十进制：计数,还是记数.pdf

义务教育数学课程标准（2022年版）中两次出现“十进制计数法”，而不是“十进制记数法”。像这样“计数”与“记数”混用的现象极其普遍。考查语义、认知、教学以及权威文献等可以发现，“十进制记数法”的说法更为恰当。同时，由“计数”衍生而来的“计数单位”，其意义与“数的单位”的意义存在混淆问题。因此，依据 义务教育数学课程标准（2022年版）进行教科书编修以及教学设计时，应特别注意理解并区分计数与记数、计数单位与数的单位、计数单位与位值、分数单位与单位分数的意义及其关系，谨防因为误解而导致教学与评价的混乱。【关键词】十进制；计数；记数；计数单位义务教育数学课程标准（2022年版）（以下简称 课程标准）在第二学段的“内容要求”及“教学提示”中，两次出现“十进制计数法”的表述，将十进制视为“计数”的方法。2001年颁布的 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）在“教材编写建议”中，类似的表述是“十进位制记数法”，十进制或十进位制又成为“记数”的方法。同样的十进制，既是“计数”的方法，又是“记数”的方法，“计数”与“记数”似乎成为可以相互替代的同义词。像这样将“计数”与“记数”混用的现象，还出现在“计数单位”和“记数单位”的表述中。人民教育 刊载的 数感，是如何丰满起来的 一文中，就同时出现了“计数单位”与“记数单位”两个词1，从文中很难分辨二者的意义及其关系。凡此表明，“计数”与“记数”两个词的混用，已经成为数学课程与数学教学中的普遍现象。从音、形、义三个角度看，“计数”与“记数”具有音同、形近的特点，因此容易混淆二者的意义，导致教学与评价出现似是而非的混乱。因此，有必要对这两个词汇的意义及其关系进行辨析与澄清。一、计数从目前查阅到的文献看，汉语中的“计数”一词始见于我国春秋时期的经济学家、军事家、政治家、哲学家管仲（？前645）所著的 管子 七法：“刚柔也，轻重也，大小也，实虚也，远近也，多少也，谓之计数。”这六对概念都牵涉到客观世界的“量（quantity）”2。“轻重”指的是物体的质量或重量，“大小、远近”描述的是诸如长度、面积和体积这种空间意义的几何量，“多少”应当是离散量的个数，“实虚”表达的是容器的容量。排在第一位的“刚柔”相对复杂，指的是诸如浓度、速度、密度这种程度变化的量3，其意义相当于“强度量（intensivequantity）”4。由此看来，管子 七法 中的“计数”所涵盖的范围相当广泛，小至柴米油盐、行车走路，大到治国理政、排兵布阵，凡指向“量”的认知活动，都可以视为计数。文中对计数的重要性的描述为：“不明于计数，而欲举大事，犹无舟楫而欲经于水险也。”意思是说：想成大事，就要善于计数，否则就如同涉水而没有船只一样。综上，可以概括出 管子 七法4教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN专题研究素养导向教学改革中计数的意义：l计数是人对客观世界的认知活动。l计数活动的对象是客观世界中的量。l计数是人类必不可少的认知活动。随着时代的发展，“计数”这种广义的意义逐步窄化5。我国近现代数学教科书以及相关文献中，计数一般等同于“数（sh）数（sh）”。顾汝佐、蒋冲等主编的 算术辞典 中，“计数”的释义为：“数物体个数的过程，叫作计数或称数数。”6如果把 管子 七法 中计数的意义视为广义的，那么这种窄化的意义就是狭义的。因此，“计数”一词对应的英文单词就成为动词“count”或名词“counting”，相当于 管子 七法 中所说的“多少”。无论是广义还是狭义的计数，如果牵涉的量较多或较大，都会产生对计数结果进行读与写的需要，因此就需要明确语言意义的名称与符号，便于计数结果的记录与交流。这种命名和符号记录的过程与方法，在我国历史上分别叫作“命数”和“记数”，对应的英文单词为“numeration”和“notation”。二、命数与记数“命数”与“记数”的方法在人类发展进程中经历了漫长的过程，原始人类一般通过实物记数，最为典型的是“石子”和“小棒”。如今数学课程内容中的“点阵”，可以认为是从古希腊时期使用的“石子”记数演变而来的7，人们期望通过石子摆放的形状就能“一眼便知”所表之数。像“3”和“6”这样能够摆成三角形的数，就被称为“三角形数”；同样，像“4”和“9”这样能摆放为正方形的数，就叫“正方形数”（如图1）。123456789图1 石子摆数示意图我国历史上的“算筹”实际上是用小棒表示数，通过摆放的形状区分不同的数。数学史研究的部分观点认为，今天普遍使用的阿拉伯数字，是从用小棒摆放的形状演变而来的。每根小棒表示“一”，通过摆放的不同形状，可以明显区分不同数之间的关系8（如图2）。123456789图2 小棒摆放表示数示意图图2中，在表达“4”的正方形上，分别减少和增加小棒，可以得到“3、2、1”和“5、6”；在表达“8”的两个正方形上分别减少和增加1根小棒，可以得到“7、9”。从这一解释看，阿拉伯数字符号与汉字类似，也具有象形的特征。因此可以说，作为十进制的基础，数字符号是人类在实物记数的基础上所发明的记数符号。历史上的算术教科书中，对于数的认识，一般会区分“命数”与“记数”两个概念。我国20世纪著名数学家、物理学家严济慈（19011996）先生所著，1923年出版的 现代初中教科书 算术（上册）中9，分别将“命数”与“记数”定义为：l命数法：用名称来表数，叫作命数法（numeration）。取一个单位，从一挨次加一，每数各命一名，叫作二、三、四、五、六、七、八、九。这九个数叫作基数（simple numbers）。九再加一，叫作十，就是一的十倍。聚十个十叫作百，聚十个百叫作千l记数法：用数字来表数，叫作记数法（notation）。数字虽只十个，却可把什么数都记出来。书中把“数字（numeral）”定义为：数字就是代表数目的符号。也就是如今人们熟悉的符号：1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。由此可见，命数法实质是言语意义的“读法”，记数法是符号意义的“写法”。5教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN专题研究素养导向教学改革十进制的智慧体现于“数字虽只十个，却可把什么数都记出来”，因此，十进制实质是命数与记数的符号系统，通过对“一、十、百、千”的命名以及不同位置“位值（place value）”的规定，实现了用有限表无限的目的。正如民国时期数学家寿孝天在其所著 共和国教科书算术 中所说：命数法（记数法）之目的，在于用甚少之名，而能表无限之数也10。综上可知，计数活动指向的是客观世界的量，是“发现（discovery）”的过程。空间的无边无际，时间的无始无终，物质的无限可分，使得客观世界的量具有无限的特征。十进制的命数与记数，是对计数结果的表达与记录，是主体自内而外、无中生有的想象与“创造（creation）”11，这样的想象与创造实现了“计数内容的无限”与“记数符号的有限”的对立统一。如果把命数与记数的过程统一划为人类语言的范畴，把现今并不常用的“命数”也纳入“记数”的过程，那么十进制自然应当叫作“记数法”，与英文“decimal numeration system”相对应，正如 现代汉语词典 对“十进制”的释义：“一种记数法，采用0、1、29十个数码，逢十进位。”12事实上，“十进制记数法”是我国数学以及数学教育专业领域普遍使用的表述。比如在我国著名数学家吴文俊先生（19192017）为李继闵所著 九章算术 及其刘徽注研究 一书所作的序言13，数学史学家杜石然所著 数学 历史 社会 一书第4页14，弗赖登塔尔所著、陈昌平等编译的 作为教育任务的数学 一书第10页15中，都出现了“十进制记数法”的表述，将十进制视为“记数”的方法，而不是“计数”的方法。三、教学中的“计数”与“记数”从教学的角度看，“计数”与“记数”是不同但又紧密相关的认知活动。计数活动的对象以具体事物为主，并在活动过程中逐步抽象出数的概念16。在数的概念形成的基础上，产生了表达与记录的需要，进而出现方便、实用的记数方法，主要以抽象符号为对象。从计数到记数，体现的是从具体到抽象、从过程到结果的认知过程。美国20世纪哲学家、教育家杜威（John Dewey，18591952）与人合著的 数的心理学 一书中，将数与运算的认识视为具体“事物（thing）”与抽象“符号（symbol）”两个世界活动的交互，并特别强调，将数与运算的认识局限于一个单一世界的教学都是错误的17。计数活动主要发生于具体事物的世界，记数活动则倾向于抽象符号的世界。二者之间的交互，应当成为数与运算教学活动设计的基本原理。比如面对抽象的符号“3-1=2”，离开事物的世界，单一符号世界中的减法运算及其结果，对于低龄儿童来说是没有意义的。日常生活中，学生通过饮水、吃饭、出入房间、上下汽车、收拾书包等事物世界的具身活动，在思维中逐步形成类似于“容器”的经验，包括“内外、出入、多少、空满”等，这种根据具身活动的经验所形成的思维模式也叫“容器图式（CONTAINER schema）”18。教学中，通过事物世界“从3个中拿走1个，还剩2个”的具身活动，就可以唤醒思维中的容器图式，实现与抽象符号“3-1=2”的交互，从而使得抽象符号“3-1=2”具有了意义。应当注意，对于负数及其运算“1-3=-2”的认识，在事物世界中，“从1个中拿走3个”是不可能实现的事情，也即容器图式对于数与运算的认识并非万能的，因此需要更加丰富的具身经验。儿童对身体行走的具身活动十分熟悉，行走过程中的“起点路径终点”以及“前进倒退”就成为一种思维模式，也叫“路径图式（SOURCE-PATH-GOAL schema）”19。利用路径图式，如果用“向前走3步，倒退1步，等于向前走2步”对应“3-1=2”，那么“向前走1步，倒退3步，等于倒退2步”，就对应了“1-3=-2”，实现了事物世界与符号世界活动的交互，使“1-3=-2”这一抽象算式具有了实际意义（如图3）。6教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN专题研究素养导向教学改革起点终点倒退1步向前走3步起点终点向前走1步倒退3步3-1=21-3=-2图3 路径图式示意图综上可知，事物世界的计数活动与符号世界的记数活动，并非一一对应的确定性关系。同样的记数符号，可以对应有差异并且多样的计数活动；反之，同样的计数对象，可以出现各种不同的记数符号。比如对一只手上的手指计数，记数的结果可以用汉字写为“五”，英语写为“five”，阿拉伯数字符号写为“5”，罗马数字符号写为“”。即便是在同一种记数方法中，同样的计数对象也会产生不同的记数符号，比如“6根”筷子，也可以记为“3双”。按照 课程标准 对学生核心素养的表述，计数活动偏向于数学的眼光和数学的思维，而记数的活动则偏向于数学的语言。十进制表达数的符号与方式自然应当属于“数学的语言”范畴。教学中，让计数活动与记数活动交互开展，有益于学生核心素养的全面发展。四、谨防误解“计数单位”在澄清“计数”与“记数”的意义及其关系的基础上，需要进一步明晰“计数单位”的意义，谨防因为误解而导致教学与评价中的混乱。课程标准 中所说的“计数单位”，在整数、分数和小数中分别指的是：l整数计数单位：1、10、100l分数计数单位：分子为1的分数。l 小数计数单位：110（0.1）、1102（0.01）、1103（0.001）其课程与教学的意义在于，对计数单位的感悟，可以了解整数、小数和分数运算的一致性。强调这样的一致性，被认为是 课程标准 的新视角与特色20。事实上，“计数单位”一词早在1980年人民教育出版社出版的 全日制十年制学校小学课本数学 中就已经出现，比如第10册第82页中就有如下的试题：l整数、小数每个数位上的计数单位是什么？每相邻两个单位之间的进率是多少？21之后各个版本的小学数学教科书中，此类表述普遍存在，由此带来的教学问题是：数与数的单位出现“一对多”的不确定性，进而导致对数与对应的单位之间关系的认识混乱，使得教学与评价中相关试题及其答案似是而非。比如20世纪80年代，曾经流行如下的试题：l3.07的单位是（），有（）个这样的单位。（标准答案：0.01；307）22这样的试题与答案令人费解，3.07表示的是“3+0.07”，也即整数“3”与小数“0.07”的和。如果认为整数“3”的单位是“1”，那么小数“0.03”的单位是什么呢？当然也应当是1，否则“3+0.07”这样的加法运算就无法实施。如果认为“0.07”的单位是“0.01”，那么整数“3”的单位又是什么呢？把整数“3”的单位视为“0.01”似乎让人难以接受。此类似是而非的试题与答案，源于“计数单位”与“数的单位”意义的混淆。作为符号世界的“数的单位”，需要的是统一性和确定性。任何记数符号所表示的数，只能对应一个单位，不能出现“一对多”的情况。“3.07”这一符号的记法和意义是相对于这个数的单位“1”而言的，如果把“0.01”视为单位“1”，那么“3.07”这一记法就不复存在，记数符号随之改变为“307”。因此作为一个符号意义的数3.07，对应的单位只能是“1”，单位的确定，才能使3.07的记法和意义随之确定。“计数单位”的意义与“数的单位”不同，它是在事物世界“计数”活动中的主观建构，这样的单位具有个体的主观性和随意性。如对一个长方形的面积计数，主观建构的面积单位可能是差异与多样的（如图4）。图4 长方形面积单位多样化示意图从巩子坤等在 义务教育数学课程标准修订的7教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN专题研究素养导向教学改革新视角：数的概念与运算的一致性 一文中所罗列的中英文关键词看，“计数单位”一词的英译为“counting unit”23。通过相关文献查阅不难发现，“counting unit”主要指对连续量测量过程中主观建构的单位，将诸如长度、面积和体积等连续量的测量活动，与离散量的计数活动建立起一致性的联系24。美国教师联合会2000年发布的 学校数学原理与标准 中两次出现“counting unit”，其意义都是指类似于图4中对面积单位的建构25。因此，课程标准 中所说的“计数单位”与英文词汇“counting unit”的意义并不对等。事实上，课程标准 中所说的整数与小数的计数单位，按照国际通行的说法，应当是“位值”，而不是单位。比如“3.07”这个数，其中3所在位置的值为1，0所在位置的值为110或0.1，7所在位置的值为1100或0.01。3.07作为十进制记数符号的意义就是：l 3.07=3100+010-1+710-2这样的表达方式也叫科学记数法，其中的100、10-1、10-2是十进制记数法中的位值。从数学课程内容的意义进化角度看，随着学段的升高，数的意义逐渐进化，数的范围逐步扩大。如果把3.07的计数单位视为0.01，那么诸如0.3=0.333这样的无限循环小数，以及无限不循环小数=3.1415926，它们的计数单位又应当是什么呢？事实上，任何数的单位都是“一”，无限循环小数0.3=0.333与分数13等值，表达的是“一的三分之一”；=3.1415926表达的是直径为1的圆周长，即“径一周”。因此，“计数单位”真正的意义应当是计数过程中的“一”，而不是记数过程中的位值。五五、结语结语总之，“计数”与“记数”是两个不同但相互关联的概念，从计数到记数体现的是从具体的事物世界到抽象的符号世界的认知过程，同时也是对事物世界进行感知、推理和想象，然后逐渐发展出言语、符号和文化的过程。十进制作为这一过程的产物，称之为“记数法”应当比“计数法”更为恰当，如同 课程标准 第55页和第59页两次出现的“科学记数法”一样，科学记数法本质上就是十进制记数法，所以不应写为“科学计数法”。同时应当注意，由“计数”衍生而来的“计数单位”一词，从字面及其英译看，其本义应当是事物世界“计数过程中的单位”，是人计数过程中“看一的眼光”的产物，具有主观的差异性和表达的多样性。课程标准 中所说的计数单位，对整数和小数而言，实际上是十进制记数法中的位值，对分数而言，是分子为1的“单位分数（unit fraction）”26，凡此都与计数单位的本义不同。因此，在依据 课程标准 进行教科书编修以及教学设计时，应特别注意理解和区分计数与记数、计数单位与数的单位、计数单位与位值以及分数单位与单位分数这四对概念的意义及其关系，谨防因为误解而导致教学与评价中出现似是而非的混乱。参考文献：1 俞正强.数感，是如何丰满起来的 J.人民教育，2012（8）：45-46.2 蒋鑫源，郜舒竹.“数”与“量”的意义辨析J.教学月刊 小学版（数学)，2021（9）：4-6，14.3 戴吾三.管子“计数”新探 J.管子学刊，2000（3）：11-15.4 吕港丽，郜舒竹.“强度量”的意义与认知规律 J.教学月刊 小学版（数学），2021（12）：4-9.5 郭世荣.“数学”一词的历史演进 J.内蒙古师范大学学报（自然科学汉文版），2014，43（6）：781-786，790.6 顾汝佐，蒋冲.算术辞典（第2版）M.上海：上海科学技术出版社，2005：5.7 贾陆宇，郜舒竹.从点阵看算式 J.教学月刊 小学版（数学），2023（5）：4-8.8GOODSTEIN R L.The Arabic numerals,numbers and the definition of counting J.The math-ematical gazette，1956，（40）332：114-129.8教学月刊 小学版2023/78数学JIAOXUEYUEKANXIAOXUEBAN专题研究素养导向教学改革9 严济慈.现代初中教科书 算术（上册）M.上海：商务印书馆，1923：1-3.10 寿孝天.共和国教科书 算术 M.上海：商务印书馆，1921：2.11 郜舒竹，冯林.“无中生有”的想象 J.教学月刊 小学版（数学），2023（1/2）：4-8.12 中国社会科学院语言研究所词典编辑室.现代汉语词典（第 7 版）M.北京：商务印书馆，2016：1180.13 李继闵.九章算术 及其刘徽注研究 M.西安：陕西人民教育出版社，1990：I-V.14 杜石然.数学 历史 社会 M.沈阳：辽宁教育出版社，2003：4.15 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学 M.陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995：10.16 郜舒竹，于桓.数学课程内容的抽象性及其隐喻思维分析 J.课程教材教法，2022，42（1）：98-103.17 MCLELLAN J A,DEWEY J.The 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