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第七章　恒定电流
学案32 电阻定律 部分电路欧姆定律

一、概念规律题组
1．下列说法中正确的是(　　)
A．导体中只要电荷运动就形成电流
B．在国际单位制中，电流的单位是A
C．电流有方向，它是一个矢量
D．任何物体，只要其两端电势差不为零，就有电流存在
E．根据I＝q/t，可知I与q成正比
2．(2010·广东实验中学模块考试)有一横截面积为S的铜导线，流经其中的电流为I，设每单位体积的导线中有n个自由电子，每个自由电子的电荷量为q，此时电子定向移动的速率为v，则在Δt时间内，通过导体横截面的自由电子数目可表示为(　　)
A．nvSΔt B．nvΔt C. D.
3．关于导体的电阻及电阻率的说法中，正确的是(　　)
A．由R＝ρ知，导体的电阻与长度l、电阻率ρ成正比，与横截面积S成反比
B．由R＝可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比
C．将一根导线一分为二，则半根导线的电阻和电阻率都是原来的二分之一
D．某些金属、合金和化合物的电阻率随温度降低会突然减小为零，这种现象叫做超导现象．发生超导现象时，温度不为绝对零度
4．根据欧姆定律，下列说法中正确的是(　　)
A．从关系式U＝IR可知，导体两端的电压U由通过它的电流I和它的电阻R共同决定
B．从关系式R＝U/I可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比
C．从关系式I＝U/R可知，导体中的电流跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比
D．从关系式R＝U/I可知，对一个确定的导体来说，所加的电压跟通过导体的电流的比值是一定值
二、思想方法题组
5．两根完全相同的金属裸导线，如果把其中的一根均匀拉长到原来的2倍，把另一根对折后绞合起来，然后给它们分别加相同电压后，则在同一时间内通过它们的电荷量之比为(　　)
A．1∶4 B．1∶8
C．1∶16 D．16∶1
6.

图1
某导体中的电流随其两端电压的变化，如图1所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．加5 V电压时，导体的电阻约是5 Ω
B．加11 V电压时，导体的电阻约是1.4 Ω
C．由图可知，随着电压的增大，导体的电阻不断减小
D．由图可知，随着电压的减小，导体的电阻不断减小

一、电流的微观解释
1．电流的微观表达式

图2
(1)建立微观模型：如图2所示，粗细均匀的一段导体长为l，横截面积为S，导体单位体积内的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q，当导体两端加上一定的电压时，导体中的自由电荷沿导体定向移动的速率为v.
(2)在时间t内有长度l＝vt的自由电荷全部通过了截面D.
(3)这些电荷的总电荷量为Q＝nvt·S·q.
(4)电流的表达式：I＝＝nqSv.
(5)结论：从微观上看，电流由导体中自由电荷的密度、电荷定向移动的速率、导体的横截面积共同决定．
2．与电流有关的三种速率的比较
名称
电荷定向移动速率
电流的传导速率
电荷无规则热运动速率
概念
自由电荷沿某一方向运动的速率
电场的传播速率
自由电荷做无规则运动的速率
速率大小
金属导体中约为10－5 m/s
等于光速3×108 m/s
约为105 m/s
【例1】 (2011·江苏镇江模拟)一根粗细均匀的金属导线，两端加上恒定电压U时，通过金属导线的电流为I，金属导线中自由电子定向移动的平均速率为v，若将金属导线均匀拉长，使其长度变为原来的2倍，仍给它两端加上恒定电压U，则此时(　　)
A．通过金属导线的电流为
B．通过金属导线的电流为
C．自由电子定向移动的平均速率为
D．自由电子定向移动的平均速率为
二、对电阻、电阻率的理解
1．电阻与电阻率的区别
(1)电阻是反映导体对电流阻碍作用大小的物理量．电阻率是反映制作导体的材料导电性能好坏的物理量．
(2)导体电阻与电阻率无直接关系，即电阻大，电阻率不一定大；电阻率小，电阻不一定小．
(3)金属的电阻率随温度的升高而增大．
2．电阻的定义式和决定式对比
公式
R＝
R＝ρ
适用条件
适用于任何纯电阻导体
只适用于粗细均匀的金属导体和浓度均匀的电解液
字母含义
U：导体两端的电压I：通过导体的电流
ρ：材料电阻率
l：沿电流方向导体的长度
S：垂直电流方向导体的横截面积
公式含义
反映了导体对电流的阻碍作用，不能说R∝U、R∝
R的决定式，R由ρ、l、S共同决定
3.应用电阻定律的解题技巧
R＝ρ是电阻的决定式，对于同一段导体，l与S往往是相关联的，分析求解时应全面考虑．
【例2】 如图3甲所示为一测量电解液电阻率的玻璃容器，P、Q为电极，设a＝1 m，b＝0.2 m，c＝0.1 m，当里面注满某电解液，且P、Q加上电压后，其U－I图象如图乙所示，当U＝10 V时，求电解液的电阻率ρ.

图3

[规范思维]

[针对训练1]　(2009·广东理科基础·5)导体的电阻是导体本身的一种性质，对于同种材料的导体，下列表述正确的是(　　)
A．横截面积一定，电阻与导体的长度成正比
B．长度一定，电阻与导体的横截面积成正比
C．电压一定，电阻与通过导体的电流成正比
D．电流一定，电阻与导体两端的电压成反比
[针对训练2]　金属材料的电阻率有以下特点：一般而言，纯金属的电阻率小，合金的电阻率大；有的金属的电阻率随温度变化而显著变化，有的合金的电阻率几乎不受温度的影响．根据以上的信息，判断下列说法中正确的是(　　)
A．连接电路用的导线一般用合金来制作
B．电炉、电热器的电阻丝一般用合金来制作
C．电阻温度计一般用电阻率几乎不受温度影响的合金来制作
D．标准电阻一般用电阻率随温度变化而显著变化的金属材料制作
三、欧姆定律及伏安特性曲线的应用
1．欧姆定律
(1)公式I＝，是电流的决定式，I正比于电压，反比于电阻．
(2)公式中的I、U和R三个量必须对应同一段电路或同一段导体．
(3)适用范围：适用于金属、电解液等纯电阻电路．对于气体导电，含有电动机、电解槽等非纯电阻电路不适用．
2．对伏安特性曲线的理解(如图4甲、乙所示)

图4
(1)图线a、e、d、f表示线性元件，b、c表示非线性元件．
(2)在图甲中，斜率表示电阻的大小，斜率越大，电阻越大，Ra>Re.
在图乙中，斜率表示电阻倒数的大小．斜率越大，电阻越小，Rd<Rf.
(3)图线b的斜率变小，电阻变小，图线c的斜率变大，电阻变小．(注意：曲线上某点切线的斜率不是电阻或电阻的倒数．根据R＝，电阻为某点和原点连线的斜率或斜率倒数．)
【例3】 (2011·重庆·20)在测量电珠伏安特性实验中，同学们连接的电路中有四个错误电路，如图5所示．电源内阻不计，导线连接良好．若将滑动变阻器的触头置于左端，闭合S，在向右端滑动触头过程中，会分别出现如下四种现象：
a．电珠L不亮；电流表示数几乎为零
b．电珠L亮度增加；电流表示数增大
c．电珠L开始不亮，后来忽然发光；电流表从示数不为零到线圈烧断
d．电珠L不亮；电流表从示数增大到线圈烧断

图5
与上述a、b、c、d四种现象对应的电路序号为(　　)
A．③①②④ B．③④②①
C．③①④② D．②①④③
[规范思维]

【例4】 在如图6甲所示的电路中，电源电动势为3.0 V，内阻不计，L1、L2、L3为3个相同规格的小灯泡，这种小灯泡的伏安特性曲线如图乙所示．当开关闭合后，下列关于电路中的灯泡的判断中，正确的是(　　)

图6
A．灯泡L1的电阻为12 Ω
B．通过灯泡L1的电流为灯泡L2的电流的2倍
C．由图乙看出，灯泡的电阻率随着所加电压U的增加而变小
D．灯泡L2消耗的电功率为0.30 W
[规范思维]

[针对训练3]　通过某一金属氧化物制成的导体棒P中的电流遵循I＝KU3的规律，其中K＝0.02 A/V3，现将该导体棒P与一个遵从欧姆定律的电阻器Q串联在一起后，接在一个两端电压为6.0 V的电源上，电路中的电流为0.16 A，所串联的电阻器Q的阻值是多少？

【基础演练】
1．(2011·南京模拟)

图7
温度能明显地影响金属导体和半导体材料的导电性能，如图7所示的图线分别为某金属导体和某半导体的电阻随温度变化的关系曲线，则(　　)
A．图线1反映半导体材料的电阻随温度的变化关系
B．图线2反映金属导体的电阻随温度的变化关系
C．图线1反映金属导体的电阻随温度的变化关系
D．图线2反映半导体材料的电阻随温度的变化关系
2．下列说法中正确的是(　　)
A．由R＝可知，导体的电阻跟导体两端的电压成正比，跟导体中的电流成反比
B．由I＝可知，通过导体的电流跟导体两端的电压成正比，跟它的电阻成反比
C．导体的电阻率由导体本身的物理条件决定，与温度无关
D．欧姆定律I＝，不仅适用于纯电阻电路，对于非纯电阻电路也适用
3．下列说法中，错误的是(　　)
A．每种金属都有确定的电阻率，电阻率不随温度变化
B．导线越细越长，其电阻率也越大
C．一般金属的电阻率，都随温度升高而增大
D．测电阻率时，为了提高精度，通过导线的电流要足够大，而且要等到稳定一段时间后才可读数
4．某用电器与供电电源的距离为L，线路上的电流为I，若要求线路上的电压降不超过U，已知输电导线的电阻率为ρ，那么，该输电导线的横截面积的最小值是(　　)
A. B. C. D.
5．(2011·镇江模拟)用一稳压电源给装在一个圆管子内的水银通电，电流为0.1 A，若把全部水银倒在一个内径大一倍的管子里，那么通过水银的电流将是(　　)
A．1.6 A B．0.8 A C．0.4 A D．3.2 A
6.

图8
在如图8所示电路中，AB为粗细均匀，长为L的电阻丝，以AB上各点相对A点的电压为纵坐标，各点离A点的距离x为横坐标，则U随x变化的图线应为下图中的(　　)

【能力提升】

7.

图9
如图9所示，两个截面不同，长度相等的均匀铜棒接在电路中，两端电压为U，则(　　)
A．通过两棒的电流不相等
B．两棒的自由电子定向移动的平均速率不同
C．两棒内的电场强度不同，细棒内场强E1大于粗棒内场强E2
D．细棒的电压U1大于粗棒的电压U2
8.

图10
小灯泡通电后其电流I随所加电压U变化的图线如图10所示，P为图线上一点，PN为图线的切线，PQ为U轴的垂线，PM为I轴的垂线，下列说法中正确的是(　　)
A．随着所加电压的增大，小灯泡的电阻增大
B．对应P点，小灯泡的电阻为R＝
C．对应P点，小灯泡的电阻为R＝
D．对应P点，小灯泡的功率为图中矩形PQOM所围“面积”
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

9.(2011·宁波模拟)如图11所示为某一热敏电阻(电阻值随温度的改变而改变，且对温度很敏感)的I－U关系曲线图．

图11
(1)为了通过测量得到图11所示I－U关系的完整曲线，在图12甲和乙两个电路中应选择的是图________；
简要说明理由：________；(已知电源电动势为9 V，内阻不计，滑动变阻器的阻值为0～100 Ω)
(2)在图丙电路中，电源电压恒为9 V，电流表读数为70 mA，定值电阻R1＝250 Ω.由热敏电阻的I－U关系曲线可知，热敏电阻两端的电压为________V；电阻R2的阻值为________Ω；

图12
10.

图13
有一种“电测井”技术，用钻头在地上钻孔，通过在钻孔中进行电特性测量，可以反映地下的有关情况，如图13所示为一钻孔，其形状为圆柱体，半径为10 cm，设里面充满浓度均匀的盐水，其电阻率ρ＝0.314 Ω·m，现在钻孔的上表面和底部加上电压测得U＝100 V，I＝100 mA.求该钻孔的深度．

11．大气中存在可自由运动的带电粒子，其密度随距地面高度的增加而增大，可以把离地面50 km以下的大气看做是具有一定程度漏电的均匀绝缘体(即电阻率较大的物质)；离地面50 km以上的大气则可看做是带电粒子密度非常高的良导体，地球本身带负电，其周围空间存在电场．离地面l＝50 km处与地面之间的电势差约为U＝3.0×105 V．由于电场的作用，地球处于放电状态．但大气中频繁发生雷暴又对地球充电，从而保证了地球周围电场恒定不变，统计表明，雷暴每秒带给地球的平均电荷量约为q＝1 800 C．试估算大气电阻率ρ和地球漏电功率P.(已知地球半径r＝6 400 km，结果保留一位有效数字)

学案32　电阻定律　部分电路欧姆定律
【课前双基回扣】
1．B　[自由电荷定向移动才形成电流，故选项A错误．形成电流的条件是导体两端保持有一定的电势差，且必须是导体，故选项D错误．电流有方向，但它是标量，故选项C错误．I＝q/t只是电流的定义式，它与q、t皆无关，显然E项是错误的．正确选项为B.]
2．AC　[此题考查对电流公式I＝q/t的理解及电流的微观表达式I＝nqvS的理解．在Δt时间内，以速度v移动的电子在铜导线中经过的长度为vΔt，由于铜导线的横截面积为S，则在Δt时间内，电子经过的导线体积为vΔtS.又由于单位体积的导线中有n个自由电子，在Δt时间内，通过导线横截面的自由电子数目可表示为nvSΔt，故A正确．由于流经导线的电流为I，则在Δt时间内，流经导线的电荷量为IΔt，而电子的电荷量为q，则Δt时间内通过导线横截面的自由电子数目可表示为，故C也正确．]
3．AD　[导体的电阻率由材料本身的性质决定，并随温度的变化而变化，导体的电阻与长度、横截面积有关，与导体两端的电压及导体中的电流无关，A对，B、C错．电阻率反映材料的导电性能，电阻率常与温度有关，并存在超导现象．绝对零度只能接近，不可能达到，D对．]
4．CD　[U＝IR和I＝的意义不同，可以说I由U和R共同决定，但不能说U由I和R共同决定，因为电流产生的条件是导体两端存在电势差，故A错，C对；可以利用R＝计算导体的电阻，但R与U和I无关．故B错，D对．正确选项为C、D.]
5．C　[本题应根据导体的电阻R＝ρl/S，欧姆定律R＝U/I和电流定义式I＝q/t求解．
对于第一根导线，均匀拉长到原来的2倍，则其横截面积必然变为原来的1/2，由导体的电阻公式可知其电阻变为原来的4倍．
第二根导线对折后，长度变为原来的1/2，横截面积变为原来的2倍，故其电阻变为原来的1/4.
给上述变化后的裸导线加上相同的电压，由欧姆定律得：
I1＝，I2＝＝4U/R
由I＝q/t可知，在同一时间内，电荷量之比q1∶q2＝I1∶I2＝1∶16
故C项正确．]
6．AD　[对某些导电器材，其伏安特性曲线不是直线，但曲线上某一点的值仍表示该点所对应的电阻值．本题中给出的导体在加5 V电压时，值为5，所以此时电阻为5 Ω；当电压增大时，值增大，即电阻增大，综合判断可知A、D项正确．]

思维提升
1．电流虽然有方向，但它是标量．
2．在电解液导电中，既有正电荷的定向移动，也有负电荷的定向移动．公式I＝中的q应是通过某一横截面的正负电荷量绝对值之和．
3．R＝只是定义式，电阻R是导体本身的一种属性，与U及I无关．不能说R正比于U，反比于I.
4．电阻率是反映导体导电性能的物理量，是导体材料本身的属性．
电阻率与温度的关系
(1)金属的电阻率随温度升高而增大．
(2)半导体的电阻率随温度升高而减小．
(3)超导体：当温度降低到绝对零度附近时，某些材料的电阻率突然减小为零成为超导体．
5．在I－U图线上，某点与坐标原点的连线的斜率表示此点对应的电阻的倒数．
【核心考点突破】
例1 BC　[金属导线均匀拉长，使其长度变为原来的2倍，横截面积变为原来的，电阻变为原来的4倍，两端加上恒定电压U，则通过金属导线的电流为，A错误，B正确．根据I＝nqSv可知自由电子定向移动的平均速率为，C正确，D错误．]
例2 40 Ω·m
解析　由题图乙可求得电解液的电阻为
R＝＝ Ω＝2 000 Ω.
由题图甲可知电解液长为：l＝a＝1 m，
截面积为：S＝bc＝0.02 m2.
结合电阻定律R＝ρ
得ρ＝＝ Ω·m.＝40 Ω·m.
[规范思维]　(1)在图象中，要利用R＝而不是R＝求R.
(2)利用R＝ρ求ρ时，要根据电流正确判断l、S，沿电流方向导体的长度为l，垂直于电流方向的横截面积才是S.
例3 A　[图①是滑动变阻器的分压式接法，向右滑动触头，电珠两端电压增大，亮度增加，根据电珠与滑动变阻器串并联情况可知，总阻值逐渐减小，电流表示数增大，此种情况与b对应．②中电流表将电珠短路，电珠不亮，当滑动变阻器接入电路阻值很小时，电流表线圈烧断，电珠不再被短路而发光，此种情况与c对应．③中电压表与电珠串联，电珠处电流几乎为零，不亮，电流表示数几乎为零，此种情况与a对应．④中电压表与电珠串联，电珠不亮，当滑动触头滑至接近右端时，电流表两端电压过大，电流表线圈被烧断，此种情况与d对应．综上可知，选项A正确．]
[规范思维]　掌握串并联电路的规律，特别是“串联分压，并联分流”的规律，是正确分析本题的关键．另外，滑动变阻器分压接法和限流接法的不同点也应熟知．
例4 AD　[L1两端的电压为3 V，由图乙知，通过L1的电流为0.25 A，所以L1的电阻为12 Ω，A选项正确；L2和L3串联，每个灯泡的电压为1.5 V，由图乙可知，通过L2、L3的电流为0.2 A，所以灯泡L2、L3消耗的电功率为0.30 W，故D选项正确；L1与L2的电流不是两倍关系，所以B选项错误．灯泡的I－U图线的斜率逐渐变小，表示灯泡的电阻变大，电阻率也是变大的，C选项错误．]
[规范思维]　(1)解本题首先由串并联关系确定灯两端的电压，进而由I－U曲线确定每个灯的电流，然后或求电阻或求功率；注意R＝，不等于切线的斜率．
(2)利用曲线解题的基本思路：
①首先分清是I－U图线还是U－I图线．
②搞清图线斜率的物理意义，即k＝R(或k＝)．
为了搞清这个问题，最好是将图线的斜率转化为物理公式，看k＝还是k＝，若斜率是k＝，则k＝R；若k＝，则k＝.
③必要时配合部分电路欧姆定律．
[针对训练]
1．A　2.B
3．25 Ω
解析　设P和Q上的电压分别为UP、UQ，对导体棒P，由I＝KU3得：UP＝ ＝ V＝2.0 V
则UQ＝U总－UP＝(6.0－2.0) V＝4.0 V
对电阻器Q，由I＝得：
RQ＝＝ Ω＝25 Ω.

思想方法总结
1．电流的微观表达式I＝nqSv，S为导体的横截面积，v为导体中自由电荷沿导体定向移动的速率，n为导体单位体积内的自由电荷数，从微观看，电流决定于导体中自由电荷的密度、电荷定向移动的速度，还与导体的横截面积有关．
2．电阻定律的应用技巧
(1)R＝ρ是电阻的决定式，对同一段导体，往往l与S是相关联变化的，分析求解时应全面考虑．
(2)要根据电流正确判断l、S，沿电流方向导体的长度为l，垂直于电流方向的横截面积才是S.
3．利用伏安特性曲线解题的基本思路：
(1)首先分清是I－U图线还是U－I图线．
(2)搞清图线斜率的物理意义，即k＝R(或k＝)．注意R＝，不等于切线的斜率，为了搞清这个问题，最好是将图线的斜率转化为物理公式，看k＝还是k＝，若斜率是k＝，则k＝R；若k＝，则k＝.
(3)必要时配合部分电路欧姆定律．
【课时效果检测】
1．CD　2.B　3.ABD
4．B　[由欧姆定律有R＝，由电阻定律有R＝ρ，联立解得S＝，B正确．]
5．A　　6.A　7.BCD　8.ABD
9．(1)甲　调压范围大　(2)5.2　111.8(111.6～112.0均可)
解析　(1)用实验探究半导体热敏电阻的I－U关系的完整曲线时，一般要求电路的电压从0 V调到所需电压，调节范围应大些．所以应选择的电路图是图甲．
(2)由欧姆定律可知I1＝＝ A＝36 mA，则流过热敏电阻的电流为I2＝I－I1＝70 mA－36 mA＝34 mA，由I－U关系曲线得热敏电阻两端的电压为5.2 V；电阻R2的阻值为R2＝＝ Ω＝111.8 Ω(111.6 Ω～112.0 Ω均正确)．
10．100 m
解析　设该钻孔内的盐水的电阻为R，
由R＝，得R＝ Ω＝103 Ω
由电阻定律R＝ρ，得l＝＝ m＝100 m.
11．2×1012 Ω·m　5×108 W
解析　本题中把50 km厚的漏电均匀绝缘体视为一个导体，其长度为50 km，横截面积为地球的表面积，所加电压为U＝3.0×105 V
则由题意得I＝＝1 800 A
R＝＝ Ω＝×103 Ω
又由电阻定律R＝ρ＝
得ρ＝＝ Ω·m
≈2×1012 Ω·m
地球漏电功率为P＝UI＝3×105×1 800 W≈5×108 W

易错点评
1．在电流的微观表达式I＝nqvS中，v是电荷的定向移动速率，它不是电流的传导速率，也不是电荷热运动速率，要注意这三个速率的区别．
2．R＝只是电阻的定义式，R由导体本身的特性决定，与U、I无关．R＝ρ才是导体电阻的决定式．R反映了导体对电流的阻碍作用的大小，电阻率ρ是由导体材料决定的，反映的是这种材料导电性能的优势．
3．在第9题中，求解R2的电阻时，既要灵活利用电路的串并联关系，欧姆定律，也要注意题目所给图象的应用．求热敏电阻的电压时，就是从它的I－U图象中，找出既定电流对应的电压值．这点是同学们做题时不易想到的．