第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理.doc

第四节 离散鞅的收敛定理设为一数列，为一闭区间，如果，则称该数列上穿一次。记于是，数列穿过一次，数列穿过两次，如此下去，数列穿过次，在这里都假设。定义1-4-1 的最大的称为数列上穿的次数，记为。若，则令。定理1-4-1 （上穿不等式）设为下鞅，则证明：令,则由定理1-3-2的推论1-3-2知也是下鞅。易见，若穿过一次，即，则即穿过一次。所以穿过的次数也是，且由在上定义的和由在上定义的相同。再令则 （1）是的函数，设，则当时，上式仍成立。 （2）又因为是有界停时，且，故由定理1-3-2知，从而 （3）由式（1）（2）（3）知由此得 又因为所以定理1-4-2 设为下鞅，满足条件记则存在可测的随机变量，满足 证明：令则。记为有理数全体，则 （习题1-4-1 证明此式）往证,令为上穿的次数，表示上穿的次数。显然单调非减，且。由上穿不等式所以 由此知 由上极限和下极限的定义知故.所以几乎处处存在。记则 由Fatou引理得注1-4-1 因为所以条件可以减弱为。推论1-4-1 设为非负上鞅，则证明：因为为上鞅，所以为下鞅，所以END定义1-4-2 为随机序列，称为一致可积的，如果关于一致成立。定理1-4-3 设是鞅（下鞅），且一致可积，则存在可积的随机变量，关于可测，使（） （）（）是鞅（下鞅），即对一切，都有证明：因为一致可积，所以当充分大时，对一致地有由此可知，。由定理1-4-2知，存在可测且可积的，使，。，因为由条件概率的定义知再由条件概率的定义和性质知，（习题1-4-1 证明下鞅的情形） END推论1-4-2 设为代数流，是可积的随机变量，令则（）一致可积 （），且证明：（）由马尔科夫不等式所以 对当时，对所取的，取充分大的，使时，所以充分大时，一致可积。（）因为，所以是鞅，又因为一致可积，由定理1-4-3知存在，使得，。往证. 因为所以对从而对，有所以上式对成立。由系法知，对，上式也成立。由条件概率的定义知.END定义1-4-3 称是反向子代数流，如果定义1-4-4 称为的反向鞅（反向上鞅或反向下鞅），如果（1）是可测的，且（2）对（相应的或）例：设Z为随机变量，是随机变量序列，且令 则是的反向鞅。显然设，则定理1-4-4 设为反向下鞅，则存在可测的随机变量，使证明：令为上穿的次数，为上穿的次数，显然因为 令，得 (1)记由式（1）知，。现在说明。事实上，于是有且有，满足，使所以故几乎处处存在，令，则是可测的。END定理1-4-5 设使反向下鞅，如果则有（1）一致可积。（2）存在可测且可积的随机变量，使证明：首先，是不增的。事实上，对所以存在使。往证一致可积。对，取，且，使 （1）又 若，由反向下鞅的性质，不等式（1）及不增的事实可知上式右边 （2）又因为所以当足够大时，关于一致地小，从而可取足够大，使于是一致可积。定理1-4-3知，使。END- 9 -