设计螺旋式微专题 培养学生思维能力.pdf

数学版 年 月 日 第 期 .设计螺旋式微专题培养学生思维能力韩 辉(重庆市巴南区花溪中学校 重庆)摘 要:微专题是指立足学情选择切口小、角度新、针对性强的微型专题.教师利用微专题进行教学可以有效解决学生学习中的疑点.含有辅助线的几何证明一直是学生的难点以“半角模型”几何题为例教师对题目进行加工通过一题多问、背景变换和位置变换精心设计螺旋式系列微专题进行教学提升学生几何直观和逻辑推理能力进而让学生的思维螺旋式上升.关键词:微专题半角模型多向思维作者简介:韩辉()男安徽淮南人本科中学一级教师研究方向:初中数学教学研究.问题提出微专题从字面上理解体现在“微”和“专”两个方面.“微”是指选题切口小、容量小通常是一课时的教学内容“专”即针对性强紧扣某个具体的数学问题展开教学.例如学生在几何学习时不知道如何添辅助线而微专题可以有效解决学生几何学习中的此类痛点.笔者从“半角模型”几何题入手进行多角度探究精心设计不同梯度的微专题进行教学培养学生的几何直观提升学生的数学思维增强学生的解题信心提高学生的学习能力.微专题设计.“半角模型”呈现如图 在正方形 中以顶点 作 分别交边 于点 可以得到结论:我们一般把这样的图形称为“半角模型”.将该模型进一步提炼推广为:如图 在四边形 中当满足三个条件:(或 )时也可以得到 .微专题:一题多问初探“半角模型”为了让学生理解“半角模型”充分认识“半角结构”教师在教学中进行一题多问微专题 具体设计如下:例题 如图 在正方形 中 延长 至点 使 连接.求证:().().().().()小结:本题证明的关键点在哪里有哪些新的发现?()已知 的面积是 的面积是 求 的面积.()已知正方形 的周长是 求 的周长.()如图 在正方形 中延长 至点 使 连 接 若 求 证:.设计意图 在微专题 中笔者将“半角模型”母题(如图)进行补全降低题目难度并设计了 个小问.让学生从三角形全等、边、角三个维度观察并分析图形按照先证明再证明最后证明 的顺序进行设计.第()小题给学生留白时间让学生去寻找解题最关键的地方领会“半角结构”的作用.教师进一步拓展设计第()和()题引导学生探究题中图形的周长关系(的周长等于正方形周长的一半)和面积关系(的面积等于 与 的面积之和).第()小题将结论“”与条件“年 月 日 第 期数学版:/.”互换让学生换种思路体验问题解决的过程.教学反馈教学时学生很容易证明一部分学生卡在证明“”这个结论上学生不会运用已知条件“”进行角的代换教师采取小组讨论优秀学生上台展示的方式进行难点突破为证明 做好铺垫.学 生 总 结 亮 点 纷 呈 比 如 学 生 谈 到 条 件“”在例题 的解题中起到承上启下的作用有学生发现“分别是 的角平分线”有学生发现 可以由 旋转得到有学生发现 与 可以沿 翻折刚好重合还有学生发现连接 后 垂直平分.微专题:背景变换再探“半角模型”微专题 以“半角模型”母题引入减少条件改变图形背景将正方形逐步变化为满足一定条件的四边形让学生探究结论“”是否成立具体设计如下:例题 如图 在正方形 中以顶点 作 分别交边 于点 求证:.变式 如图 在四边形 中 猜想结论“”是否成立?若不成立请写出 之间的数量关系并说明理由.变式 如图若将变式 中的“”改变为“”其他条件不变试判断结论“”成立吗?并说明理由.小结 对比分析图、图、图 观察图形并分析它们的相同点和不同点.设计意图 在学习之后教师以“半角模型”母题(例题)引入让学生利用已有的知识添加辅助线体会辅助线是怎样在“半角模型”中“无中生有”的.变式 的条件将“正方形”变化为“在四边形 中 ”变式 的条件进一步变化为“在四边形 中 ”通过改变条件让学生探讨原有的结论是否随之改变同时课堂上给学生充分的时间去思考激发学生的求知欲.小结中通过对比分析“图、图、图”让学生追根溯源提炼“半角模型”的一般特征归纳满足结论所需的三个条件渗透从特殊到一般的数学思想方法.教学反馈 学生探究例题 时会类比例题 添加辅助线(如图 延长 到点 使 连接)也有一部分学生换个方向添加辅助线(如图 延长 到点 使 连接)虽辅助线不同但解题思路一致.在变式 和变式 的教学中一部分学生会继续模仿例题 的方法进行证明(如图 和图)同时也有一部分学生仍不会利用“半角”代换得到“”教学中教师没有直接把解题方法“抛”给学生而是让学生自主思考、同伴交流在思维碰撞中加深对“半角”的认识.课堂小结中学生观察图形、分析图形、表达观点重新定义并诠释“半角模型”促进了学生创造性思维的形成培养了学生的创新意识.微专题:位置变换深探“半角模型”微专题 仍以“半角模型”母题为基础将定点 变为动点改变 的位置不改变 的大小让学生继续探究结论“”是否成立具体设计如下:例题 如图 在正方形 中以顶点 作 分别交边 于点 求证:.变式 如图在正方形 中 点 分别是 延长线上的动点且 猜想结论“”还成立吗?若不成立请写出 和 之间的数量关系并说明理由.变式 如图在正方形 中 点 分别是 延长线上的动点且 请写出 和 之间的数量关系并说明理由.小结对比分析图、图、图 体会“半角”的位置变化对“和 之间的数量关系”的影响进一步提炼“半角模型”的辅助线作法.设计意图 微专题 以“半角模型”母题引入巩固“半角结构”.变式 和变式 改变 的位置数学版 年 月 日 第 期 .使角的一边在正方形的外部另一边在正方形的内部引导学生猜想 和 三边的数量关系(变式 的结论为 变式 的结论为 )并证明.小结中将图、图、图 进行对比分析让学生感受半角位置发生变化后三条线段的和差随之变化但证明思路没有改变丰富学生的几何动态体验培养学生的几何直观感知.教学反馈 学生在探究变式 的过程中班级出现两种不同的声音一部分学生认为结论不变一部分学生认为结论发生变化课堂上教师采取“辩论”的形式让学生讨论提炼解决方法.有学生说道如果要正确猜想 和 三者的数量关系那么一定要仔细观察图中这三条线段的长度大小.微专题教学中要给学生留白而留白的最佳方式就是小结.小结中有学生说通过三个微专题的学习自己摸清了“半角模型”几何题的解题套路就是根据结论进行截长补短证明两组三角形全等()最核心的地方就是利用“半角”证明 有学生说当 在四边形内部时采取“补短”法(如图)当 的一边在四边形外部时采取“截长”法(如图 和图)还有学生说做四边形的练习时题目中出现三个条件(对角互补、邻边相等、角含半角)就要用“半角模型”的方法解答.很显然微专题的留白留下的是孩子们多向思维的精彩.微专题:模拟练习强化“半角模型”为了检验学生的学习效果模拟练习是非常必要的.它可以让学生在实践中运用“半角模型”解决问题微专题 具体设计如下:练习 如图四边形 是正方形 分别在边 上且 我们把这种模型称为“半角模型”在解决“半角模型”问题时旋转是一种常用的方法.()在图 中连接 为了证明结论“”小明将 绕点 顺时针旋转 后解答了这个问题请按小明的思路写出证明过程()如图 当 的两边分别与 的延长线交于点 连接 试探究线段 之间的数量关系并证明.练习 (年武汉期末)【问题背景】如图 点 分别在正方形 的边 上 连接 则 之间的数量关系是 .【迁移应用】如图 四边形 中 点 分别在边 上 若 都不是直角且 求证:.【联系拓展】如图 在 中 点 均在边 上且 .猜想 应满足的等量关系是.设计意图 模拟练习是微专题教学的有效补充也是课堂评价反馈的重要方式.巩固练习类的微专题有利于学生课后灵活运用所学知识解决实际问题提高学生的解题信心和效率培养学生综合应用的能力.作业反馈 从学生完成质量上看经过三个微专题的学习学生完成此类题型的正确率明显好于之前微专题很好地帮助学生建构几何模型以及熟练解题的基本技能与方法提高了学生解决问题的能力.年 月 日 第 期数学版:/.教学思考.注重微专题内容适切提升学生渐进认知微专题设计的一个明显特征就是“精”主要体现在精选内容上.微专题要立足学生实际聚焦数学核心问题内容选择要适切.案例中教师紧扣“半角模型”进行设计比如微专题 的内容从源头出发层层设问探究“半角模型”的本质微专题 和 的内容均从典型例题入手再呈现两道形式不同的变式练习从不同的角度呈现“半角模型”.让学生对这类问题有一个清晰透彻的认识让学生的认知能由横向上的细致走向纵向上的深入.创新微专题层级递进促进学生深度学习深度学习是一种批判性、高质量的、理解性的学习方式能有效促进学生思维水平的发展.案例中教师针对学生学习中的难点确立微专题“半角模型”从一题多问、背景变换、位置变换等维度进行设计前三个微专题由易到难由浅入深层次分明.有效的微专题可以引导学生深度思考、深入探究在思考中明晰解题思路在探究中提炼解题方法促进学生对核心知识的内化和理解促进学生的深度学习提高学生分析问题和解决问题的能力进而提高学生的学习能力.立足微专题舞台展示夯实学生多向思维在习题讲评时教师不能满足于“授之以鱼”更要做到“授人以渔”.微专题最大的价值在于给学生解决问题提供清晰的解决思路而不仅仅局限于问题的答案.微专题教学时教师要营造轻松愉快的教学氛围减少个人讲评时间给学生足够的探究时间和舞台引导学生进行思考和探究.案例中教师让学生多维度观察“半角模型”思考并分析不同的“半角”图形中边、角、三角形之间的内在逻辑关系并鼓励学生学会表达自己的观点提高学生几何直观和逻辑推理能力培养学生多向思维和创新意识.参考文献:陈冬.初中数学微专题设计案例举隅.江苏教育():.黄志平.关注微专题复习 促进学生深度学习 以 年福建中考第 题微专题复习为例.中学理科园地():.包秋燕.巧用微专题提高复习效率 以“与圆有关的最值问题”为例.数学教学通讯():.(收稿日期:)大单元理念下的章起始课该何去何从 以“全等三角形”为例刘清清(肥西外国语学校初中部 安徽 合肥)摘 要:通过领悟单元设计“总分总”的思想将其与章起始课进行融合探索设计“全等三角形”的教学设计力求在章起始课的内部达到“总分总”的教学思路同时对本节课提出几点教学思考.关键词:大单元理念章起始课全等三角形基金项目:安徽省教育信息技术研究课题“智慧学校环境下基于义教新课标“几何直观”核心素养的实践研究”(项目编号:)安徽省教育科学研究项目“指向逻辑思维生长的初中数学“图形与几何”教学实践研究”(项目编号:).作者简介:刘清清()女安徽阜阳人硕士中学一级教师研究方向:数学教育数学课堂教学.章建跃先生曾经提到:章起始课就是要让学生明确学习本章内容的基本套路并将其作为重要的教学目标作为“起始”必须要有“交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图”的大气不对知识的具体细节作追究重点是描述本章的内容框架及其反映的思想方法使学生明确本章研究的“路线图”让学生感受本章数学概念产生、发展的基本过程体会研究数学问题的基本套路进而提高他们发现问题、提出问题、研究问题的能力达到使学生学会学习、学会研究的目的以及有利于数学育人.曹一鸣提到核心素养导向下的中学数学教学关注的是不同知识之间的横纵向联系强调数学的整体性、数学思想方法内在的