奥数环形跑道精讲.doc

行程问题之环形跑道精讲
行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：
这三个量是：
路程(s)、速度(v)、时间(t)
三个关系：
1. 简单行程： 路程 = 速度 × 时间
　　 2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间
　　 3. 追击问题： 路程差 = 速度差 × 时间
牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。环形跑道:同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长,背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长。
例 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。问：这个花圃的周长是多少米？
分析：这个三人行程的问题由两个相遇、一个追击组成，题目中所给的条件只有三个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。
第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、丙的路程和为（40+36）×3=228（米）
第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、丙两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228÷（38-36）=114（分钟）
第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程
　所以花圃周长为（40+38）×114=8892（米）
我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。

1、在一个圆形跑道上,甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,6分钟后两人相遇,再过4分钟甲到B点,又过8分钟两人再次相遇,甲、乙环形一周各需多少分钟？
解：
将全部路程看作单位1
第一次相遇后，再一次相遇，行驶的路程是1
那么相遇时间=4+8=12分钟
甲乙的速度和=1/12
也就是每分钟甲乙行驶全程的1/12
6分钟行驶全程的1/12×6=1/2
也就是说AB的距离是1/2
那么6+4=10分钟甲到达B，所以甲的速度（1/2）/10=1/20
甲环形一周需要1/（1/20）=20分钟
乙的速度=1/12-1/20=1/30
乙行驶全程需要1/（1/30）=30分钟
2、　　图上正方形ABCD是一条环形公路.已知汽车在AB上的速度是90千米/小时，在BC上的速度是120千米/小时，在CD上的速度是60千米/小时， 在DA上的速度是80千米/小时.从CD上一点P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在AB中点相遇.如果从PC中点M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB上一点N处相遇.求

　　解：两车同时出发至相遇，两车行驶的时间一样多.题中有两个"相遇"，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.
　　设汽车行驶CD所需时间是1.
　　根据"走同样距离，时间与速度成反比"，可得出
　　分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以24.这样，汽车行驶CD，BC，AB，AD所需时间分别是24，12，16，18.
　　从P点同时反向各发一辆车，它们在AB中点相遇.P→D→A与 P→C→B所用时间相等.
　　PC上所需时间-PD上所需时间
　　=DA所需时间-CB所需时间
　　=18-12
　　=6.
　　而（PC上所需时间+PD上所需时间）是CD上所需时间24.根据"和差"计算得
　　PC上所需时间是（24+6）÷2＝15，
　　PD上所需时间是24-15＝9.
　　现在两辆汽车从M点同时出发反向而行，M→P→D→A→N与M→C→B→N所用时间相等.M是PC中点.P→D→A→N与C→B→N时间相等，就有
　　BN上所需时间-AN上所需时间
　　=P→D→A所需时间-CB所需时间
　　=（9＋18）-12
　　= 15.
　　BN上所需时间+AN上所需时间=AB上所需时间
　　=16.
　　立即可求BN上所需时间是15.5，AN所需时间是0.5.
　　从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.

3、一个圆周长90厘米，3个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫A，B，C分别在这3个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

　　爬虫出发后多少时间第一次到达同一位置？
　　解：先考虑B与C这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差30厘米，每秒钟B能追上C（5-3）厘米0.
　　30÷（5-3）＝15（秒）.
　　因此15秒后B与C到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要
　　90÷（5-3）＝45（秒）.
　　B与C到达同一位置，出发后的秒数是
　　15，，105，150，195，……
　　再看看A与B什么时候到达同一位置.
　　第一次是出发后
　　30÷（10-5）=6（秒），
　　以后再要到达同一位置是A追上B一圈.需要
　　90÷（10-5）＝18（秒），
　　A与B到达同一位置，出发后的秒数是
　　6，24，42，，78，96，…
　　对照两行列出的秒数，就知道出发后60秒3只爬虫到达同一位置.
　　答：3只爬虫出发后60秒第一次爬到同一位置.
　　请思考， 3只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？
4、 绕湖一周是24千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以4千米/小时速度每走1小时后休息5分钟；小张以6千米/小时速度每走50分钟后休息10分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？
　　解：小张的速度是6千米/小时，50分钟走5千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：

　　12＋15＝27比24大，从表上可以看出，他们相遇在出发后2小时10分至3小时15分之间.
　　出发后2小时10分小张已走了
　　此时两人相距
　　24-（8＋11）=5（千米）.
　　由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这5千米所需时间是
　　5÷（4＋6）＝0.5（小时）.
　　2小时10分再加上半小时是2小时40分.
　　答：他们相遇时是出发后2小时40分.
5、甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？
　　解：画示意图如下：

　　如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是

　　40×3÷60＝2（小时）.
　　从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了
　　6×2-2＝10（千米）.
　　小王已走了 6＋2=8（千米）.
　　因此，他们的速度分别是
　　小张 10÷2＝5（千米/小时），
　　小王 8÷2=4（千米/小时）.
　　答：小张和小王的速度分别是5千米/小时和4千米/小时.
7、如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.

　　解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A到D的距离，应该是从A到C距离的3倍，即A到D是　　80×3＝240（米）.
　　240-60=180（米）.
　　180×2＝360（米）.
　　答：这个圆的周长是360米.
小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.
　　（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？
　　（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？
　　解：（1 ）75秒-1.25分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是
　　500÷1.25-180=220（米/分）.
8、乙两车同时从同一点 出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离 点有多少米？(每一次甲车追上乙车也看作一次相遇)

　　解析：第一次是一个相遇过程，相遇时间为：6÷（65+55）=0.05 小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75千米．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间为：6÷（65-55）=0.6 小时，乙车在此过程中走的路程为：55×0.6=33 千米，即5圈又3千米，那么这时距离A点3-2.75=0.25 千米．此时甲车调头，又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离A点0.25+2.75=3千米，然后乙车掉头，成为追及过程，根据上面的计算，乙车又要走5圈又3千米，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶的方向与最开始相同．所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2…3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，与A点的距离是3000米．