自主学习01教材内容 第九章 散射.doc

自主学习01 教材内容
第九章 散射
知识框架 重点难点 第一节 第二节 第三节 第四节
本章习题 本章自测
知识框架

散
射

射

散射基本描述物理量

全同粒子散射

处理散射的基本方法
海尔曼-费曼定理

波恩近似法

分波法

相移

散射振幅

散射截面

本章目标：通过学习，理解散射截面和相移的物理含义，掌握处理散射问题中常用的分波法和波恩近似法，并能熟练运用这些方法处理一些简单的势场散射问题，了解全同粒子散射中的一些基本性质。
重点难点
1、掌握求解散射截面和相移的分波法和波恩近似法
2、能应用分波法、波恩近似法于一些势场散射问题的求解
3、了解全同粒子的散射
9.1 散射现象的一般描述
本节目标：掌握散射截面与振幅的物理意义，能从基本关系推导得出散射振幅
重点难点：1、散射振幅的物理意义
2、明确散射振幅与截面的关系

本节内容：
在近代物理研究中，研究一个粒子或多个粒子与散射中心作用是很重要的。原子和分子物理，原子核物理以及粒子物理的建立和发展，都离不开散射实验及其理论分析。著名的Rutherford的α粒子对原子的散射实验，肯定了原子有一个核，即原子核，从此揭开了人类研究原子结构的新领域。50年代后，高能电子散射对研究原子核及核子的电荷分布都取得了重要成果。 如用散射资料推出核力的一些知识，如强子结构，原子核和基本粒子的电荷分布等等，甚至给出核子或核子对处于原子核某状态的几率。
在束缚态问题中，我们是解本征值问题，以期与实验比较。而在散射问题中，能量是连续的，初始能量是我们给定的（还有极化），这时有兴趣的问题是粒子分布（即散射到各个方向的强度）。所以散射问题（特别是弹性散射），主要关心的是散射强度，即关心远处的波函数。
1.散射截面定义：
用散射截面来描述粒子被一力场或靶散射作用是很方便的。反之，知道散射截面的性质，可以推出力场的许多性质。而我们对原子核和基本粒子性质，很多是这样推出的。这也是量子力学中的逆问题。
一束不宽的（与散射区域比较），具有一定能量的粒子，轰击到一个靶上（当然与散射中心尺度比较起来，是宽的）。为简单起见，达到散射中心时，可用一平面波描述。设：入射粒子通量为（单位时间，通过与靶相对静止的垂直于传播方向上的单位面积的入射粒子数）（对于单粒子，显然即为几率流密度）。

这时，单位时间，经散射而到达方向中的粒子数　
                                                   （1）
即                                          （2）

比例常数一般是的函数；如入射方向为轴（且束和靶都不极化），仅为的函数，它的量纲为，即面积量纲
                                （3）

散射截面定义：在单位时间内，单个散射中心将入射粒子散射到方向上的单位立体角中的粒子数与入射粒子的相对通量（几率流密度）之比。
                                                 （4）

而散射总截面
                                             （5）

对于固定散射中心，实验室坐标系和质心坐标系是一样的。但如果两个粒子散射，则不一样，理论上处理问题一般在质心坐标系（较简单），而实验上常常靶是静止的。所以在比较时，需要将这两个坐标系进行换算。
2．散射振幅：
我们现在讨论一种稳定情况，即入射束的粒子不断入射，长时间后体系达到稳定状态的情况。
考虑一个质量为的粒子被一位势散射（当，趋向0比快）。感兴趣的是满足这一条件的物理问题，至于库仑散射这里不讨论。
我们知道，薛定方程

                            （6）
其定态解为

                                           （7）

（如是两粒子散射，则为约化质量，，为实验室系的初动能，为入射粒子质量。）
当粒子以一定动量入射，经位势散射后，在很大处，解的渐近形式（弹性散射）

                         （8）

这时，被称为定态散射波函数。
事实上，将其代入的本征方程，在很大时，保留次幂

保留到，

（比快）

即                      （保留到）
我们称为散射振幅（为散射波）。
当入射粒子沿方向入射，则散射与无关（束、靶都是非极化），即                
下面我们给出的物理意义：
对于渐近解的通量（对单粒子，即为几率流密度）

应注意，我们是在很远地方测量（），而且测量始终是在一个小的，但是有一定大小的立体角进行。因此，上式的一些项的贡献可表为

当r很大时，振荡很快，而是一光滑函数，这一积分比快。所以包含这一因子的项比快。
可以证明：在远处，对于渐近解的几率流密度
      （，即方向）

而当无位势时，，无散射，仅有沿方向的平面波。大处，在渐近区域对径向通量没贡献。
在远处，单位时间散射到方向上立体角中的几率为
     （为所张立体角对应的面积）

于是           

所以， 散射振幅的模的平方，即为散射微分截面。而散射总截面为 

现在问题是要从 出发，求具有很远处的渐近形式为 的解，从而获得 。
9.2分波法
本节目标：掌握分波法的处理思路，理解光学定理，明确散射截面与相移的关系
重点难点：分波法的处理思路，如何灵活运用关学定理处理问题
本节内容：
本节将给出在中心力作用下粒子散射截面的一个普遍计算方法-分波法。从原则上讲，分波法是一个严格的处理方法，但在实际的应用中，不可能把一切分波都考虑在内，而只能根据具体情况考虑一些重要的分波，因而仍然是一种近似处理。当位势是有心势时，粒子在中心力场作用下，角动量是运动常数（散射前后）。因此，入射波和被散射的波可由角动量本征态叠加而成，而每一个波（本征态）分别被位势散射，彼此互不相干。
1．散射截面和相移
当入射粒子方向取为轴，则入射（无自旋）是对对称，即与无关，而相互作用势是各向同性。因此，经作用后也与无关
                  （在方向）
代入方程得

    ，   
其渐近解，在时有

 所以，在有心势存在时，具有确定（在方向）的解为

当位势不存在时，解为

与比较，入射波应相同
        （球面入射波系数应同）

     显然，对每一个分波，它们都是一个入射球面波和一个出射球面波（同强度）的叠加，但定态散射解中的出射波和平面波的出射波差－相因子。
这表明：散射位势的效应是使每一个出射分波有一相移，相应于相因子为。
因              
所以，散射振幅

散射微分截面

其中每一项代表相应的角动量为的分波对散射截面的贡献

当  （），达极大。
与散射振幅比较得

这称为光学定理。
2．一些讨论
1．分波法的适用性
a. 中心力场
b. 不为的数要少，即或对的收敛很快才行。
若相互作用力程为，处于分波l的粒子，其运动区域

分波l的粒子运动区域r应满足。
        如果，则表明，这一分波不能进入相互作用的力程内，也即在力程之外，所以很小时，仅，即；或很小，即低能散射。
2．相移符号：
自由粒子为，有位势时为前者波节在，后者。排斥势是将粒子向外推，所以应大，即。而对吸引势。
例1：方位阱散射（一维）

在a点连续

所以在给定下，仅依赖于能量（或）
例2：钢球散射

有解  ，

其渐近解   
 而 ，      
        ， 

由连续性，得

ⅰ 低能极限，利用

 （注意，）

由于    仅 分波的相移重要。

    即    （排斥力）
总截面        
角分布各向同性，总截面与钢球表面积相等。
ⅱ 高能极限（）

（因被散射的分波有条件，所以高于的，对总散射截面无贡献，所以求和至附近的整数）

当ka很大，则

当为偶   
当为奇   

 当        
9.3波恩近似法
本节目标：运用波恩近似求解散射截面，处理简单的散射问题
重点难点：波恩近似法的处理思路
本节内容：
现在讨论如何近似求解，以至。
假设产生一个散射（对自由粒子）
根据Fermi’s Golden Rule，从开始为动量本征态跃迁到末态动量本征态的跃迁率为

由于平面波是取为  （）

因此           

即密度为   （在空间）

于是   

对于跃迁到中的跃迁率为

而入射粒子通量为（ 入射波函数为 ）
所以，散射微分截面

称为散射振幅的一级玻恩近似。
（这一迭代可继续进行下

   ）

当为有心势

  令        （转移波矢）

则      （计算时，取方向为轴）

     若为有心势

                        为方向

由于一级玻恩近似是处理位势作为自由粒子哈密顿量的一个微扰，所以要求粒子动能比位能大，即要求高能。
例：注意到，不能利用Born近似处理库仑势，因上述表示的积分不能积出，但能用于Screened Coulomb potential

这近似描述电子入射到多电子的原子，这些电子的电荷分布屏蔽了原子核的作用。
（长度的近似值 ）

所以，散射微分截面

高能时，         
则                

 由       

这时意味着，即很大，也就是相当于大多数的散射是在原子核附近发生。这时位势最强，几乎无屏蔽。（只要上述公式中改成，就是Rutherford用经典力学推出的Rutherford散射微分截面公式。）
9.4全同粒子的散射
本节目标：了解对称微分截面与反对称微分截面，掌握基本的全同粒子散射的知识
重点难点：全同粒子散射特性
本节内容：
在讨论自旋一章时，我们讨论了全同粒子的对称性。我们知道，对于两个全同费米子（自旋为半整数）的波函数，必须反对称（自旋，坐标交换）而对于二个全同玻色子体系波函数必须对称。
1．对称微分截面和反对称微分截面
当二个具有自旋为的粒子，如在总自旋表象中，总自旋波函数的对称性为

因此，二个全同粒子的空间波函数的对称性取决于它们总自旋的奇、偶性，也就是说
                          即为偶。
即描述二全同粒子散射的空间波函数必须是对称或反对称。（这时，由于自旋波函数已按对称，反对称分类）
在质心坐标系中，，所以交换粒子，相应于，即

对于沿轴入射的三态散射波函数

（因是相对通量，仍为）
即散射微分截面为

  （空间对称，总自旋为偶）

 （空间反对称，总自旋为奇）

具体对分波法而言

而当，

(由于全同粒子交换不变性，所以应对物理量的结果不变。所以导致微分截面求和要么为奇，要么为偶，使求和的平方在下不变。)
2．具有自旋为的粒子非极化散射
对于自旋为的粒子，它的自旋态可为，所以有个态。因此，这两个全同粒子共有个态，。
如按对称性来分类：
   有个是对称的。
 而  可组成个态，
显然，个是对称的，个是反对称的。

所以，对称态有，反对称态有。
当二个这样的全同粒子发生散射时，由于是非极化的，所以：
①      取那一种态的机会都一样，
②      由于非极化散射，则散射截面与总自旋的分量无关。因此，为半整数时，散射微分截面为

因自旋对称的几率为  

自旋反对称的几率为

当为整数时，散射微分截面为

本章练习
　6.1 粒子受到势能为的场的散射，求分波的微分散射截面。
6.2 慢速粒子受到势能为的场的散射，若，求散射截面。
6.3 只考虑分波，求慢速粒子受到势能的场散射时的散射截面。
6.4 用玻恩近似法求粒子在势能 场中散射时的散射截面。
6.5 用玻恩近似法求粒子在势能场中散射的微分散射截面，式中。
6.6 用玻恩近似法求在势能场中散射时的微分散射截面，并讨论在什么条件下，可以应用玻恩近似性。
本章自测
一、单项选择题（总分20，每题4分）
  1、题目：在势垒中玻恩近似法的适用条件是（B、C）
    A.低能散射   B. 高能散射 C.入射粒子能量很高 D. 入射粒子能量很低
  2、题目：分波法适用的条件是（A、D）
    A.低能散射   B. 高能散射 C.入射粒子能量很高 D. 入射粒子能量很低
  3、下列哪个描述散射（A、B）
    A. Breit-Wigner近似              B. Lippman-Schwinger方程
C.Thomas-Fermi近似              D. Hellman-Feynman定理
  4、在核子-核子散射中，以下能区不利于研究弹性散射（C、D）
    A. 0-300MeV B. 300MeV-500MeV  C. 500MeV-800MeV  D. 800MeV以上
  5、对库仑散射描述正确的是（A、B、C、D）
    A.主要集中在小角度(附近)    B.截面与入射粒子能量平方成反比
C. Born近似条件不成立           D. 分波法处理不方便
二、判断题（总分20，每题4分）
  1、Born近似对低能散射可能有效。（对）
  2、Lippman-Schwinger方程按照微扰论作近似，就是Born近似（对）
  3、在质心系中，全同粒子的散射截面角是对称的，但不包括自旋为 的粒子。（错）
  4、通过散射，我们为了得到粒子的角分布，角关联，极化等，以及能量本征值。（错）
  5、在研究低能散射中，一种方便的方法把散射实验结果与某种量子力学算符联系起来：T矩阵方法。（对）
三、回答问题（或计算题）
  1、题目：什么是弹性碰撞，什么是非弹性碰撞？（10分）
   答案： 如果一粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能的交换，粒子内部状态有所并无改变，则称这种碰撞为弹性碰撞；（5分）若碰撞中粒子内部状态有所改变（例如原子被激发或电离），则称为非弹性碰撞。（5分）
  2、题目：什么是实验室系、质心系？它们是惯性系吗？为什么散射问题中采用这两个坐标系？ （10分）
   答案：实验室坐标系是指坐标原点固定在实验室中某一点的坐标系。质心坐标系是指坐标原点固定在系统诸粒子的质心上的坐标系。它们都是惯性坐标系，散射问题的理论计算，以使用质心坐标系为宜，这是因为在质心坐标系中两粒子碰撞的问题可以归结为一个粒子在力场中散射的问题，但实际观测则在实验室中进行，因此在散射问题中采用了这两个坐标系。
3、题目：对低能粒子散射，设只考虑波和波，写出散射截面的一般形式。（12分）
答案：  （4分）
只考虑波和波，则只取，于是
（4分）
将，  代入上式，得
（4分）
其中 ，，。

  4、题目：证明光学定理： （12分）
   答案： 根据分波法基本公式
（4分）
易得
（4分）
因此
（4分）
此即光学定理。这个证明的局限性是仅适用于中心力散射问题。
5、题目：用玻恩近似法，求在下列势场中的散射微分截面：（16分，每小题4分）
(1) 
(2)        
(3)        
(4)         
答案 (1)先列出玻恩近似法的基本公式。根据理论，如果散射粒子所在的势场是，粒子质量是，粒子的波数是（因是弹性散射，在散射前后都用此文字表示，它与能量E的关系是）散射角度是，而表示以下参数：
                          (1)
则与散射方向对应的散射振幅用下述一维定积分计算
                   (2)
是为玻恩的散射振幅公式一般适用于高能量散射，若
代入(2)：

利用积分公式

于前一式，注意上下限为a和0。
                            (3)
微分截面：