历法的由来和星期的推算.doc

历法的由来
古人把地球绕太阳一周为一“年”，年与年之间，非常容易界定，只要观察两个相邻年中出现白天最短的日期之间的间隔数就可以了。古人很早就发现，这个日期数为365天左右，即1年里应有365天。但“年”这个单位太大，不好用，“天”虽然很方便，但又太小，于是想办法在“年”与“天”中加一个计量单位。这就是所谓的“历法”。
　　在两河流域，古人发现，在多数的年份里，月亮大约有12个盈亏，少数年份有13个的，故将1年粗粗地定为12个“月”。
　　观察发现，月亮绕地球一周的周期为29.5天，为了取整，于是定大月为30天，小月29天，12个月共有354天，这样已经接近1年的365天了。
　　但这样计算下来，比标准回归年少约11天，平均三年左右少一个月。为了符合“一年有365天”这一事实，故每三年左右加一个月（闰月）。长期观测证明，这一方法仍然不够精确（用着用着就出现观测误差了），故又将“3年1闰”改为更精确的“19年7闰”。月亮又称“太阴”，故又称“阴历”，也称“农历”。
　　这样，在没有现代钟表等计时工具的情况下，古人借助于自然现象，制订出了自己的历法。
　　阴历的优点是：每月的15日必定是月圆之日。
　　公元前4326年，在古埃及诞生了最早的太阳历。他们发现地球绕太阳一周是365天多一点点。根据尼罗河水泛滥的规律，他们把一年分成3季，再分成12个月，每月30天，余下的5天做为节日。公元前1世纪前后，欧洲人参照埃及的太阳历，制订自己的历法。他们也把1年分为12个月，每个小月30天，大月31天，这样就不再有5天的剩余。故1年中就有7个小月和5个大月。后者分别为1、3、5、10、12月。7X30+5X31=365。这就是最初的阳历。
　　罗马共和时期，儒略凯撒主政，创立了丰功伟绩。他死于7月，后继者将7月改为大月，从2月的30天中抽取1天，变成了29天。7月命名为JULY，这就是所谓的“儒略历”。罗马帝国时期，奥古斯都大帝出生在8月，又下令将8月改成大月，也从2月份中抽取1天，这样2月份就只剩下28天。8月称为AUGST，这样8月和7月就各有31天。4X30+28+7X31=365
　　比较起来，阳历的“月”比阴历的“月”更加精确和方便。
　　后来，更精确的观测表明，地球绕太阳一周的时间为365.2422天，这样，无论上下是阳历和阴历，都会有误差（二者皆以365天为一年）。对阳历而言，平均每4年便会少约1天，（0.2422X4=0.9688，约等于1）。在以后的几百年里，由于这种误差的存在，造成了许多不便，如时值严冬，历法上却是6月。到了16世纪，这种累积的误差已经有375天之多，已经超过了1个回归年。于是阳历又进行了一次变动，规定每4年里有1个闰年（leap year），将这一天加在天数最少的2月，故闰年的2月有29天。这称为“格里高历”历，已经接近目前使用的历法。在实际操作中，为了方便，规定：凡是能被4除尽的年份，皆为闰年。如1988，1992，1996等皆为闰年。
　　由于将0.9688当做1近似处理，阳历还是有误差的（365与365.2422之差）。由于0.2422X400~97，故实际上每400年中应有97个闰年才对，而按“4年1闰”的计算法，400年中有100个闰年，又会比97个闰年多出来3个闰年，又会与实际观测的天象不符。于是现代的阳历规定，年份能被100除尽的的闰年仍按平年计算，但能被400除尽的也算闰年，如公元2000年、2400年和2800年，都可被400除尽，亦算闰年。这样，“400年97闰”的现代历法终于确定下来了。
　　阳历的优点是：太阳经过赤道、北回归线、赤道、南回归线时，基本上对应着固定的日期，即春分、夏至、秋分和冬至，大约分别是3月22日、6月22日、9月22日和12月22日；春分和秋分时昼夜等长，夏至时白昼最长，冬至时黑夜最长。
　　阳历和阴历的由来
　　公历（阳历）(格里历)
　　公历，即格里历，现行国际通行的历法，属于阳历的一种，通称阳历。一年365天，划分为12个月。是教宗格里高利13世在公元1582年改革儒略历制定的历法，儒略历计算的每天大约相差11分14秒，当时儒略历和地球实际位置的误差已达14天，格里历将误差纠正，确定所有整数世纪年除了可被400整除的外一律不设闰年，理论上可以达到两万年内误差不超过一天，但由于地球自转的变化，实际到公元4909年误差就可达一天。由于新历法是教皇颁布的，新教国家予以抵制，直到18世纪，英国才采纳格里历；伊斯兰教国家仍然使用伊斯兰历；佛教国家采纳佛教历，纪元使用佛教纪元，即公元2000年为佛教纪元佛祖诞辰2544年。
　　阴历(月亮历)
　　阴历，是根据月相圆缺变化的周期（即朔望月）来制订的。因为古人称月亮为太阴，所以又有太阴历、月亮历之称，是纯粹的阴历，我国使用"农历"，一般人叫它"阴历"，那是不对的。农历不是一种纯粹的阴历，而是"阴阳历"。
　　阴历把月亮圆缺循环一次的时间算做一个月（29·59059天），12个月算做一年。然而月亮圆缺循环一次--一个朔望月，是29天12时44分3秒，比29天多，又比30天少。为方便，阴历把月份分成大月和小月两种，逢单的月是大月30天，逢双的月是小月29天，一年共是354天。
　　实际上，一个朔望月并不正好等于一个大月和一个小月的平均数--29天半，而是比29天半多44分2.8秒。所以12个朔望月实际上要比354天多8小时48分34秒，30年就要多出11天。因此，阴历30年中就要安插11年闰年，每逢闰年就在12个月多加一天。阴历的闰年是355天。这样，阴历每30年中有19年354天，11年355天，平均一年的长度是354天8小时48分。它的一年比回归年差不多短了11天。3年就短一个多月，17年就要短6个多月了。所以使用这种历时，新年不一定在冬天过，它可以在春天过，也可以在夏天或秋天过。它的惟一好处就是阴历上的每一个日期都可以知道月亮的形状。
　　阴历作为一种历法，由于它与农业生产和人们的日常生活不相协调，所以当今世界上除了几个伊斯兰教国家因为宗教上的原因仍然使用外，其他国家一般已经废弃不用了。
　　世界上其他历法还有：儒略历、阴阳历、希腊历、回历、伊斯兰历、太初历、戊寅之历、授时历等

星期的推算
如何计算某一天是星期几? 
—— 蔡勒（Zeller）公式 
历史上的某一天是星期几？未来的某一天是星期几？关于这个问题，有很多计算公式（两个通用计算公式和一些分段计算公式），其中最著名的是蔡勒（Zeller）公式。即w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 
公式中的符号含义如下，w：星期；c：世纪-1；y：年（两位数）；m：月（m大于等于3，小于等于14，即在蔡勒公式中，某年的1、2月要看作上一年的13、14月来计算，比如2003年1月1日要看作2002年的13月1日来计算）；d：日；[ ]代表取整，即只要整数部分。(C是世纪数减一，y是年份后两位，M是月份，d是日数。1月和2月要按上一年的13月和 14月来算，这时C和y均按上一年取值。) 
算出来的W除以7，余数是几就是星期几。如果余数是0，则为星期日。 
以2049年10月1日（100周年国庆）为例，用蔡勒（Zeller）公式进行计算，过程如下： 
蔡勒（Zeller）公式：w=y+[y/4]+[c/4]-2c+[26(m+1)/10]+d-1 
=49+[49/4]+[20/4]-2×20+[26× (10+1)/10]+1-1 
=49+[12.25]+5-40+[28.6] 
=49+12+5-40+28 
=54 (除以7余5) 
即2049年10月1日（100周年国庆）是星期5。 
你的生日（出生时、今年、明年）是星期几？不妨试一试。 
不过，以上公式只适合于1582年10月15日之后的情形（当时的罗马教皇将恺撒大帝制订的儒略历修改成格里历，即今天使用的公历）。 
过程的推导:(对推理不感兴趣的可略过不看) 
星期制度是一种有古老传统的制度。据说因为《圣经·创世纪》中规定上帝用了六 
天时间创世纪，第七天休息，所以人们也就以七天为一个周期来安排自己的工作和生 
活，而星期日是休息日。从实际的角度来讲，以七天为一个周期，长短也比较合适。所 
以尽管中国的传统工作周期是十天（比如王勃《滕王阁序》中说的“十旬休暇”，即是 
指官员的工作每十日为一个周期，第十日休假），但后来也采取了西方的星期制度。 
在日常生活中，我们常常遇到要知道某一天是星期几的问题。有时候，我们还想知 
道历史上某一天是星期几。通常，解决这个方法的有效办法是看日历，但是我们总不会 
随时随身带着日历，更不可能随时随身带着几千年的万年历。假如是想在计算机编程中 
计算某一天是星期几，预先把一本万年历存进去就更不现实了。这时候是不是有办法通 
过什么公式，从年月日推出这一天是星期几呢？ 
答案是肯定的。其实我们也常常在这样做。我们先举一个简单的例子。比如，知道 
了2004年5月1日是星期六，那么2004年5月31日“世界无烟日”是星期几就不难推算出 
来。我们可以掰着指头从1日数到31日，同时数星期，最后可以数出5月31日是星期一。 
其实运用数学计算，可以不用掰指头。我们知道星期是七天一轮回的，所以5月1日是星 
期六，七天之后的5月8日也是星期六。在日期上，8-1=7，正是7的倍数。同样，5月15 
日、5月22日和5月29日也是星期六，它们的日期和5月1日的差值分别是14、21和28，也 
都是7的倍数。那么5月31日呢？31-1=30，虽然不是7的倍数，但是31除以7，余数为2， 
这就是说，5月31日的星期，是在5月1日的星期之后两天。星期六之后两天正是星期一。 
这个简单的计算告诉我们计算星期的一个基本思路：首先，先要知道在想算的日子 
之前的一个确定的日子是星期几，拿这一天做为推算的标准，也就是相当于一个计算的 
“原点”。其次，知道想算的日子和这个确定的日子之间相差多少天，用7除这个日期 
的差值，余数就表示想算的日子的星期在确定的日子的星期之后多少天。如果余数是 
0，就表示这两天的星期相同。显然，如果把这个作为“原点”的日子选为星期日，那 
么余数正好就等于星期几，这样计算就更方便了。 
但是直接计算两天之间的天数，还是不免繁琐。比如1982年7月29日和2004年5月 
1日之间相隔7947天，就不是一下子能算出来的。它包括三段时间：一，1982年7月29 
日以后这一年的剩余天数；二，1983-2003这二十一个整年的全部天数；三，从2004年 
元旦到5月1日经过的天数。第二段比较好算，它等于21*365+5=7670天，之所以要加 
5，是因为这段时间内有5个闰年。第一段和第三段就比较麻烦了，比如第三段，需要把 
5月之前的四个月的天数累加起来，再加上日期值，即31+29+31+30+1=122天。同理，第 
一段需要把7月之后的五个月的天数累加起来，再加上7月剩下的天数，一共是155天。 
所以总共的相隔天数是122+7670+155=7947天。 
仔细想想，如果把“原点”日子的日期选为12月31日，那么第一段时间也就是一个 
整年，这样一来，第一段时间和第二段时间就可以合并计算，整年的总数正好相当于两 
个日子的年份差值减一。如果进一步把“原点”日子选为公元前1年12月31日（或者天文 
学家所使用的公元0年12月31日），这个整年的总数就正好是想算的日子的年份减一。这 
样简化之后，就只须计算两段时间：一，这么多整年的总天数；二，想算的日子是这一 
年的第几天。巧的是，按照公历的年月设置，这样反推回去，公元前1年12月31日正好是 
星期日，也就是说，这样算出来的总天数除以7的余数正好是星期几。那么现在的问题就 
只有一个：这么多整年里面有多少闰年。这就需要了解公历的置闰规则了。 
我们知道，公历的平年是365天，闰年是366天。置闰的方法是能被4整除的年份在 
2月加一天，但能被100整除的不闰，能被400整除的又闰。因此，像1600、2000、2400 
年都是闰年，而1700、1800、1900、2100年都是平年。公元前1年，按公历也是闰年。 
因此，对于从公元前1年（或公元0年）12月31日到某一日子的年份Y之间的所有整年 
中的闰年数，就等于 
[(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]， 
[...]表示只取整数部分。第一项表示需要加上被4整除的年份数，第二项表示需要去掉 
被100整除的年份数，第三项表示需要再加上被400整除的年份数。之所以Y要减一，这 
样，我们就得到了第一个计算某一天是星期几的公式： 
W = (Y-1)*365 + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (1) 
其中D是这个日子在这一年中的累积天数。算出来的W就是公元前1年（或公元0年）12月 
31日到这一天之间的间隔日数。把W用7除，余数是几，这一天就是星期几。比如我们来 
算2004年5月1日： 
W = (2004-1)*365 + [(2004-1)/4] - [(2004-1)/100] + [(2004-1)/400] + 
(31+29+31+30+1) 
= 731702， 
731702 / 7 = 104528……6，余数为六，说明这一天是星期六。这和事实是符合的。 
上面的公式(1)虽然很准确，但是计算出来的数字太大了，使用起来很不方便。仔 
细想想，其实这个间隔天数W的用数仅仅是为了得到它除以7之后的余数。这启发我们是 
不是可以简化这个W值，只要找一个和它余数相同的较小的数来代替，用数论上的术语 
来说，就是找一个和它同余的较小的正整数，照样可以计算出准确的星期数。 
显然，W这么大的原因是因为公式中的第一项(Y-1)*365太大了。其实， 
(Y-1)*365 = (Y-1) * (364+1) 
= (Y-1) * (7*52+1) 
= 52 * (Y-1) * 7 + (Y-1)， 
这个结果的第一项是一个7的倍数，除以7余数为0，因此(Y-1)*365除以7的余数其实就 
等于Y-1除以7的余数。这个关系可以表示为： 
(Y-1)*365 ≡ Y-1 (mod 7)． 
其中，≡是数论中表示同余的符号，mod 7的意思是指在用7作模数（也就是除数）的情 
况下≡号两边的数是同余的。因此，完全可以用(Y-1)代替(Y-1)*365，这样我们就得到 
了那个著名的、也是最常见到的计算星期几的公式： 
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + D． (2) 
这个公式虽然好用多了，但还不是最好用的公式，因为累积天数D的计算也比较麻 
烦。是不是可以用月份数和日期直接计算呢？答案也是肯定的。我们不妨来观察一下各 
个月的日数，列表如下： 
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 
-------------------------------------------------------------------------- 
天 数： 31 28(29) 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 
如果把这个天数都减去28（=4*7），不影响W除以7的余数值。这样我们就得到另一张 
表： 
月 份：1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 
------------------------------------------------------------------------ 
剩余天数： 3 0(1) 3 2 3 2 3 3 2 3 2 3 
平年累积： 3 3 6 8 11 13 16 19 21 24 26 29 
闰年累积： 3 4 7 9 12 14 17 20 22 25 27 30 
仔细观察的话，我们会发现除去1月和2月，3月到7月这五个月的剩余天数值是3,2,3,2, 
3；8月到12月这五个月的天数值也是3,2,3,2,3，正好是一个重复。相应的累积天数中， 
后一月的累积天数和前一月的累积天数之差减去28就是这个重复。正是因为这种规律的 
存在，平年和闰年的累积天数可以用数学公式很方便地表达： 
╭ d； （当M＝1） 
D = { 31 + d； （当M＝2） (3) 
╰ [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d + i． （当M≥3） 
其中[...]仍表示只取整数部分；M和d分别是想算的日子的月份和日数；平年i=0，闰年 
i=1。对于M≥3的表达式需要说明一下：[13*(M+1)/5]-7算出来的就是上面第二个表中的 
平年累积值，再加上(M-1)*28就是想算的日子的月份之前的所有月份的总天数。这是一 
个很巧妙的办法，利用取整运算来实现3,2,3,2,3的循环。比如，对2004年5月1日，有： 
D = [ 13 * (5+1) / 5 ] - 7 + (5-1) * 28 + 1 + 1 
= 122， 
这正是5月1日在2004年的累积天数。 
假如，我们再变通一下，把1月和2月当成是上一年的“13月”和“14月”，不仅仍 
然符合这个公式，而且因为这样一来，闰日成了上一“年”（一共有14个月）的最后一 
天，成了d的一部分，于是平闰年的影响也去掉了，公式就简化成： 
D = [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 + (M-1) * 28 + d． （3≤M≤14） (4) 
上面计算星期几的公式，也就可以进一步简化成： 
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] - 7 
+ (M-1) * 28 + d． 
因为其中的-7和(M-1)*28两项都可以被7整除，所以去掉这两项，W除以7的余数不变， 
公式变成： 
W = (Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] + [ 13 * (M+1) / 5 ] + d． 
(5) 
当然，要注意1月和2月已经被当成了上一年的13月和14月，因此在计算1月和2月的日子 
的星期时，除了M要按13或14算，年份Y也要减一。比如，2004年1月1日是星期四，用这 
个公式来算，有： 
W = (2003-1) + [(2003-1)/4] - [(2003-1)/100] + [(2003-1)/400] + [13*(13+1)/5] 
+ 1 
= 2002 + 500 - 20 + 5 + 36 + 1 
= 2524； 
2524 / 7 = 360……4．这和实际是一致的。 
公式(5)已经是从年、月、日来算星期几的公式了，但它还不是最简练的，对于年 
份的处理还有改进的方法。我们先来用这个公式算出每个世纪第一年3月1日的星期，列 
表如下： 
年份： 1(401,801,…,2001) 101(501,901,…,2101) 
-------------------------------------------------------------------- 
星期： 4 2 
============================================== 
年份：201(601,1001,…,2201) 301(701,1101,…,2301) 
-------------------------------------------------------------------- 
星期： 0 5 
可以看出，每隔四个世纪，这个星期就重复一次。假如我们把301(701,1101,…,2301) 
年3月1日的星期数看成是-2（按数论中对余数的定义，-2和5除以7的余数相同，所以可 
以做这样的变换），那么这个重复序列正好就是一个4,2,0,-2的等差数列。据此，我们 
可以得到下面的计算每个世纪第一年3月1日的星期的公式： 
W = (4 - C mod 4) * 2 - 4． (6) 
式中，C是该世纪的世纪数减一，mod表示取模运算，即求余数。比如，对于2001年3月 
1日，C=20，则： 
W = (4 - 20 mod 4) * 2 - 4 
= 8 - 4 
= 4． 
把公式(6)代入公式(5)，经过变换，可得： 
(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400] ≡ (4 - C mod 4) * 2 - 1 
(mod 7)． (7) 
因此，公式(5)中的(Y-1) + [(Y-1)/4] - [(Y-1)/100] + [(Y-1)/400]这四项，在计算 
每个世纪第一年的日期的星期时，可以用(4 - C mod 4) * 2 - 1来代替。这个公式写 
出来就是： 
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + [13 * (M+1) / 5] + d． (8) 
有了计算每个世纪第一年的日期星期的公式，计算这个世纪其他各年的日期星期的公式 
就很容易得到了。因为在一个世纪里，末尾为00的年份是最后一年，因此就用不着再考 
虑“一百年不闰，四百年又闰”的规则，只须考虑“四年一闰”的规则。仿照由公式(1) 
简化为公式(2)的方法，我们很容易就可以从式(8)得到一个比公式(5)更简单的计算任意 
一天是星期几的公式： 
W = (4 - C mod 4) * 2 - 1 + (y-1) + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d． (9) 
式中，y是年份的后两位数字。 
如果再考虑到取模运算不是四则运算，我们还可以把(4 - C mod 4) * 2进一步改写 
成只含四则运算的表达式。因为世纪数减一C除以4的商数q和余数r之间有如下关系： 
4q + r = C， 
其中r即是 C mod 4，因此，有： 
r = C - 4q 
= C - 4 * [C/4]． (10) 
则 
(4 - C mod 4) * 2 ＝ (4 - C + 4 * [C/4]) * 2 
＝ 8 - 2C + 8 * [C/4] 
≡ [C/4] - 2C + 1 (mod 7)． (11) 
把式(11)代入(9)，得到： 
W = [C/4] - 2C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (12) 
这个公式由世纪数减一、年份末两位、月份和日数即可算出W，再除以7，得到的余数是 
几就表示这一天是星期几，唯一需要变通的是要把1月和2月当成上一年的13月和14月， 
C和y都按上一年的年份取值。因此，人们普遍认为这是计算任意一天是星期几的最好的 
公式。这个公式最早是由德国数学家克里斯蒂安·蔡勒（Christian Zeller, 1822- 
1899）在1886年推导出的，因此通称为蔡勒公式（Zeller’s Formula）。为方便口算， 
式中的[13 * (M+1) / 5]也往往写成[26 * (M+1) / 10]。 
现在仍然让我们来算2004年5月1日的星期，显然C=20，y=4，M=5，d=1，代入蔡勒 
公式，有： 
W = [20/4] - 40 + 4 + 1 + [13 * (5+1) / 5] + 1 - 1 
= -15． 
注意负数不能按习惯的余数的概念求余数，只能按数论中的余数的定义求余。为了方便 
计算，我们可以给它加上一个7的整数倍，使它变为一个正数，比如加上70，得到55。 
再除以7，余6，说明这一天是星期六。这和实际是一致的，也和公式(2)计算所得的结 
果一致。 
最后需要说明的是，上面的公式都是基于公历（格里高利历）的置闰规则来考虑 
的。对于儒略历，蔡勒也推出了相应的公式是： 
W = 5 - C + y + [y/4] + [13 * (M+1) / 5] + d - 1． (13) 
这样，我们终于一劳永逸地解决了不查日历计算任何一天是星期几的问题。