初三数学旋转综合题.doc

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图形旋转练习题 第七周
1. 如图1，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，求∠APB的度数。

2. 如图P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。

3.设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持∠EAF=450，
AP⊥EF于点P
（1） 求证：AP=AB，（2）若AB=5，求ΔECF的周长。
4.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．
（1）若∠EAF=45º．求证：EF=BE+DF．
（2）若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？
图17
（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

5．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.
⑴求∠DCE的度数；
⑵当AB=4，AD∶DC=1∶3时，求DE的长.

6. (1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连结PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°．
A
B
C
P
Q
第6题图②①
(2) 如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连结PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明理由.

Q
C
P
A
B
第6题图①

7.阅读下面材料，并解决问题：
(1)如图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5则∠APB=__________，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌__________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
(2)请你利用第(1)题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图(11)，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2 ．

8. （1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 ．

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．

9.操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
　　（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
B
图2
A
E11
C
D11
O
F
　　（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

10.把两个三角形按如图1放置，其中，，，且，．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2，这时AB与CD1相交于点，与D1E1相交于点F．
（1）求的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把△D1CE1绕点顺时针再旋转30°得到△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由．

11．如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.
（1）FG与DC的位置关系是 ,FG与DC的数量关系是 ；
B
D
A
F
E
G
C
B
A
C
（2）若将△BDE绕B点逆时针旋转180°，其它条件不变,请完成下图，并判断（1）中的结论是否仍然成立? 请证明你的结论.

解：（1）FG⊥CD ，FG=CD.
（2）延长ED交AC的延长线于M，连接FC、FD、FM.∴四边形 BCMD是矩形. ∴CM=BD.
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.∴ED=BD=CM.∵∠E=∠A=45º∴△AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中点.∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.∴△EFD≌△MFC.∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.又∠EFD＋∠DFM=90º∴∠MFC＋∠DFM=90º即△CDF是等腰直角三角形.又G是CD的中点.∴FG=CD，FG⊥CD.
12.如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．　　

解：（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．
理由如下：
连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP= ∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE．
（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当PB=BE时，1）E在线段BC上， ，2）E在CB的延长线上， ；
③当PE=BE时，CE=1．

解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，
故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，
易证△AFD≌△AED，故FD=DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2；
即：BD2+CE2=DE2．

（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，
故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2，
∴CE2=BD2+DE2．

图②
（1）解：BM＋CN＝MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1 由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABD＝∠ACD＝90° ∵BD＝CD
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠MDB＝∠M1DC　　DM＝DM1
∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120° 又∵∠MDN＝60°
∴∠M1DN＝∠MDN＝60° ∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB
（2） CN－BM＝MN
证明：如图，在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1 ∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠DBM＝∠DCM1＝90°∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB＝∠M1DC　　DM＝DM1 ∵∠BDM＋∠BDN＝60°∴∠CDM1＋∠BDN＝60°∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°
∴∠M1DN＝∠MDN ∵AD＝AD∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB

密 封 线 内 不 能 答 题

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