特殊环上模的Gorenstein投射性与内射性.pdf

特殊环上模的 Gorenstein 投射性与内射性李艳午，陈倩倩（芜湖职业技术学院基础教学部，安徽芜湖241003）摘要：主要研究了环上模的 Gorenstein 投射性与内射性。首先，在 Artin 环的框架下，利用特殊环的刻画条件，研究了任意左 R-模是 Gorenstein 投射模与内射模的充要条件。然后，在一般环下，从右 R-模对自由 R-模和投射模的可嵌入性以及零化子升链条件等方面刻画了环上模的Gorenstein 投射性与 Gorenstein 内射性。部分地推广了已有文献的结果。关键词：Gorenstein 投射性；Gorenstein 内射性；QF-环；Artin 环中图分类号：O153.3文献标志码：A文章编号：1673-0143（2023）04-0023-06DOI：10.16389/42-1737/n.2023.04.003Gorenstein Projective and Gorenstein Injective Properties ofModules over Special RingsLI Yanwu，CHEN Qianqian（Department of Basic Education，Wuhu Institute of Technology，Wuhu 241003，Anhui，China）Abstract：The Gorenstein projective and Gorenstein injective properties of modules overrings were studied.Firstly，under the framework of an Artin ring，the sufficient andnecessary conditions for any left R-module to be a Gorenstein projective module and aGorenstein injective module were discussed by the characterization condition of a specialring.Then，the Gorenstein projective and Gorenstein injective properties of modules over ageneral ring were described in terms of the embeddability of the right R-module to free R-modules and projective modules，as well as the zero-dependent lifting chain.The resultsof the existing literature were partially extended.Key words：Gorenstein projectivity；Gorenstein injectivity；QF-ring；Artin ring0引言投射模、内射模和平坦模是环模理论中最基本的三大模类，利用这三类模所引入的同调不变收稿日期：2022-06-20基金项目：安徽省教育厅自然科学研究重点资助项目（KJ2020A0916，2022AH052207）；安徽省教育厅质量工程教学团队资助项目（2020jxtd281）作者简介：李艳午（1975），男，教授，硕士，研究方向：环模理论。第 51卷 第 4期2023年 8月江 汉 大 学 学 报（自 然 科 学 版）J.Jianghan Univ.（Nat.Sci.Ed.）Vol.51 No.4Aug.2023江汉大学学报（自然科学版）总第 51卷量同调维数在刻画环的性质时起到了非常重要的作用。这三类模不仅是同调代数的主要研究对象，而且在代数几何、代数 K-理论、代数数论以及群表示论中都有重要应用。Gorenstien 投射模、Gorenstien 内射模和 Gorenstien 平坦模由 Edgar 和 Enochs 等在上个世纪八九十年代引入，推广了传统意义上的投射模、内射模和平坦模，但是又比传统的三大模类具有更好的稳定性，在三角范畴和导出范畴中有广泛应用。近几十年来，对 Gorenstein 同调维数的深入研究，为模论中的许多古典概念逐渐提供了一般框架。因此，对环上的模类进行 Gorenstein 投射性与 Gorenstein 内射性的刻画是一件很有意义的工作，直到今天依然吸引着同调代数领域研究者的兴趣，新的成果不断涌现1-3。基于 Artin 环的自内射性，首先在 Artin 环的框架下，从RR和RR的余生成性、R 具有双边零化子性以及RRR-对偶()所定义的RFM和FMR之间的对偶性等方面刻画了环 R 上模的 Gorenstein投射性与 Gorenstein 内射性。然后，在一般环的框架下，从右 R-模对自由 R-模的可嵌入性、内射右 R-模对投射模的可以嵌入性、R 在右自内射条件下满足零化子升链条件、有限生成右 R-模可以本质地嵌入到一个投射模中等方面刻画了一般环上模的 Gorenstein 投射性与 Gorenstein内射性。文中的环都是有单位元的结合环，文中符号涵义参看文献 4。1主要结果及证明由于 Artin 环是自内射环，首先在 Artin 环的框架下，利用一些特殊环的刻画条件，研究任意左 R-模是 Gorenstein 投射模与 Gorenstein 内射模的充要条件。称环R具有双边零化子性，如果对任意的右理想I和左理想I，都有rRlR(I)=I和lRrR(I)=I。下面的定理就是在 R 具有双边零化子性和左右 R-模的余生成性等条件下对任意左 R-模是 Gorenstein 投射模与 Gorenstein 内射模进行 Artin 环框架下的刻画。定理 1设 R 是 Artin 环，则以下条件等价：（1）R 是 QF 环；（2）RR和RR都是内射模；（3）RR和RR都是余生成的；（4）R 具有双边零化子性；（5）RRR-对偶()定义了RFM和FMR之间的对偶性；（6）任意左 R-模都是 Gorenstein 投射模；（7）任意左 R-模都是 Gorenstein 内射模。证明(1)(4)(5)根据文献 4 的定理 30.4 可得。(1)(2)由 QF 环的定义是显然的。(2)(3)令e1,e2,en是 R 的初始幂等元构成的一个基础集，如果RR是内射的，那么e1R,e2R,enR必然是MR中成对的不可分解的非同构内射。由于它们的基座是本质的，从而必存在某个n，它的内射包不是单右 R-模。于是，每个单右 R-模可以嵌入RR。再根据文献4的命题 18.15，可知RR是余生成的。反之，如果RR是余生成的，那么根据文献4的推论18.16，RR必有同构于n个不可分解的内射右 R-模的直和项：e1R,e2R,enR，所以RR是内射的。(3)(5)如果RR是余生成的，那么RRR满足文献 4 定理 30.4 中的（e），从而RRR-对偶242023年第 4期()定义了RFM和FMR之间的对偶性。如果RR是余生成的，那么根据文献 4 的定理 25.2，对每个右理想I都有rRlR(I)=I。从而RRR-对偶()定义了RFM和FMR之间的对偶性。(1)(6)设M为任意左 R-模，则对M的投射分解 I1 I0 M 0和内射分解 0 M I0 I1 有正合列P:I1 I0 I0 I1，其中，M Ker(I0 I1)=Im(I0 I0)。由 R 是 QF 环，可知每个投射左 R-模内射，从而上面正合列的每一项都是内射模。另一方面，对任意的内射模E，由 R 是 QF 环可知 E 也是投射模，根据文献 5 的定理 2.1.16，存在正合列 HomR(E,I1)HomR(E,I0)HomR(E,I0)。从而P为完全的内射分解，所以M是 Gorenstein 内射模。(1)(7)设M为任意左 R-模，则对M的投射分解 P1 P0 M 0和内射分解 0 M P0 P1 有正合列Q:P1 P0 P0 P1，其中，M Ker(P0 P1)=Im(P0 P0)。由 R 是 QF 环，可知每个内射左 R-模投射，从而上面正合列的每一项都是投射模。另一方面，对任意的投射模T，由 R 是 QF 环可知T也是内射模，根据文献 5 的定理 2.1.15，存在正合列 HomR(P0,T)HomR(P0,T)HomR(P1,T)。从而Q为完全的投射分解，所以M是 Gorenstein 投射模。(6)(1)设P是 投 射 左 R-模，则 由（6）知P是 Gorenstein 内 射 模，于 是 有 正 合 列E fP 0，这里E是内射模。若令1P:P P是恒等映射，则由投射模的定义可知存在g:P E，使得fg=1P，也就是短正合列可裂。任取x E，则有gf(x)Img,f(x-gf(x)=f(x)-f(x)=0。从而，有x-gf(x)kerf,于是E=Img+kerf。又对任意的y Img kerf,有f(y)=0,并且存在z P使得y=g(z)。则有z=fg(z)=f(y)=0,y=g(z)=0。所以Img kerf=0,从而有E=Img kerf。最后，由第一和第二同构定理可得P E/kerf=(Img kerf)/kerf Img。这表明P为E的直和项，由内射模的直和项仍然是内射的，可知P是内射模，因此每个投射左 R-模都是内射的，所以 R 是 QF 环。(7)(1)设I是内射左 R-模，则由（7）可知I是 Gorenstein投射模，于是有正合列0 I fP，这里P是投射模。若令1I:I I是恒等映射，则由内射模的定义可知存在g:P I，使得gf=1I，也就是短正合列可裂。任取x P，则有fg(x)Imf,g(x-fg(x)=g(x)-g(x)=0。从而，有x-fg(x)kerg,于是P=Imf+kerg。又对任意的y Imf kerg,有g(y)=0,并且存在z I使得y=f(z)。则有z=gf(z)=g(y)=0,y=f(z)=0。所以Imf kerg=0,从而有P=Imf kerg。再由投射模的直和及直和项仍然是投射的，可知I Imf为P的直和项，从而I是投射模，故每个内射左 R-模投射。所以 R 是 QF 环。推论 1设 R 是 Artin 环，则以下条件等价：李艳午，等：特殊环上模的 Gorenstein投射性与内射性25江汉大学学报（自然科学版）总第 51卷（1）R 是 QF 环；（2）每个有限生成左右R-模是RRR-自反的；（3）每个单左右R-模是RRR-自反的；（4）RRR-对偶()是单对单的；（5）每个左、右循环R-模是R-无挠模；（6）任意左 R-模都是 Gorenstein 投射模；（7）任意左 R-模都是 Gorenstein 内射模。证明(1)(2)(3)(4)根据定理 1 和文献 4 的定理 30.4 可得。由定理 1 的（4）和文献 4 的引理 25.2，可得(1)(5)。(1)(6)(7)上面的定理已证明。根据 Artin 环与 Noetherian 环的对偶性，下面的定理 2 由 Noetherian 环的左自内射性导出了其模上任意左 R-模的 Gorenstein 投射性与 Gorenstein 内射性。定理 2设 R 是一个左（或右）Noetherian 环，如果 R 是左自内射的，那么：（1）任意左 R-模都是 Gorenstein 投射模；（2）任意左 R-模都是 Gorenstein 内射模。证明设RR是内射的，并且 R 是左（或右）Noetherian 环。那么，升链条件保证了 R 有一个初始幂等元构成的完全集e1,e2,en，每个Rei是一个不可分解的内射模，所以是它的自同态环，并同构于eiRei，根据文献 4 的定理 25.4 可知Rei是局部的。于是根据文献4的定理 27.6，可得 R 是半完全环。令J=J(R)，从理想的升链lR(J)lR(J2)可知存在某个n 0，使得lR(Jn)=lR(Jn+1)。再根据文献 4 中定理 15.17 的（e），可知R/lR(Jn)的右基座是lR(Jn+1)/lR(Jn)。一方面，如果 R 是一个左 Noetherian 环，那么根据文献 4 的引理 30.9，R 的主右理想满足降链条件，因此由前面的结论可以推出R/lR(Jn)=0，从而Jn=RJn=0。另一方面，如果 R 是一个右 Noetherian 环，那么根据文献 4 的定理 30.9 也可以得到Jn=rR(lR(Jn)=rR(lR(Jn+1)=Jn+1。最后，根据文献 4 的引理 15.13，有Jn=0。综上可得，R 是半素的 Noetherian 环，从而 R 是Artin 环，故 R 是 QF 环。于是由定理 1 的（6）和（7），结论可证。下面的定理 3 分别在右 R-模满足嵌入条件和零化子的链条件下，给出了一般环上模的 Gorenstein 投射性与 Gorenstein 内射性的刻画。其中，涉及到右 FGF-环和右 CS-环的概念。环 R称为右 FGF-环，如果每个有限生成右 R-模可以嵌入自由模；环 R 称为右 CS-环，如果每个补右理想都是RR的直和项。定理 3设 R 是一个环，则以下条件等价：（1）R 是 QF 环；（2）每个右 R-模可以嵌入自由 R-模；（3）每个内射右 R-模可以嵌入投射模中；（4）R 是右自内射环并且满足右零化子升链条件；（5）R 是右自内射环并且满足左零化子升链条件；262023年第 4期（6）R 是 每 个 左 理 想 都 是 零 化 子 的 右 Noetherian 环，并 且 对 每 一 对 右 理 想I1,I2,都 有l(I1 I2)=l(I1)+l(I2)；（7）每个有限生成右 R-模可以本质地嵌入到一个投射模中；（8）R 为右 FGF-环，并且 R 为右 CS-环；（9）任意左 R-模都是 Gorenstein 投射模；（10）任意左 R-模都是 Gorenstein 内射模。证明(1)(2)(3)由 QF 环的定义可得。(4)(1)由RR的内射性可知每个有限生成左理想是一个左零化子，所以 R 满足有限生成左理想的降链条件，从而 R 是右完全环，进而 R 是半局部环，则R J是半单环，J是幂零理想，故 R是 半 素 环。于 是，R 满 足 有 限 生 成 右 理 想 降 链 条 件，那 么 对 于 任 意 的 右 零 化 子 降 链A1 A2 An，存在相应的有限生成右理想序列B1 B2 Bn 使得l(Bi)=l(Ai),i=1,2,。因而，存在正整数n使得对于任意的m n,都有Bn=Bm,从而有l(An)=l(Am),即证明了 R 满足左（右）零化子的升链条件（降链条件）。又因为每个有限生成左理想都是左零化子，所以 R 满足有限生成左理想升链条件，从而每个左理想是有限生成的。由文献 6 的定理 3.2.1，可得 R 是 QF 环。(5)(1)如果 R 是自内射环，那么每个有限生成左理想是左零化子，从而 R 满足有限生成左理想升链条件，进而 R 是左 Noetherian 环，R J也是左 Noetherian 环，于是R J是半单的。首先，证明 R 是 Artin 环。先证明 R 是左 Artin 环。由于 R 是右自内射环和左 Noetherian 环，所以对 R 的每个左理想I有l(r(I)=I。令r(J)r(J2)r(J3)，为一个左理想升链，由 R 是左 Noetherian 环可知存在正整数n，使得r(Jn)r(Jn+1),从而有l(r(Jn)=l(r(Jn+1),即Jn=Jn+1,由 Nakayama 引理知J是幂零的，从而 R 是左 Artin 环。再证明 R 是右 Artin 环。设e,f是 R 的主不可分幂等元。因为eR是RR的直和项，所以eR是内射的且不可分，从而基座Soc(eR)是单 R-模，并且Soc(eR)Soc(f R)当且仅当eR fR。由 于 R 是 左 Artin 环，所 以 R 是 半 完 全 环，由 半 完 全 环 的 性 质 可 知 每 个 单 右 R-模 同 构 于Soc(f R)，故 R 是 右 Kasch 环，于 是RR是 余 生 成 的，从 而 每 个 右 理 想 都 是 零 化 子。设I1 I2 I3 为一个右理想的降链，那么l(I1)l(I2)l(I3)是一个左理想的升链，因为 R 是左 Noetherian 环，所以存在正整数n使得r(l(In)=r(l(In+1),从而有In=In+1,于是R 是右 Artin 环。最后，证明 R 是双边自内射环。由于 R 是自内射环，根据 Ikeda-Nakayama 定理可得对于任意有限生成左理想L都有l(r(L)=L。又因为 R 是 Artin 环，所以其任意左理想都是零化子，由上面的证明可知对任意的右理想I都有l(r(I)=I,即 R 满足双边零化子条件，从而 R 是双边自内射环。综上，根据 QF 环的定义可知，R 是 QF 环。(6)(1)因为 R 的每个左理想都是零化子，所以对任意的a R,都有lr(Ra)=Ra，又因为对 R 的每一对右理想I1,I2,都有l(I1 I2)=l(I1)+l(I2)，所以 R 是右自内射的。又因为 R 是右 Noetherian 环，所以 R 是 QF 环。(7)(8)(1)(9)(10)分别根据文献 6 的定理 8.1.10 和本文前面的定理 1 可得。李艳午，等：特殊环上模的 Gorenstein投射性与内射性27江汉大学学报（自然科学版）总第 51卷2结语在同调代数中，基于同调维数的环和模的同调性质往往能带来更深刻的结果。虽然上个世纪八十年代初提出的 Gorenstien 投射模、内射模和平坦模的概念7已过四十余年，但是在任意结合环上关于这三大模类的 Gorenstien 同调维数的研究却只有不到二十年的历史。直到 2004 年，Holm8才在任意结合环上引入 Gorenstien 同调维数的概念，从而开启了 Gorenstien 同调模一般理论研究的序幕。所以，与传统的三大模类相比，人们对 Gorenstien 投射模、内射模和平坦模的研究尚处于起步阶段。围绕同调维数这一不变量对三大模类进行同调性质的刻画是很有意义的，这也是该文进一步研究的思路和方向。参考文献（References）1杨强，赵仁育.Gorenstein（m，n）-内射模 J.山东大学学报（理学版），2020，55（12）：76-80.2黄云涛，宋伟灵.Gorenstein 投射模的张量积 J.南京大学学报（数学半年刊），2020，37（1）：83-88.3常会敏.相对 Gorenstein 投射模（英文）J.数学进展，2017，46（5）：717-728.4ANDERSON F W，FULLER K R.Rings and categories of modulesM.New York：Springer，1974.5李冠戬.模的同调和 Gorenstein 同调性质 D.合肥：中国科学技术大学，2019.6汪明义.代数学中的 Frobenius 结构 M.北京：科学出版社，2005.7ENOCHS E.Injective and flat covers，envelops and resolventsJ.Israel Journal of Mathmatics，1981，39：189-209.8HOLM H.Gorenstein homological dimensionsJ.Journal of Pure and Applied Algebra，2004，189（1/3）：167-193.（责任编辑：胡燕梅）28