资源描述
第七单元 不等式
1.(2013·福建省莆田市3月质检)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0，则p是q的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为xy＞0等价于x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，所以p是q的充分不必要条件，故选A.
2.(2012·山东省苍山县上学期期末检测)若a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( A )
A．ab≤1 B．ab≥1
C．a2＋b2≥4 D．a2＋b2≤4
解析：由a＋b＝2≥2，得ab≤1，故选A.
3.若<<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3，不正确的不等式的个数是( C )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由<<0，知b<a<0，由不等式的性质知①②不正确，故选C.
4.(2012·广东省高州市第二次模拟)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是( C )
A．2 B．2
C．4 D．5
解析：因为＋＋2≥2＋2≥4，当且仅当a＝b，＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4，故选C.
5.(2012·福建省厦门市3月质检)设x＞0，y＞0，xy＝4，则S＝＋的最小值为 4 .
解析：因为x＞0，y＞0，xy＝4，
所以S＝＋≥2＝2＝4.
6.(2012·山东省济宁第三次检测)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于 9 .
解析：原不等式恒成立等价于m≤(＋)(2a＋b)的最小值，而(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以m≤9，故m的最大值为9.
7.设f(x)＝ax2＋bx且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是 [5,10] .
解析：(待定系数法)
f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b.
设f(－2)＝4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
所以，解得，
所以f(－2)＝3(a－b)＋(a＋b)，
又因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6，
因为2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，
即5≤f(－2)≤10.
8.(1)求函数y＝x(a－2x)(x∈(0，)，a为大于0的常数)的最大值；
(2)设x＞－1，求函数y＝的最值．
解析：(1)y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)
≤×[]2＝，
当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.
(2)因为x>－1，所以x＋1>0，
设x＋1＝z＞0，则x＝z－1，
所以y＝＝＝z＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当z＝2，即x＝1时上式取等号，
所以当x＝1时，函数y有最小值9，无最大值．
9.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
分析：用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可，还应注意定义域0<x≤a，函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用不等式求最值，可以考虑单调性．
解析：由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5800＝900(x＋)＋5800(0<x≤a)．
则y＝900(x＋)＋5800≥900×2＋5800
＝13000(当且仅当x＝，即x＝4时取等号)．
若a≥4，x＝4时，有最小值13000.
若a<4，任取x1、x2∈(0，a]且x1<x2，
y1－y2＝900(x1＋)＋5800－900(x2＋)－5800
＝900[(x1－x2)＋16(－)]
＝.
因为0<x1<x2≤a，所以x1－x2<0，x1x2<a2<16，
所以y1－y2>0，所以y＝900(x＋)＋5800在(0，a]上是减函数，
所以当x＝a时，y有最小值900(a＋)＋5800.
综上，若a≥4，当x＝4时，有最小值13000元；若a<4，当x＝a时，有最小值为900(a＋)＋5800元．
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