第13章球函数.doc

第十三章 球函数在球坐标系下，三类问题关于空间部分变量分离成l阶球贝塞尔方程和l阶球函数方程 对于l阶球贝塞尔方程: 其解为：而球函数方程可进一步分离变量 44. 轴对称球函数当所考虑的问题具有轴对称时，选取对称轴作为极轴z,则所考虑的问题和无关。这时球函数退化为l阶勒让德方程的解，即 其解退化为l 阶多项式称为勒让德多项式，记为。44.1 勒让德多项式 幂指数形式。l阶勒让德方程的解为当l=2k时，退化为为最高指数的多项式；l=2k+1时，退化为为最高指数的多项式。即无论l 为偶数还是奇数总有一特解为勒让德多项式若调整勒让德多项式（无论l 为偶数还是奇数）最高次幂xl的系数，则利用递推关系，可将其余系数一一指出： ，则勒让德多项式为，前几个勒让德多项式为：P0(x)=1, P1(x)=x, , , 勒让德多项式的微分形式 勒让德多项式的积分形式，容易证明，44.2 勒让德多项式的性质 奇数阶勒让德多项式只含有x的奇次幂项，偶数阶勒让德多项式只含有x的偶次幂项 不同的勒让德多项式在区间（-1，+1）上正交，而。 勒让德多项式的模Nl 勒让德多项式是完备的，可作为基本函数族进行广义傅里叶展开 母函数与递推公式由于勒让德多项式乘以R(r)是具有轴对称性，角在均有意义的稳定场的特解。因此，在半径为R的球的北极置的单位正电荷的电势应为稳定场的解，于是有。因此称为勒让德多项式的母函数。利用函数可推出 练习 P344.345. 一般的球函数球函数方程： 对于不具有对称性的问题必须求解缔合勒让德方程。45.1 缔合勒让德方程将缔合勒让德方程作代换，则代入缔合勒让德方程得，应用求导的莱布尼兹规则：对勒让德方程，求导m次，其结果是：比较两方程有 是缔合勒让德方程满足自然边界条件（x=1有限）的解，即缔合勒让德方程和自然边界条件构成本征值问题，其本征值为l(l+1) (l=0,1,2)，其相应的本征函数称为缔合勒让德球函数，记为 ，又由于是l次多项式，则m的最大取值为l，即m=0,1,2l。根据勒让德多项式的微分形式可得缔合勒让德函数的微分形式，和勒让德多项式类似。缔合勒让德函数也有积分形式。45.2 缔合勒让德函数的性质 同一m而不同阶l的缔合勒让德函数在区间（-1，+1）上正交 缔合勒让德函数的模 同一m而不同阶l的缔合勒让德函数是正交完备的，可作为基本函数簇对f(x)进行广义傅里叶级数展开 缔合勒让德函数的递推公式利用勒让德多项式的递推公式，对x求导m次有，利用勒让德多项式的母函数(ra）求解解：球外部分的解为：由边界条件有则，