数列复习题.doc

每一个闹钟身边，都有一个不想起床的懒虫
1. 若数列{an}的通项公式是an=2(n＋1)＋3，则此数列 ( A )
(A)是公差为2的等差数列 (B)是公差为3的等差数列
(C) 是公差为5的等差数列 (D)不是等差数列
2．下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ A ）
（A）380 （B）39 （C）35 （D）23
3．在等差数列中，公差，，则的值为（B ）
（A）40 （B）45 （C）50 （D）55
4．在等差数列｛a｝中，已知a=2,a+a=13，则a+a+a等于（ B ）
A.40 B.42 C.43 D.45
解：在等差数列中，已知∴ d=3，a5=14，=3a5=42，选B.
5. 含2n+1个项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 ( B )
(A) (B) (C) (D)
6． 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ C ）
A.5 B.4 C. 3 D. 2
解：，故选C.
7．设是公差为正数的等差数列，若，，则（B ）
A． B． C． D．
【解析】是公差为正数的等差数列，若，，则，，∴ d=3，，，选B.
8. 若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ A ）
A 公差为2的等差数列 B. 公差为的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为的等比数列
9. 等差数列的前n项和当首项和公差d变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是（ B ）
A、 B.S C、 D、
10. 数列{an}的通项公式，已知它的前n项和为Sn=9，则项数n=( C )
(A)9 (B)10 (C)99 (D)100
11. 数列{an}、{bn}都是等差数列，它们的前n项的和为，则这两个数列的第5项的比为 ( C )
(A) (B) (C) (D)以上结论都不对
12. 已知，则a，b，c ( B )
(A)成等差数列 (B)成等比数列
(C)既成等差数列又成等比数列 (D)既不成等差数列又不成等比数列
13. 若一等差数列前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为350，则此数列共有( A )
(A)10项 (B)11项 (C)12项 (D)13项
14．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( C )．
A．33 B．72 C．84 D．189
设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，
即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，
∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．
15．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( B )．
A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5
解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，
∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．
16．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则
｜m－n｜等于( C )．
A．1 B． C． D．
解：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．
由等差数列的性质：若g＋s＝p＋q，则ag＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，∴m＝，n＝，∴｜m－n｜＝．
17．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( B )．
A．4 005 B．4 006 C．4 007 D．4 008
解：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，

∴S2 003为Sn中的最大值．
∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，
∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，
∴在对称轴的右侧．
根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右
侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，
Sn＞0的最大自然数是4 006．
18．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( B )．
A．－4 B．－6 C．－8 D． －10
解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，
又由a1，a3，a4成等比数列，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6．
17．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( A )．
A． B．－ C．－或 D．
解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，
∴d＝－1，q2＝2，∴＝＝．
20．已知数列中以后各项由公式给出，则（A ）
A． B．－ C． D．
解析：因为，所以，
，；
21．已知成等差数列，成等比数列，则等于（D ）
A． B． C．8 D．－8
解析：∵－9，a1，a2，－1成等差数列，所以；
∵成等比数列，所以；∴；
22．在3和9之间插入两个正数，使前三个成等比数列，后三个成等差数列，则这两个数的和是（ A ）
A． B． C． D．9
解析：设中间两数为，则；解得，所以；
23．已知等差数列中，，公差；是数列的前n项和，则（ D ）
A． B． C． D．
解析：∵，，∴，且，∴，，；∴；
24．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为 （C ）
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有，∴q＝＝2；
又，∴，∴2n＝8，故这个数列的项数为8；
25．一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以为圆心，为半径画弧，这样画到第圈，则所得螺旋线的总长度为 （ A ）
A． B． C． D．
26. 数列1，，，……，的前n项和为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题
1. 已知等差数列公差d＞0,a3a7=－12,a4+a6=－4,则S20=_______180
2. 已知数列则其前n项和Sn=________.
3. 数列前n项和为Sn=n2+3n,则其通项an等于____________. 2n+2
4. 等比数列{an}中, 公比为2, 前99项之和为56, 则a3+a6+a9+…a99等于________.32
5. 已知数列1, , 前n项的和为____________.
6. 等比数列的前三项为，，，则
7． 若数列满足：，2，3….则　　　　　　.
解：数列满足：，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，∴ .
8．设为等差数列的前n项和，＝14，－＝30，则＝　　54　　.
解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得
，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝
9．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 . 26
解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，
∴S13＝＝＝＝26．
10．已知数列的前n项的和满足,则= ．
解析：由得，∴，
∴，；∴=；
11．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝ ；当n＞4时，f(n)＝ ．
5，(n＋1)(n－2)．
解析：每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．
由f(3)＝2，
f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，
f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，
……
f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，
相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．
ICME－7
图甲
O
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
图乙
12. 如图甲是国际数学教育大会（简称ICME－7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式为＝ ▲ ．
答案：

13. 已知数列{an}的前n项和,则=
答案：350

14. 如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）……

试用 n表示出第n个图形的边数 .3×4n－1.
15. 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所示．若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第5件工艺品所用的宝石数为 颗；第件工艺品所用的宝石数为 颗 (结果用表示). 答案：66，
第1件
第2件

第3件

第4件

解答题
1．已知数列是一个等差数列，且，．
（1）求的通项； （2）求前n项和的最小值．
解：（1）设的公差为，由已知条件，，解出，．
所以．
（2）．所以时，取到最小值．
2. 已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列的公差。
因为 所以 解得
所以
（Ⅱ）设等比数列的公比为
因为 所以 即=3
所以的前项和公式为
3. 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q； （2）求－＝3，求
解：（Ⅰ）依题意有
由于 ，故
又，从而
（Ⅱ）由已知可得 故
从而
4. 已知等比数列中，，，等差数列中，，且．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．
解：（Ⅰ）因为 ，所以
又因为，所以，故公比 所以
（Ⅱ）设公差为，所以 …………………8分
由，可知， 所以
5. 已知等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设等比数列各项均为正数，其前项和，若，求．
解：（1）设等差数列首项为a，
解得

（2）设各项均为正数的等比数列

即 ………………8分
解得………………10分
或
6．已知函数，又 成等比数列。
（1）求函数的解析式；
（2）设，求数列的前n项和。
解：（I）函数的解析式是
（II）
……12分
7．已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由已知得，∴当时，；
∴，即，∴当时，；
∴数列为等比数列，且公比；
又当时，，即，∴； ∴.
（2）∵，∴；
∴的前项和.
8. 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.
（Ⅰ）求通项及；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.

9．数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求
解：（Ⅰ）由可得，两式相减得
又 ∴
故是首项为，公比为得等比数列 ∴
（Ⅱ）设的公差为由得，可得，可得
故可设又
由题意可得
解得
∵等差数列的各项为正，∴∴
∴
10．已知单调递增的等比数列满足：；
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为,求成立的正整数n的最小值.
解：(1)设等比数列的首项为，公比为q，
依题意，有，解之得或；
又单调递增，∴，∴.
（2）依题意，,
∴ ①，
∴ ②，
∴①-②得＝；
∴即为，
∵当n≤4时，；当n≥5时，.
∴使成立的正整数n的最小值为5.

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