数学几何旋转综合题.doc

中考数学几何旋转综合题1.（2009年山东德州）23 (本题满分10分) 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 FBADCEG第23题图（3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） FBADCEG第23题图FBACE第23题图D 解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG=FD 1分同理，在RtDEF中， EG=FD 2分 CG=EG3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG4分证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点来源:学#科#网Z#X#X#KFBADCEGMNN图 （一）在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG5分在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 6分在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EGFBADCEGM图 （二） EG=CG 8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC， 4分在DCG 与FMG中，FG=DG，MGF=CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD，FMGDCG MFCDAB5分在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE6分FBADCE图GMECMEFFECCEBCEF90 7分 MEC为直角三角形 MG = CG， EG=MC 8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG其他的结论还有:EGCG10分2. (2009山西)在ABC中，ABBC2，ABC120，将ABC绕点B顺时针旋转角a(0a90)得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点(1)如图224(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论；图234(a)(2)如图234(b)，当a30时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；图234(b)(3)在(2)的情况下，求ED的长解 (1)证明：ABBC，AC由旋转可知，ABBC1，AC1，ABEC1BFABEC1BFBEBF又BA1BC，BA1BEBCBF，即EA1FC(2)四边形BC1DA是菱形证明：A1ABA130，A1C1AB，同理ACBC1四边形BC1DA是平行四边形又ABBC1，四边形BC1DA是菱形(3)如图234(c)，过点E作EGAB于点G，则AGBG1图234(c)在RtAEG中，由(2)知四边形BC1DA是菱形，ADAB2 如图235(a)，在RtABC中，BAC90，D，E两点分别在AC，BC上，且DEAB，将CDE绕点C顺时针旋转，得到CDE(如图235(b)，点D，E分别与点D，E对应)，点E在AB上，DE与AC交于点M图235(1)求ACE的度数；(2)求证：四边形ABCD是梯形；(3)求ADM的面积分析 注意旋转前后对应元素的关系，以及图中隐含的45、30等特殊角，将ADM的面积转化为SADESAME，利用方程的思想求解解 (1)如图235(a)，BAC90，ABAC，BACB45DEAB，DECDCE45，EDC90CECE4如图235(b)，在RtACE中，EAC90，CE4，ACE30(2)如图235(b)，DCEACB45，ACE30，DCAECB15又，DCAECBDACB45ACBDACADBCB45，DCB60，ABC与DCB不互补，AB与DC不平行四边形ABCD是梯形(3)在图235(c)中，过点C作CFAD，垂足为F，过D作DGAB，垂足为G作AMH60交AE于H可得FCDACFACD30在RtACF中，在RtDCF中，ADE中，AD，AE2，BAD135在RtADG中，设AMx，可得，MHHE2在RtAMH中，由AM2AH2MH2，可得化简，得解得由AMAC可得3. (2009湖南常德)如图238(a)，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别为EB，CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形图238(1)当把ADE绕A点旋转到图238(b)的位置时，D，E，B三点共线，CDBE是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；(2)当ADE绕A点旋转到图238(c)的位置时，D，E，B三点不共线，AMN是否还是等边三角形?若是，请给出证明；并求出当AB2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由解 (1)如图238(b)CDBE理由如下：ABC和ADE为等边三角形，ABAC，AEAD，BACEAC60BAEBACEAC，DACEADEAC，BAEDACABEACDCDBF(2)如图238(c)，AMN是等边三角形，理由如下：同理可证ABEACD，ABEACD，BECDM，N分别是BE，CD的中点，ABAC，ABEACD，ABMACNAMAN，MABNACNAMNACCAMMABCAMBAC60AMN是等边三角形设ADa，则AB2aADAEDE，ABAC，CEDEADE为等边三角形，DEC120，ADE60EDCECD30，ADC90在RtADC中，ADa，ACD30，N为DC的中点，ADE，ABC，AMN为等边三角形，SADESABCSAMN4. (2009宁波)如图239(a)，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(8，0)，直线BC经过点B(8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转a得到四边形OABC，此时直线OA，直线BC分别与直线BC相交于点P，Q图239(1)四边形OABC的形状是_，当a90时，的值是_；(2)如图239(b)，当四边形OABC的顶点B落在y轴的正半轴上时，求的值；如图239(c)，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积；(3)在四边形OABC的旋转过程中，当0a180时，是否存在这样的点P和点Q，使BP?若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由分析 (1)矩形(或长方形)，；(2)先证COPAOB，再证BCQBCO，并求出CQ，BQ的长，从而可得的值；易证OCPBAP，OPBP，CPAP，设BPx，在RtOCP中，根据勾股定理解出x的值，得到SOPB；(3)先假设存在这样的点P和点Q，使，再根据已知条件分类讨论求解解 (1)矩形(长方形)，(2)POCBOA，PCOOAB90，COPAOB，即同理，BCQBCO，在RtAOB中，CQ3，BQBCCQ11在OCP和BAP中，OCPBAPOPBP，CPAP设BPx，在RtOCP中，CPAPOAOP8x(8x)262x2，解答SOPB(3)存在这样的点P和点Q，使点P的坐标是对于第(3)题，我们提供如下详细解答：过点Q作QHOA于H，连接OQ，则QHOCOC，SPOQ，SPOQ，PQOP设BPx，BQ2x如图239(d)，当点P在点B的左侧时，OPPQBQBP3x，在RtPCO中，(8x)262(3x)2解得(舍去)图239如图239(e)，当点P在点B的右侧时，OPPQBQBPx，PC8x在RtPCO中，(8x)262x2解得综上可知，存在点，使