第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理.doc

第四节 离散鞅的收敛定理
设为一数列，为一闭区间，如果，，则称该数列上穿一次。记

…

于是，数列穿过一次，，数列穿过两次，如此下去，，数列穿过次，在这里都假设。
定义1-4-1 的最大的称为数列上穿的次数，记为。若，则令。
定理1-4-1 （上穿不等式）设为下鞅，则

证明：令,则由定理1-3-2的推论1-3-2知也是下鞅。易见，若穿过一次，即，则即穿过一次。所以穿过的次数也是，且由在上定义的和由在上定义的相同。再令

则
（1）
是的函数，设，则

当时，上式仍成立。
（2）
又因为是有界停时，且，故由定理1-3-2知
，
从而 （3）
由式（1）（2）（3）知

由此得
又因为所以

定理1-4-2 设为下鞅，满足条件

记则存在可测的随机变量，满足

证明：令

则。记为有理数全体，则
（习题1-4-1 证明此式）
往证,令为上穿的次数，表示上穿的次数。显然单调非减，且。由上穿不等式

所以

由此知

由上极限和下极限的定义知

故.所以几乎处处存在。记

则

由Fatou引理得

注1-4-1 因为

所以条件可以减弱为。
推论1-4-1 设为非负上鞅，则

证明：因为为上鞅，所以为下鞅，所以

END
定义1-4-2 为随机序列，称为一致可积的，如果

关于一致成立。
定理1-4-3 设是鞅（下鞅），且一致可积，则存在可积的随机变量，关于可测，使
（ⅰ）
（ⅱ）
（ⅲ）是鞅（下鞅），即对一切，都有

证明：因为一致可积，所以当充分大时，对一致地有
由此可知，。由定理1-4-2知，存在可测且可积的，使，。
，因为由条件概率的定义知

再由条件概率的定义和性质知，（习题1-4-1 证明下鞅的情形）
END
推论1-4-2 设为代数流，，是可积的随机变量，令

则（ⅰ）一致可积
（ⅱ），且
证明：（ⅰ）由马尔科夫不等式

所以

对当时，

对所取的，取充分大的，使时，

所以充分大时，

一致可积。
（ⅱ）因为
，
所以是鞅，又因为一致可积，由定理1-4-3知存在，，使得，。
往证. 因为

所以对

从而对，有

所以

上式对成立。由系法知，对，上式也成立。由条件概率的定义知
.
END
定义1-4-3 称是反向子代数流，如果

定义1-4-4 称为的反向鞅（反向上鞅或反向下鞅），如果
（1）是可测的，且
（2）对（相应的或）
例：设Z为随机变量，是随机变量序列，且
令

则是的反向鞅。显然

设，则

定理1-4-4 设为反向下鞅，则存在可测的随机变量，使

证明：令为上穿的次数，为上穿的次数，显然

因为
令，得
(1)
记

由式（1）知，。
现在说明。事实上，，

于是有

且有，满足，使

所以

故几乎处处存在，令，则是可测的。
END
定理1-4-5 设使反向下鞅，如果

则有
（1）一致可积。
（2）存在可测且可积的随机变量，使

证明：首先，是不增的。事实上，对

所以存在使
。
往证一致可积。对，取，且，使

（1）
又

若，由反向下鞅的性质，不等式（1）及不增的事实可知上式右边

（2）
又因为

所以当足够大时，关于一致地小，从而可取足够大，使

于是

一致可积。定理1-4-3知，，使

。

END

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