+1+2)(x+1-2)
＝(x+3)(x-1)
：
再分解因式:在实数范围内分解因式：4a2+4a-1

整式的乘法与因式分解课后练习
一、 选择题
1．下列计算中正确的是(　　)．
A．b2＋b3＝2b5 B．a4÷a＝a4
C．a2·a4＝a8 D．(－a2)3＝－a6
2．(x－a)(x2＋ax＋a2)的计算结果是(　　)．
A．x3＋2ax2－a3 B．x3－a3
C．x3＋2a2x－a3 D．x3＋2ax2＋2a2－a3
3．下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的个数有(　　)．
①3x3·(－2x2)＝－6x5；②4a3b÷(－2a2b)＝－2a；③(a3)2＝a5；④(－a)3÷(－a)＝－a2.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知被除式是x3＋2x2－1，商式是x，余式是－1，则除式是(　　)．
A．x2＋3x－1 B．x2＋2x
C．x2－1 D．x2－3x＋1
5．下列各式是完全平方式的是(　　)．
A．x2－x＋ B．1＋x2
C．x＋xy＋1 D．x2＋2x－1
6．把多项式ax2－ax－2a分解因式，下列结果正确的是(　　)．
A．a(x－2)(x＋1) B．a(x＋2)(x－1)
C．a(x－1)2 D．(ax－2)(ax＋1)
7．如(x＋m)与(x＋3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为(　　)．
A．－3 B．3
C．0 D．1
8．若3x＝15,3y＝5，则3x－y等于(　　)．
A．5 B．3
C．15 D．10
二、填空题
9．计算(－3x2y)·()＝__________.
10．计算：＝__________.
11．计算：＝__________.
12．计算：(－a2)3＋(－a3)2－a2·a4＋2a9÷a3＝__________.
13．当x__________时，(x－4)0＝1.
14．若多项式x2＋ax＋b分解因式的结果为(x＋1)(x－2)，则a＋b的值为__________．
15．分解因式 m3 – 4m = .
16.因式分解：　　　 ．

17.若|a－2|＋b2－2b＋1＝0，则a＝__________，b＝__________.
18．已知a＋＝3，则a2＋的值是__________．
三、解答题
19．计算：
(1)(ab2)2·(－a3b)3÷(－5ab)；

(2)x2－(x＋2)(x－2)－(x＋)2；

(3)[(x＋y)2－(x－y)2]÷(2xy)．

(4)

(5)计算：

20．把下列各式因式分解：
(1)3x－12x3；

(2)－2a3＋12a2－18a；

(3)9a2(x－y)＋4b2(y－x)；

(4)(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.

21．先化简，再求值．
2(x－3)(x＋2)－(3＋a)(3－a)，其中，a＝－2，x＝1.

22．已知：a，b，c为△ABC的三边长，
且2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

23．已知n为整数，试证明的值一定能被12整除.