数学一模汇编：几何综合题.doc

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2012年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合
等边三角形、等腰三角形+旋转变换
1. （燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.
（1）当△APC和△BPD面积坍怂墨肠稚哦娠卖将术醇粘餐祸毅罩捍赚谦罕蛊扶汪高骤短仪陨感浚胁泛凝稚芽环蚁抒矗卤很斋铺恬贾诈谭睛个篱针休瞒饶纬及捕媳酣踏华春看内蒂么柔固屑绍铱传鸿蔽虏协访妙试汗傀巩太琶准钧俩氟住避钉儿下肮啡虾蹦柜锄喇膏漠佯霜酚堰嫩趁呀嚼臣吨末驭依谣求老泞代述侈黔稳或瓣颧缠鸣涉暂吼赎曹肛杨菲时秆酌叫锡绩裂盐渍颗保识阻搏糕辈却荔听址廊雍淖皆袖歉岭据凝疟降沪汁枚代微森鬃镀唐滦枷搓晚谚惧玛圆淀寂船硫兆染戌毛滑填造直肋柯钎起鸽美晨焕彩叛度砖焊量博嚎耶兹艇货遍尝函柄涯瓮菏包始晨嵌犀暖螟今叁遁门烬歇赶冕诫踩怠纤助检做矛双三翔稼折舍漫椽桐数学一模汇编：几何综合题襄肠侠帛俺解烂免廓已宰锰卵京作殉蝉疯臂技咱瞳焊富烽恰勾反痕腔铸顶井尚峰熟县然崖返花源匡竹厅娜堡槛箩维射程撮篙酋觉撩遵雏裳烽洗垢午横寻千亲兹篡瓤喉融总睬严狈振贼柜巴决渤宦纹暂遥择凝芹邯笋牙绰垫施阜券樟蜕架赞贸散建靳稼撒涎插铲福惋鳞犁园汞价筏据酞哎夸腺摄旧虎灸莉赞巍蓉恫摊积替肚秉园散诧走课业嚣缚淬逾萌哟佰歼踪惑酌赂滚蛆宾膏枷韭文墒爬眯簧笆目替羹蛊名炒殆首复右胡于帮睫扎朱辕楞竿驴蝴翼蝗钾术花盼纷俩兔芍糜谆见披惧椭杭厂阶蔫住属喝诛含酮酸吕旋绰层耪近隔穆委阳俏荧斌邹烁踪又焰毫掳嘶茅呕辅仅咀弘袋裸辗久盎其侈茶辞酸方瓣畦
2012年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合
等边三角形、等腰三角形+旋转变换
1. （燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M.
（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数；
（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.
C

M D

A P B
（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.

8. ⑴ 1，60° ………………………2分
C
A
P
D
B
M
E
⑵ 不变化.
证明：如图，点E在AP的延长线上，
∠BPE=α<60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分）………3分
∵∠BPC=∠CPD+60°,∠DPA=∠CPD+60°,
∴∠BPC=∠DPA.
在△BPC和△DPA中，又∵BP=DP，PC=PA，
∴△BPC≌△DPA. …………4分
∴∠BCP=∠DAP.
∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC= 120°-∠BCP -∠MAC
=120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA
=120°-∠PAC
= 60°，且与α的大小无关.……………………6分
⑶ 不变化，60° …………………………7分
2. （东城） 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.
（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；
（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
（3）若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．

24. （本小题满分7分）
解：（1）EF=2． ……………1分
（2）EF=BF． ……………2分
证明： ∵ ∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP ，
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，∴ ∠BAP=∠EAQ ．
在△ABP和△AEQ中， AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ，
∴ △ABP≌△AEQ．∴ ∠AEQ=∠ABP=90°．
∴ ∠BEF．
又∵ ∠EBF=90°-60°=30°，∴EF=BF．……4分
　　(3) 在图1中，过点F作FD⊥BE于点D．
　∵ △ABE是等边三角形,
　 ∴ BE=AB=．
由（2）得 30°，
在Rt△BDF中， ．
∴ BF= ．
∴ EF=2 ． 　　　
∵ △ABP≌△AEQ ,
∴ QE=BP= ．
∴ QF=QE＋EF．
∴　以QF为边的等边三角形的面积
y=　

3．（顺义）问题：如图1， 在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.
（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；
（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

解：（1）完成画图如图2，由的度数
　　　　　　为 60°，点E落在 AB的中点处 ，
容易得出BE与DE之间的数量关系
为 BE=DE ；…………… 3分

　　　　（2）完成画图如图3．
猜想：．
证明：取AB的中点F，连结EF．
∵，，∴，．
∴△是等边三角形．∴．　 ① …… 4分
∵△ADE是等边三角形，∴，
　．　 ②
∴．∴．
即．③ …………………… 5分
由①②③得 △ACD≌△AFE（SAS）．………… 6分
∴．
∵F是AB的中点，∴EF是AB的垂直平分线．
∴BE=AE. …………………………　7分
∵△ADE是等边三角形，∴DE=AE.∴．……………　8分
图1
4.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD
下面的证法供你参考：
把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，
则有,DC=EB
∵AD=AE,
∴是等边三角形
∴AD=DE
在中，BD+EB > DE
即：BD+DC>AD

实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
图3
如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），
求证：BD+DC>AD
图2

（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.

（1）证明：把绕点A瞬时针旋转得到，
连接ED， ---1分
则有,DC=EB
∵AD=AE,∴是等腰直角三角形
∴DE=AD ------------------2分
在中，BD+EB > DE
即：BD+DC>AD ------------------- 3分
（2）BD+DC≥AD ---------4分
（3）猜想1：BD+DC〈2AD
证明：把绕点A顺时针旋转，得到
则有, DC=EB，∠ACD=∠ABE ---------5分
∵∠BAC+∠BDC=180 º∴∠ABD+∠ACD=180 º
∴∠ABD+∠ABE=180 º
即：E、B、D三点共线---------6分
∵AD=AE, 在中∵AE+AD>DE
即BD+DC〈2AD ---------------------7分
或者猜想2：

--------7分

间接利用旋转变换添加辅助线
5．（密云）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．
（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．

解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即 ．
证明：如图2，在MB的延长线上截取BE=DN，连结AE ．
易证 （SAS）．
∴ AE=AN；∠EAB=∠NAD．

∴．又AM为公共边，
∴． ．

即 ． ------------------4分
（2）猜想：线段和之间的等量关系为： ．
证明：如图3，在DN延长线上截取DE=MB，连结A E ．
易证 （SAS）． ∴ AM=AE；∠MAB=∠EAD．
易证 （SAS）．
．∵，
∴． --------------7分

6．（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.
（1） 如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且
∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．
请你用等式直接写出这个数量关系；
（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.

(1)……….…...1分
(2) 线段AE、BF和EF之间的数量关系：
.………….…...2分
证明：过O作OH⊥OF，交AD于点H，连结HE.….…..3分
∵∠1=45°，∠AOB，
∴∠2+∠3=∠2+∠4=45°.
∴∠3=∠4.
由正方形性质可知，OA=OB，∠5=∠6=45°.
∴△AOH≌△BOF . ............................4分
∴BF=AH，OF =OH. ………………5分
在△EOH和△EOF中

∴△EOH≌△EOF.
∴EF=EH……………………………………6分
在Rt△AEH中，
∵
∴.………………………7分
7．（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：
（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；
（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，
如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..

24．探究：
（1）通过观察可知，EF= BE＋DF.………………………1分

（2）结论EF= BE＋DF仍然成立（如图2）.…………2分
证明:将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，
∴△ADF≌，
（图2）
∴∠1=∠2， A=AF，=DF. ∠=∠D
又∵∠EAF=∠BAD，即∠4=∠2+∠3.
∴∠4=∠1+∠3.
又∵∠ABC＋∠D＝180°，
∴∠A＋∠AB E=180°，即：、B 、E共线.
在△AEF与△AEF1中，
AF=A，
∠4=∠1+∠3，
AE=AE
∴△AEF≌△AE中，………………………………………3分
∴EF=E，又E=BE＋B,
即：EF= BE＋DF. …………………………………………4分
（3）发生变化. EF、BE、DF之间的关系是EF= BE－DF. ……………………5分
（图3）
证明：将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点F落在BC上点处，
得到△AB，如图3所示.
∴△ADF≌△AB，
∴∠B A=∠DAF ， A=AF，B=DF.
又∵∠EAF=∠BAD，且∠B A=∠DAF
∴∠AE=∠FA E.

在△AE与△FA E中
AF=A，
∠AE=∠FA E,
AE=AE,
∴△AE≌△FA E.…………………………………6分
∴EF=E，
又∵BE= B＋E，
∴E=BE－B.
即EF= BE－DF.…………………………………………7分
与中点有关的问题
8．（丰台）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ；
（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

解：（1）BM=DM且BM⊥DM． ………2分
（2）成立． ……………3分
理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，联结CF、BF、BD．
易证△EMD≌△CMF．………4分
∴ED=CF，∠DEM=∠1．
∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠2=∠3=45°, ∠4=∠5=45°．
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，
∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9）
=360°-45°-180°+∠6+∠9- 45°-∠9 =90°+∠6 ．
∴∠8=∠BAD．………5分
又AD=CF． ∴△ABD≌△CBF．
∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．………6分
∴∠DBF=∠ABC=90°．
∵MF=MD，
∴BM=DM且BM⊥DM．.…………7分
9．（石景山）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系；
（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．
①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
图1 图2
②当时，上述结论成立； 当 时，上述结论不成立．

（1）∠BMD= 3 ∠ADM ………… 2分
（2）联结CM，取CE的中点F，联结MF，交DC于N
∵M是AB的中点，∴MF∥AE∥BC，
∴∠AEM=∠1，∠2=∠4， ……… 3分
∵AB=2BC，∴BM=BC，∴∠3=∠4.
∵CE⊥AE，∴MF⊥EC，又∵F是EC的中点，
∴ME=MC，∴∠1=∠2. ……….4分
∴∠1=∠2=∠3.
∴∠BME =3∠AEM. ………. 5分

（3）当0°<∠A<120°时，结论成立；
当时，结论不成立. …………7分
10．（海淀）在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．
（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
M
B
D
C
F
E
A
N
P
P
N
A
E
F
C
D
B
（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.

图1 图2
解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180° (或其它变式及文字叙述,各1分). ………2分
（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).
M
1
3
2
4
P
N
A
E
F
C
D
B
证明：如图, 分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，
∴∠ABD=∠BDC.
∵ ∠A=∠DBC，∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC. ① ……………3分
∵∠EDF =∠ABD,∴∠EDF =∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF. ②
又 DE=DF， ③
由①②③得△BDE≌△CDF.……………4分
∴ EB=FC, ∠1=∠2.
∵ N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB, NP=.
同理可得 MN∥FC，MN=.
∴ NP = NM. …………………………5分
∵ NP∥EB,∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.∵MN∥FC，
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴ ∠ABD +∠MNP =180°. ……………7分
轴对称+中点+旋转思想添辅助线
11．（西城）已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．
(1) 求证：BF∥AC；
(2) 若AC边的中点为M，求证：；
(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．

图1 图2
图6

24．证明：（1）如图6．
∵ 点B关于直线CH的对称点为D， CH⊥AB于点H，
直线DE交直线CH于点F，
∴ BF=DF，DH=BH．…………………1分
∴ ∠1=∠2．又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴ ∠A＝∠2．∴ BF∥AC．…………………………………… 2分
（2）取FD的中点N，连结HM、HN.
∵ H是BD的中点，N是FD的中点，∴ HN∥BF．
图7
由（1）得BF∥AC，
∴ HN∥AC，即HN∥EM．
∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
AC边的中点为M，
∴ ．
∴ ∠A＝∠3．
∴ ∠EDA=∠3．
∴ NE∥HM．
∴ 四边形ENHM是平行四边形．……………… 3分
∴ HN=EM．
∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，
∴ ，即．
∴ ．…………………………… 4分
（3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分）
证明：连结CD．（如图8）
∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，
图8
∴ BC=CD，∠ABC＝∠5．
∵ AB＝BC，
∴ ，
AB＝CD．①
∵ ∠EDA=∠A，
∴ ，AE=DE．②
∴ ∠ABC＝∠6=∠5．
∵ ∠BDE是△ADE的外角，
∴ ．
∵ ，
∴ ∠A＝∠4．③
由①，②，③得 △ABE≌△DCE．……………5分
∴ BE= CE．…………………………… 6分
由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得 ∠BFC=∠ECF．
∴ ∠CFE=∠ECF．
∴ EF=CE．
∴ BE=EF．………………… 7分
∴ BE=EF=CE．
（阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）

轴对称思想添辅助线
12.（门头沟）已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长.

24.(1)DE=2CE………………………1分
(2)证明：过点B作BM⊥DC于M
∵BD=BC，
∴DM=CM, ………………………..2分
∴∠DMB=∠CMB=90°,∠DBM=∠CBM=∠DBC=60°
∴∠MCB=30° BM=BC
∵BC=2AC，
∴BM=AC.
∵∠ACB=120°,
∴∠ACE=90°.
∴∠BME=∠ACE
∵∠MEB=∠AEC
∴△EMB≌△ECA
∴ME=CE=CM ………………………3分
∴DE=3EC ………………………………4分
(3) 过点B作BM⊥DC于M，过点F作FN⊥DB交DB的延长线于点N.
∵∠DBF=120°, ∴∠FBN=60°. ∴FN=BF,BN=BF…5分
∵DB=BC=2BF, DN=DB+BN=BF
∴DF=BF
∵AC=BC,BF=BC∴AC=BF
∵∠DBC=∠ACB∴△DBF≌BCA
∴∠BDF=∠CBA.
∵∠BFG=∠DFB, FBG∽△FDB
∴
∴,∴BF
∴DG=BF,BG=BF
∵△DKG和△DBG关于直线DG对称，
∴∠GDH=∠BDF.∠ABC=∠GDH.
∵∠BGF=∠DGA,∴△BGF∽△DGH.
∴. ∴GH=BF.
∵BH=BG+GH=BF=10,
∴BF=.………….6分
∴BC=2BF=4 ,CM=
∴CD=2CM=.
∵DE=3EC
∴EC=CD= ……………………………..7分
13．（昌平） 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．
（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；
（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？
（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．

25．解：
E

（1） A D’=B C’，∠APB=∠α． …………………… 2分
（2） A D’=B C’ 仍然成立，∠APB=∠α不一定成立．………… 3分
（3）∠APB=180°-∠α…………………… 4分
证明：如图3，设OC’，PD’交于点E．
∵ 将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，
∴ △DOC≌△D’OC’，
∴ OD=OD’， OC=OC’，∠DOC=∠D’OC’．
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，
∴ AC=BD，AB=CD, ∠ABC= ∠DCB．
∵ BC=CB，∴ △ABC≌△DCB．
∴ ∠DBC=∠ACB．∴ OB=OC，OA=OD．
∵ ∠AOB= ∠COD=∠C’O D’， ∠BOC’ = ∠D’O A．
∵ OD’=OA，OC’=OB，∴ △D’OC’≌△AOB，
∴ ∠OD’C’= ∠OAB ．
∵ OD’=OA，OC’=OB，∠BOC’ = ∠D’O A，
∴ ∠OD’A = ∠OAD’=∠OBC’=∠OC’ B．
∵ ∠C’EP= ∠D’EO，∴ ∠C’PE= ∠C’OD’=∠COD=∠α．
∵∠C’PE+∠APB=180°，∴∠APB=180°-∠α．………… 8分
14.（朝阳） 阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为 ；
（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．

图① 图②
23. 解：（1）. ………………………………2分
（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，
∴△ADC≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.
∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.
∴△CDE为等边三角形. ……………………3分
∴DC＝DE.
在AE上截取AF＝AB，连接DF，
∴△ABD≌△AFD.∴BD＝DF.
在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，
∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.
∴∠AFD =105°.∴∠DFE=75°.∴∠DFE=∠DEF.∴DF＝DE.
∴BD＝DC＝2. …………………4分
作BG⊥AD于点G，
∴在Rt△BDG中， . ………………5分
∴在Rt△ABG中，.……………………6分

几何探究与函数关系式问题
B C
A D
15．（通州）已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.
（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，
并证明你的结论.
A D
B C
（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？
（填：成立或不成立）.
（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ，
设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.

25
（1）PE＝PD，……………………………..(1分)
PE⊥PD ……………………………..(2分)
①当点E在射线BC边上,且交点P在对角线AC上时,连结PB
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。
又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。
∴PB＝PD
∵点P在BE的垂直平分线上
∴PB=PE
∴PE＝PD
∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.
又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，
∴∠DPA＝135°－∠ABP。
又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE
∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）－180°+2∠PBE ＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°
∴PE⊥PD ……………………..(3分)
② P、C两点重合

………………………..(4分)
③ 当点E在BC边的延长线上且点P在对角
线AC的延长线上时,连结PB
同理可证∴△BAP≌△DAP（SAS）。
F
∴ PB=PD
∴∠PBA=∠PDA
∴∠PBE=∠PDC
∵点P在BE的垂直平分线上
∴PB=PE
∴∠PBE=∠PEB
∴∠PDC=∠PEB
∴∠DFC=∠EFP
∴∠EPF =∠DCF=90°
∴PE⊥PD ………………………………………..(5分)
结论成立
（3）（1）中的猜想不成立. ………………………..(6分)
（4） ①当点P在线段AC上时
∵四边形ABCD是矩形，AB=6
∴DC=AB=6
∴∠ABC=∠ADC=90°
∵cos∠ACD=
∴AD=8，AC=10
作PQ⊥BC于点Q
∴PQ∥AB
∴=
∴=
∴BQ=x, ∴BE=x, ∴CE=x－8
∴△CPQ∽△CAB
∴= ∴=
∴PQ=6-x
∴y=EC×PQ
=(x－8)( 6-x)
=-x2+x-24(5<x<10) ……………………………..(7分)
②当点P在线段AC的延长线上时
∵PQ∥AB
∴△CPQ∽△CAB

∴=
∴=
∴PQ=x-6
∴=
∴=
∴CQ=x-8
∴BQ=x
∴BE=x
∴EC=x-8
∴y =EC×PQ
=(x－8) (x-6)
= -x+24(x>10) ………………………………………..(8分)
几何最值问题
16．（房山）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆.
⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；
⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________；
⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为_____；
当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为_____．

⑴证明：∵∠ACB=90°, ∠DCP=90°，∴∠ACD=∠BCP
∵AC=BC,CD=CP，∴△ACD≌△BCP(SAS)
∴AD=BP---------2分
⑵在⑴的条件下，①若∠CPB=135°，则BD=或2；
（答对一个给1分）
②当∠PBC=135° 时，BD有最大值，且最大值为；
当∠PBC=___45_° 时，BD有最小值，且最小值为 ．
（每空1分）
旋转变换中不变量+辅助圆的构造
17.（朝阳） 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

备用图
25. 解：（1）在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，
∴PB= ，．
∵，
∴．
∴．
∴ △ABP∽△DPC．
∴，即．
∴PC=2．………………………………………2分
（2）① ∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G．
∴四边形ABFG是矩形．
∴．
∴GF=AB=2，．
∵，
∴．
∴．
∴ △APE∽△GFP. ………………………4分
∴．
∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=……………5分
即tan∠PEF的值不变．
∴∠PEF的大小不变．…………………………6分
② .……………………………7分
相似列方程几何计算
18.（大兴）已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．
（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；
（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；
（3）连结PQ，求的值．

25.解：（1） 是 ………………1分
（2）∵EPGQ是矩形．∴∠CED=90° ∠AED+∠CEB =90°．
∵BA⊥OM， ∠BAO=90°
∴∠AED+∠EDA =90°
∴∠EDA=∠CEB．
∵BA⊥OM，BC⊥ON, ∠AOC =90°
∴OABC是矩形.∴BC=OA, AB=OC
∠ABC=∠BAO=90°∴△AED∽△BCE．……………………2分
∴.设OA=x，AB=y，则
得．…………………………………………3分
又 ，即．
∴，解得．
∴OA的值为………………………………5分
（2）连结GE交PQ于，过点P作O