深耕生本课堂,厚植学生素养——以“等差数列第一节课”为例.pdf

数学之友2023年第10 期案例分析深耕生本课堂,厚植学生素养以“等差数列第一节课”为例唐婷婷（江苏省锡山高级中学，江苏无锡，2 1417 4）摘要：基于学生素养，本文以“等差数列第一节课”为例，通过“设疑激趣、主动探究、迁移内化、互动评说”的环节，对生本课堂的提质增效进行了尝试，以期为教育工作者提供借鉴与参考.关键词：等差数列；生本课堂；学生素养式的推导.1教学背景教学难点：等差数列的“等差”特点及等差数列普通高中数学课程标准（2 0 17 年版2 0 2 0 年修订）在课程教学实施中指出：“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的.”生本课堂的本质特征是“知识为基、能力为重、素养为向”.下面笔者以人教A版选择性必修第二册第四章“数列”中“等差数列”第一课时的内容为例，阐释聚焦学生核心素养的生本课堂的教学.知识层面上，学生已经学习了数列的概念，通过类比函数的表示方法，掌握了数列的表示方法：通项公式（递推公式）法、列表法、图象法.学生经历了归纳推理的过程,具备了归纳总结和类比迁移的能力.方法层面上,通过一系列情境化问题,让学生感受到数学来源于生活又应用于生活.在等差数列通项公式的推导中,渗透了归纳、迭代、累加等数学思想方法，为学生的后续学习助力.2教学目标（1）通过情境化教学，学生能在具体的问题情境中找出等差关系，初步掌握等差数列的证明方法（2）经历等差数列概念的揭示过程，探究等差数列通项公式的多种推导方式，学生通过观察、分析、探索、归纳和推理等数学思想方法，提升数学抽象和数学建模等核心素养.（3）学生通过小组合作，会利用等差数列的定义及通项公式解决相关问题，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.3教学重点、难点教学重点：等差数列的概念和等差数列通项公22_数学之友的证明.4教学实录4.1设疑激趣，强化概念引入：上节课我们研究了数列的概念，知道数列是一种特殊的函数.我们在学习函数时先研究了函数的概念、性质,接着研究了一些基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等.那么,类比函数的研究方法，接下来应该研究基本初等数列了，那先研究哪一种基本初等数列呢？请同学们先看以下四个问题情境.情境1：北京圜丘坛为古代祭天的场所，圜丘坛的地面由石板铺成,最中间是圆形的天心石，围绕天心石的9 圈扇形石板从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.情境2:S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.情境3：测量某地垂直地面方向上海拔50 0 米以下的大气温度，得到从距离地面2 0 米起每升高10 0米处的大气温度（单位：）依次为2 5.0,2 4.4,2 3.8，23.2,22.6.情境4：某人向银行贷款x万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为T，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金6 万元，其中b=-，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为12nr,xr-br,xr-2br,xr-3br,.问题1：观察上述情境中的数列，你能用数学语言描述它们的共同特征吗？问题2：在数学学习过程中，我们经常运用“特殊数学之友到一般”“已知推未知”的思想方法，如在指数函数的学习过程中，我们可以通过运算发现问题情境中数值的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上问题情境中数列的取值规律吗？问题3：公元前16 50 年左右的埃及数学著作莱因德纸草书（Rhind Papyrus）中就有等差数列的相关记载，楚国铜环权的重量也是按等差数列来划分的.在我们日常生活中，人们也常常用到等差数列，你能举出一些身边的例子吗？设计意图：因为数列是特殊的函数,在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义.教学时，教师可适当加入等差数列的数学史，激发学生的学习兴趣，进一步让学生体会到等差数列就在身边.为了说明等差数列广泛存在于现实生活中，举了4个实际例子，其中前两个例子是关于建筑和服装设计的，说明人们在设计中会主动使用“相等间隔”的数,后两个例子则说明人们通过测量、计算等从自然界或经济生活中可能得到“间隔相等”的数.通过对具体的等差数列例子的归纳概括，我们获得等差数列的定义.等差数列的研究既起到了承上启下的作用,又为研究等比数列作出了示范.教师：（由“差都相等”引出课题,交由学生讨论得出定义)我们来看这个定义,符号语言：an-n-1=d,n2(nEN*）,为什么是从第二项起？从第一项起行不行？学生1:第一项不存在前一项,所以如果从第一项起那就没有办法作差了.教师：如果从第三项起作差行不行？学生2：如果从第三项起作差，那么第一个差就是-2,所有差中就不包含z-a了,所以数列从第二项起是等差数列.教师：看来，等差数列的定义中必须满足从第二项起,那为什么每一项与其前一项的差都等于同一个常数？能不能把“同”字去掉？学生3:那就不一定是等差数列了,反例：0,2,6,8.教师：很好！“同一个”具有任意性，所有的差都得相等，所以才叫公差.如此看来，这个定义真是反映了这类数列的特征了。问题4：一个等差数列最少需要几项？学生4：至少三项（引出等差中项的概念）.2023年第10 期问题5：（1）在等差数列la,中是否有an=an-1+an+I(T(n2,neN*)?2(2）在数列(an/中,若anN*）,则(n是等差数列吗？设计意图：从特殊到一般，研究只含三项的等差数列，给出了“等差中项”的定义及其性质.从数值上看,等差中项等于首项与末项的算术平均数.实际上，对于一般的等差数列中的三项m,pan,如果2 p=m+n,那么就有2 a,=am+an，这个性质在推导等差数列的前n项和以及证明一些等差数列的问题时都很有用.4.2主动探究，应用概念问题6:若一个等差数列(n，它的首项为1，公差是d,那么这个数列的通项公式是什么？教师：根据等差数列的定义,可得n+1-,=d,如何推导它的通项公式？学生 5:2-ar=d,a3-az2=d,a4-ag=d,于是a,=a+d,a,=a,+d=a,+2d,a4=a,+d=a+3d,an=aj+(n-1)d(n2).教师：很好！上述推理过程属于归纳推理,而由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，我们以后可以通过数学归纳法对其进行证明.还有什么别的推导方法吗？学生 6:n=d+an-1=2d+an-2=3d+an-3=.=(n-1)d+ai,检验当n=1 时成立.学生7:把n-1个等式:z-ai=d,a3-az=d,a4-a,=d,an-an-1=d 的左右两边分别依次相加,得到a,-a=(n-1)d(n2),检验当n=1时成立.从而得到数列(的通项公式.设计意图：如同一次函数等基本初等函数具有统一的表达式一样，等差数列也有统一的表达式.学生从等差数列的定义出发,得到递推公式n-n-1=d,其中n2(n eN*）.归纳法更直观,可以通过数学归纳法对其进行证明，迭代法、累加法是递推公式的一种应用。问题7：4个问题情境中数列的通项公式怎么表示？问题8：从数和形两个角度观察等差数列的通项公式,有没有发现它与我们熟悉的哪一类函数有关？问题9：已知数列,的通项公式可以表示为,=pn+q(p,qR）,那么我们是否可以判断这个数列一定是等差数列？2023.10_23an-I+an+l(2(n2,nE数学之友设计意图：进一步巩固等差数列的定义和通项公式，使学生更好地体会数列是特殊的函数，引导学生从表达式和图象两方面阐明等差数列与相应一次函数的关系.任意的一次函数，如何由它构造等差数列？一方面,等差数列属于重要的数列模型；另一方面，等差数列进一步巩固了“数列是特殊的函数”.但需要注意的是，等差数列是一次函数,定义域却是不连续的正整数.4.3迁移内化，变通概念例1（1）已知数列ianl的通项公式为a,=9-2n,求1anl的公差和首项.（2）求等差数列18,15,12，的第30 项.（3）-40 1是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？设计意图：通过对等差数列的通项公式的简单应用,帮助学生理解公式所涉及的几个基本量1,d,n,n之间的关系.使学生逐步形成利用等差数列的“基本量 建立代数关系式（方程、方程组)以解决问题的思想方法.例2 狮子座流星雨在每年的11月14日至2 1日左右出现.一般来说,流星的数目大约为每小时10颗至15颗，但平均每33年狮子座流星雨会出现一次高峰期，流星数目可超过每小时数千颗.这个现象与坦普尔塔特尔彗星的周期有关.由于狮子座流星雨的辐射点位于狮子座，因而得名.据气象台检测，2013年11月17 日曾出现一次狮子座流星雨高峰期.请你预测2 12 4年是否会出现狮子座流星雨高峰期？设计意图：例2 旨在对现实情境进行数学抽象，鼓励学生不畏困难，在错综复杂的现实背景中抽象出最为本质和核心的数量关系，建立等差数列的模型，并运用数学语言进行表达.通过解决数学问题，进而解决实际问题，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活,不断提高其数学建模和数学抽象的能力，积累活动经验，形成素养.4.4互动评说,深化概念问题10：本节课你学到了哪些？学生8：类比函数的研究过程，通过学习等差数列,可以总结出对一个数学对象的一般的研究路径.函数的事实函数的概念函数的表示函数的性质一基本初等函数一函数的应用.数列的事实数列的概念一数列的表示一数列的性质一特殊规律数列一数列的应用.设计意图：通过本节课的学习，引导学生总结出24_数学之友2023年第10 期对一个数学对象的一般研究路径,将之前学习的零散的、片段的、割裂的知识，生成相互关联的、成系统的、综合性强的知识体系，使学生不仅对本节课知识,更是对一类研究对象的研究路径有完整清晰的认识，从而通过生本课堂提升学生数学素养.5聚焦学生素养的生本课堂教学启示5.1知识为基,导航生本课堂“养其根侍其实，加其膏希其光”“以学定教”是生本课堂的重要特征.本节课依托等差数列概念的形成和通项公式的推导，把握数学知识的本质，设计并实施合理的教学活动，把教学目标渗透到问题串中，符合学生的最近发展区，让学生在质疑问难和讨论交流中提高学习兴趣，获取知识，从理解知识到迁移知识,最后到创新知识，不断感受成功的愉悦，提升能力.5.2能力为重，践行生本课堂新课程强调在教与学的过程中不仅要关注学生的学习结果,更要重视学生的学习过程，注重课堂观察,以学生的有效参与为前提,积极倡导自主学习、合作学习、探究性学习等学习方式.在本课堂学习中，学生是主体，教师通过多种方法设计探究渠道，引导学生思考、归纳、探究等差数列的相关内容,理解知识本质，进而培养学生数学抽象、数学建模等核心素养.5.3素养为向,优化生本课堂卢梭曾说：“问题不在于告诉他一个真理，而在于教他怎么发现真理”通过上节课的学习，学生发现数列是特殊的函数.本节课通过让学生回顾函数的研究过程,梳理出等差数列的研究内容、路径和方法.学生在明确“要学什么”“怎么学”的基础上，一步步展开探究.教师在教给学生等差数列知识的同时，还教会学生研究一个新的数学问题的路径,要求学生应用迁移学习的方法认识问题,应用抽象事物的思维分析问题,应用宏观体系的角度解决问题，为后续学习等比数列积累数学活动经验。参考文献：1 温建亿.基于数学核心素养培养学生提出问题能力的意义分策略 J.数学教育学报,2 0 2 3,32（3)：13-17.2余明芳,王锐敏.数学精神素养涵育：教学的进路与方略 J.中国教育学刊,2 0 2 3（6）：7 4-7 9.3张兵源.数学运算素养培养的联系与思考J.数学通报,2 0 2 3,6 2(2):9-13.