双相位三态量子游荡的平稳测度.pdf

第 卷 第期宁夏大学学报(自然科学版)年月V o l N o J o u r n a l o fN i n g x i aU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u n 文章编号:()双相位三态量子游荡的平稳测度郭婷,宋彦辉(兰州信息科技学院,甘肃 兰州 )摘要:借助传递矩阵法研究了直线上空间非齐次三态量子游荡的双相位模型及一类特殊三态量子游荡此外,基于相应的特征值问题和初始态,计算了一般条件下模型的平稳测度关键词:三态量子游荡;平稳测度;传递矩阵;特征值;双相位模型分类号:(中图)O 文献标志码:A收稿日期:基金项目:甘肃省高等学校创新基金资助项目(A )作者简介:郭婷(),女,讲师,硕士,主要从事随机分析及其应用研究,(电子信箱)l z x k e d u c n 量子游荡主要分为离散型和连续型,其主要区别在于量子系统演化的时间是离散的还是连续的离散时间量子游荡的概念最早由A h a r o n o v等作为经典一维随机游荡提出近年来,量子力学的应用一直被广泛关注,量子游荡对量子算法的研究有非常重要的作用,因此许多研究者从不同角度探讨了量子游荡的渐近行为 年,E n d o和K o n n o通过C GMV方法计算了单亏量子游荡的平稳测度同年,E n d o等利用S G F方法研究了空间非齐次两态量子游荡的平稳测度及特征值问题 年,W a n g等利用S G F方法相继得出了空间非齐次单亏的三态W o j c i k游荡的平稳测度,并证明了在一些适当条件下测度关于位置呈指数衰减 年,K o n n o等提出了新方法简化矩阵,以研究离散时间三态量子游荡的相关性质 年,韩琦等在此基础上讨论了空间非齐次三态量子游荡的单相位模型和双相位模型,并计算了相应的特征值和平稳测度 年,E n d o利用转移矩阵法给出了三态量子游荡的平稳测度,并给出了几类模型的平稳测度 本文将在此基础上继续研究两类特殊量子游荡的性质模型及相关概念在本章节引入一维晶格上三态量子游荡的相关定义,并给出空间非齐次三态量子游荡的双相位模型定义一个定义在整数集Z上的离散时间三态量子游荡,用手征空间L,O,R和位置空间x:xZ刻画,其时间演化过程由下列酉矩阵决定:Uxaxbxcxdxexfxgxhxkx,其中xZ,ax,bx,cx,dx,ex,fx,gx,hx,kxC设N为 非 负 整 数 集,且n(x)(Ln(x),On(x),Rn(x)表示质点在nN时刻,处于xZ位置的波函数的概率振幅时间演化过程可定义为如下形式:n x()PLx nx()POxnx()PRx nx(),其中PLxaxbxcx,POxdxexfx,PRxgxhxkx,则有UxPLxPOxPRx,其中手征L和R分别表示向左和向右移动的手征,O表示移动到中间态的手征设n,n(),n(),n(),()T,nx()Lnx(),Onx(),Rnx()()T,第期郭婷等:双相位三态量子游荡的平稳测度U(s)PO PL OOOPR PO PLOOOPR POPLOOOPRPOPLOOOPRPO,O ,其中T表示转置运算量子游荡在n时刻的态为nU(s)()n,n下面定义平稳测度,设R,),先引入一个映射:(C)ZRZ:()x()Lx()Ox()Rx(),xZ对固 定 的(C)Z,函 数x()x()通 过()()()给出了在Z上的一个测度定义量子游荡在nN时刻,处于xZ位置的概率测度为nx()n()x(),xZ,n定 义设Ws()RZ:s t Us()n()(),n我们把Ws中的元素称为量子游荡的平稳测度令SzC:|z|,我 们 考 虑 特 征 值U(s),S由 于U(s)是 酉 矩 阵,可得(U(s)Ws定义定义在整数集Z上的空间非齐次三态量 子 游 荡 的 双 相 位 模 型,用 一 个 手 征 空 间L,O,|R 和位置空间|x:xZ 来刻画,其时间演化过程由下列酉矩阵决定:UxU,x,U,x,U,x,()其中U,U ,其中c o s,s i n,),e i,(,)可以看出,由此酉矩阵决定的游荡者的移位在负部和正部是不同的,而且此游荡的行列式关于位置是独立的,因此称该模型为“双相位空间非齐次三态量子游荡”主要结果定理设UyyZ是空间非齐次三态量子游荡中 参 数 为y的 酉 矩 阵 的 集 合,(x)(L(x),O(x),R(x)T是 波 函 数 的 概 率 振 幅,设量子游荡的初始态为(),则对于U(s),S,有(x)xyTy(),x,(),x,xy Ty(),x,式中Ty是传递矩阵:Tyt t t t t t t t t,Tyt t t t t t t t t,其中t ey()gy cy()gy fybyay(ey)bydy,t hy fybycy(ey)ay(ey)bydy,t ky fybycy(ey)ay(ey)bydy,t dygy(ayfycydy)ay(ey)bydy,t hy ayfycydy()ayey()bydy,t ky ayfycydy()ayey()bydy,t gy,t hy,t ky;t ay,t by,t cy,t ay fygykydy()kyey()hyfy,t by fygykydy()kyey()hyfy,t fycy gyfykydy()kyey()hyfy,t ay hydygy(ey)ky(ey)hyfy,t by hydygyey()ky(ey)hyfy,宁夏大学学报(自然科学版)第 卷t ey()gycy()cy hydykyey()hyfy定理基于传递矩阵法,为研究三态量子游荡提供了新思路 下面我们通过定理给出的方法计算两相位三态量子游荡的平稳测度和相应的特征值问题定理设 MyyZ是由()式所确定的三态量子游荡中参数 为y的 酉矩阵的集 合,(x)(L(x),O(x),R(x)T是波函数的概率振幅设量子游荡的初始态为L(),O(),R(),且满足()O()R()L()对于S,取(),T作为初始态当时,对于U(s),S,得(x)xyTy(),x,(),x,xy Ty(),x,其中Ty是传递矩阵当y时T t a nt a nt a n,T t a nt a n t a n;当y时Tys i ns i ns i ns i ns i nc o s,Tyc o ss i ns i ns i ns i ns i n且该量子游荡的平稳测度为x(),x,t a n,x,t a n,x证明已知U(s),它等价于 x()PLx x()POx x()PRx x()()将x及对应的酉矩阵代入()式,可得()O()R()L()当时,利用定理中计算传递矩阵的公式可得Ty和Ty因为c o s,s i n,),所以当y时t ey()gy cy()gy fyby ayey()bydy()(),其他元素同理可得当y时t ay fygykydy()kyey()hyfy()t a n,其他元素同理可得当y时t gy s i n,t hy s i n,t ky c o s,其他元素同理可得当y时t fycy gyfykydy()kyey()hyfy s i n,其他元素同理可得由传递矩阵Ty和Ty可知,当,时 x(),T,x,t a n,T,x,t a n,T,x第期郭婷等:双相位三态量子游荡的平稳测度又 因 为x()()x()且()x()Lx()Ox()Rx(),由此可得量子游荡的平稳测度证毕下面我们通过定理给出的方法计算一类特殊三态量子游荡 的平稳测度和相应的特征值问题,该量子游荡由以下酉矩阵A(),()所决定:A()()()()()()显然,当时,上述量子游荡为G r o v e rw a l k定理设MyyZ是由()式所确定的三态量子游荡中参数为y的酉矩阵的集合,x()Lx(),Ox(),Rx()()T是波函数的概率振幅设量子游荡的初始态为L(),O(),R(),且满足()O()()R()()L()对于S,取(),T作为初始态当时,对于U(s),S,有 x()(),x,xyTy(),x,xy Ty(),x,其中Ty是传递矩阵,Ty和Ty见附录,且平稳测度为x(),xZ证明已知U(s),它等价于(x)PLx(x)POx(x)PRx(x)()将x及对应的酉矩阵代入()式,可得()O()()R()()L()当时,利用定理中计算传递矩阵的公式可得Ty和Ty设初始态(),T,xZ,则有 x()(),T,x,xyTy(),T,x,xy Ty(),T,x又因为x()()x()且()x()Lx()Ox()Rx(),所以量子游荡的平稳测度为x(),xZ证毕可以看出该量子游荡的平稳测度是一致测度,与文献 中通过简化矩阵计算得到的结果相同参考文献:K O N N O NL o c a l i z a t i o no fa ni n h o m o g e n e o u sd i s c r e t e t i m eq u a n t u mw a l ko nt h e l i n eJ Q u a n t u mI n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,():AHA R ONOV Y,D AV I D OV I CH L,Z AGUR Y NQ u a n t u mr a n d o mw a l k sJ P h y sR e vA,():G R I MME T TG,J AN S ONS,S C U D OPW e a k l i m i t sf o rq u a n t u mw a l k sJ P h y sR e vE,():J O Y EA D y n a m i c a l l o c a l i z a t i o nf o rd d i m e n s i o n a l r a n d o mq u a n t u m w a l k sJ Q u a n t u mI n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,():K O JCY,KWE KLC E n t a n g l e m e n t o f a q u b i t s y s t e mc o u p l e dt oab a t ho fq u a n t u m S p i n G l a s sJP h y s i c aA:S t a t i s t i c a lM e c h a n i c s a n d I t sA p p l i c a t i o n s,():K ONN O N,L U C Z AKT,S E G AWAE L i m i tm e a s u r e so f i n h o m o g e n e o u sd i s c r e t e t i m eq u a n t u mw a l k s i no n ed i m e n s i o nJ Q u a n t u mI n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,():K ONN O NT h eu n i f o r m m e a s u r ef o rd i s c r e t e t i m eq u a n t u mw a l k si no n ed i m e n s i o nJ Q u a n t u mI n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,():E N D O T,KONN O NT h es t a t i o n a r ym e a s u r eo fas p a c e i n h o m o g e n e o u sq u a n t u m w a l ko nt h el i n eJY o k o h a m aM a t h e m a t i c a l J o u r n a l,:WANGC a i s h i,L UX i a n g y i n g,WAN G W e n l i n g T h es t a t i o n a r y m e a s u r eo fas p a c e i n h o m o g e n e o u st h r e e s t a t eq u a n t u mw a l ko nt h e l i n eJ Q u a n t u mI n f o r m a t i o nP r o c e s s i n g,():KAWA IH,K OMA T S U T,K ONON N S t a t i o n a r ym e a s u r e so ft h r e e s t a t eq u a n t u m w a l k so nt h eo n ed i m e n s i o n a l l a t t i c eJ Y o k o h a m aM a t h e m a t i c a l J o u r n a l,:E N D OT S t a t i o n a r ym e a s u r e f o r t h r e e s t a t eq u a n t u mw a l k sJQ u a n t u m I n f o r m a t i o n C o m p u t,(/):S T E F ANAK M,B E Z D E K OVAI,J E XI C o n t i n u o u sd e f o r m a t i o n so f t h eG r o v e rw a l kp r e s e r v i n g l o c a l i z a t i o nJ Q u a n t u m P h y s i c s,():A r t i c l en u m b e r:宁夏大学学报(自然科学版)第 卷S t a t i o n a r yM e a s u r eo fT w o p h a s eT h r e e s t a t eQ u a n t u m W a l kG u oT i n g,S o n gY a n h u i(L a n z h o uC o l l e g eo f I n f o r m a t i o nS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y,L a n z h o u ,C h i n a)A b s t r a c t:T h e t w o p h a s em o d e l o f s p a t i a l i n h o m o g e n e o u s t h r e e s t a t eq u a n t u mw a l ko na s t r a i g h t l i n e a n das p e c i a lk i n do ft h r e e s t a t eq u a n t u m w a l ka r es t u d i e db ym e a n so ft r a n s f e rm a t r i xm e t h o d B a s e do nt h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n v a l u ep r o b l e ma n dt h e i n i t i a l s t a t e,t h es t a t i o n a r ym e a s u r eo f t h em o d e lu n d e rg e n e r a lc o n d i t i o n s i sc a l c u l a t e d K e yw o r d s:t h r e e s t a t eq u a n t u mw a l k;s t a t i o n a r ym e a s u r e;t r a n s f e rm a t r i x;e i g e n v a l u e;t w o p h a s em o d e l附录:Ty()()(),Ty()()()(责任编辑张娣)(上接第 页)O p t i m a l i t ya n dD u a l i t yo fR o b u s t Q u a s i W e a kE f f e c t i v eS o l u t i o n s f o rU n c e r t a i nM u l t i o b j e c t i v eO p t i m i z a t i o nP r o b l e mL iM e n ge n,H a nY o u p a n(S c h o o l o fS c i e n c e,X ia nP o l y t e c h n i cU n i v e r s i t y,X ia n ,C h i n a)A b s t r a c t:A m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o np r o b l e m sw i t hu n c e r t a i nf a c t o r s i sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r F o rr o b u s t q u a s i w e a ke f f e c t i v es o l u t i o n so f t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m,s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eg i v e n T h e n,t h ec o r r e s p o n d i n g M o n d W e i ra n d W o l f et y p ed u a lm o d e l sa r ee s t a b l i s h e d,m o r e o v e r,t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eo r i g i n a lp r o b l e ma n dt w ot y p e so fd u a lp r o b l e m sa r ed i s c u s s e d F i n a l l y,t h ec o r r e s p o n d i n gw e a k,s t r o n g,a n d i n v e r s ed u a l i t yc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d,r e s p e c t i v e l y K e yw o r d s:m u l t i o b j e c t i v eo p t i m i z a t i o n;q u a s i w e a ke f f e c t i v es o l u t i o n;d u a l;g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y(责任编辑张娣)