数学几何旋转综合题.doc

中考数学几何旋转综合题
1.（2009年山东德州）23． (本题满分10分)
已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
F
B
A
D
C
E
G
第23题图①
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

F
B
A
D
C
E
G
第23题图②

F
B
A
C
E
第23题图③
D

解：（1）证明：在Rt△FCD中，
∵G为DF的中点，∴ CG=FD．………… 1分
同理，在Rt△DEF中，
EG=FD． ………………2分
∴ CG=EG．…………………3分
（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分
证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．[来源:学#科#网Z#X#X#K]
F
B
A
D
C
E
G
M
N
N
图 ②（一）
在△DAG与△DCG中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．………………………5分
在△DMG与△FNG中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分
在Rt△AMG 与Rt△ENG中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
F
B
A
D
C
E
G
M
图 ②（二）

∴ EG=CG． ……………………………8分
证法二：延长CG至M,使MG=CG，
连接MF，ME，EC， ……………………4分
在△DCG 与△FMG中，
∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，
∴△DCG ≌△FMG．
∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．
∴MF∥CD∥AB．………………………5分
∴．
在Rt△MFE 与Rt△CBE中，
∵ MF=CB，EF=BE，
∴△MFE ≌△CBE．
∴．…………………………………………………6分
F
B
A
D
C
E
图③
G
∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分
∴ △MEC为直角三角形．
∵ MG = CG，
∴ EG=MC．
∴ ．………………………………8分
（3）（1）中的结论仍然成立，
即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分

2. (2009山西)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a(0°＜a＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点．
(1)如图22－4(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论；

图23－4(a)
(2)如图23－4(b)，当a＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；

图23－4(b)
(3)在(2)的情况下，求ED的长．

解 (1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF．
∴△ABE≌△C1BF．
∴BE＝BF．又∵BA1＝BC，
∴BA1－BE＝BC－BF，即EA1＝FC．
(2)四边形BC1DA是菱形．
证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，
∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB＝BC1，∴四边形BC1DA是菱形．
(3)如图23－4(c)，过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1．

图23－4(c)
在Rt△AEG中，由(2)知四边形BC1DA是菱形，
∴AD＝AB＝2．

如图23－5(a)，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，，将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′(如图23－5(b)，点D′，E′分别与点D，E对应)，点E′在AB上，D′E′与AC交于点M．

图23－5
(1)求∠ACE′的度数；
(2)求证：四边形ABCD′是梯形；
(3)求△AD′M的面积．
分析 注意旋转前后对应元素的关系，以及图中隐含的45°、30°等特殊角，将△AD′M的面积转化为S△AD′E′－S△AME′，利用方程的思想求解．
解 (1)如图23－5(a)，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∠EDC＝90°．
∴CE＝CE′＝4．
如图23－5(b)，在Rt△ACE′中，
∠E′AC＝90°，，CE′＝4，

∴∠ACE′＝30°．
(2)如图23－5(b)，
∵∠D′CE′＝∠ACB＝45°，∠ACE′＝30°，
∴∠D′CA＝∠E′CB＝15°．
又，∴△D′CA∽△E′CB．
∴∠D′AC＝∠B＝45°．
∴∠ACB＝∠D′AC．∴AD′∥BC．
∵∠B＝45°，∠D′CB＝60°，∴∠ABC与∠D′CB不互补，∴AB与D′C不平行．
∴四边形ABCD′是梯形．
(3)在图23－5(c)中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F，过D′作D′G⊥AB，垂足为G．作∠AMH＝60°交AE′于H．
可得∠FCD′＝∠ACF－∠ACD′＝30°．
在Rt△ACF中，

在Rt△D′CF中，
∴△AD′E中，AD′＝，
AE′＝2，∠BAD′＝135°．
在Rt△AD′G中，

设AM＝x，可得，MH＝HE′＝2－
在Rt△AMH中，由AM2＋AH2＝MH2，
可得
化简，得
解得
由AM＜AC可得．

3. (2009湖南常德)如图23－8(a)，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．

图23－8
(1)当把△ADE绕A点旋转到图23－8(b)的位置时，D，E，B三点共线，CD＝BE是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；
(2)当△ADE绕A点旋转到图23－8(c)的位置时，D，E，B三点不共线，△AMN是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB＝2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．
解 (1)如图23－8(b)CD＝BE．理由如下：
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAC＝60°．
∵∠BAE＝∠BAC－∠EAC，
∠DAC＝∠EAD－∠EAC，
∴∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ACD．
∴CD＝BF．
(2)如图23－8(c)，△AMN是等边三角形，理由如下：
同理可证△ABE≌△ACD，
∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD．
∵M，N分别是BE，CD的中点，

∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAC．
∴∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠BAC＝60°．
∴△AMN是等边三角形．
设AD＝a，则AB＝2a．
∵AD＝AE＝DE，AB＝AC，∴CE＝DE．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DEC＝120°，∠ADE＝60°．
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∠ADC＝90°．
在Rt△ADC中，AD＝a，∠ACD＝30°，

∵N为DC的中点，

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN＝∶

4. (2009宁波)如图23－9(a)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(－8，0)，直线BC经过点B(－8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a°得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′，直线B′C′分别与直线BC相交于点P，Q．

图23－9
(1)四边形OABC的形状是______，
当a＝90°时，的值是______；
(2)①如图23－9(b)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时，求的值；
②如图23－9(c)，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求△OPB′的面积；
(3)在四边形OABC的旋转过程中，当0°＜a≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 (1)矩形(或长方形)，；(2)①先证△COP∽△A′OB′，再证△B′CQ∽△B′C′O，并求出CQ，BQ的长，从而可得的值；②易证△OCP≌△B′A′P，∴OP＝B′P，CP＝A′P，设B′P＝x，在Rt△OCP中，根据勾股定理解出x的值，得到S△OPB′；(3)先假设存在这样的点P和点Q，使，再根据已知条件分类讨论求解．
解 (1)矩形(长方形)，．
(2)①∵∠POC＝∠B′OA′，∠PCO＝∠OA′B′＝90°，
∴△COP∽△A′OB′，即

同理，△B′CQ∽△B′C′O，

在Rt△A′OB′中，
∴CQ＝3，BQ＝BC＋CQ＝11．
②在△OCP和△B′A′P中，

∴△OCP≌△B′A′P．
∴OP＝B′P，CP＝A′P．
设B′P＝x，在Rt△OCP中，CP＝A′P＝OA′－OP＝8－x．
(8－x)2＋62＝x2，解答
∴S△OPB′
(3)存在这样的点P和点Q，使
点P的坐标是
对于第(3)题，我们提供如下详细解答：
过点Q作QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH＝OC′＝OC，
∵S△POQ＝，S△POQ，
∴PQ＝OP．
设BP＝x，∵∴BQ＝2x．
①如图23－9(d)，当点P在点B的左侧时，
OP＝PQ＝BQ＋BP＝3x，
在Rt△PCO中，(8＋x)2＋62＝(3x)2．
解得(舍去)．

图23－9
②如图23－9(e)，当点P在点B的右侧时，
OP＝PQ＝BQ－BP＝x，PC＝8－x．
在Rt△PCO中，(8－x)2＋62＝x2解得

综上可知，存在点，使