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磁带问题”教与学的实录与评析
　　磁带是日常生活中常见的物品，但它却联系着许多有趣的数学应用问题，抓住这些问题让学生去动手、动脑，不仅能培养学生学习数学的乐趣，还能培养学生学数学、用数学，生活中的问题用数学化的方法加以思考、分析、求解的能力。磁带问题所涉及的相关知识不多，易被学生观察、了解，是中学数学建模的一个容易下手的问题。下面我们给出对同一课题在初二、高三这两个年级进行数学建模活动的主要线索。
　　(一)初二年级(1)班，1993年10月26日
　　1由教师先提出问题
　　(1)一盘60分钟的普通磁带有多长?
　　(2)一盘60分钟的普通磁带的单层厚度是多少?
　　请同学们观察从家中带来的磁带样品，寻找解决问题的模型与方案。
　　2组织课堂讨论
　　几分钟，全班分成了四派：
　　(1)设法直接测量带长l与单层带厚d(2)设法直接计算l与d；
　　(3)设法测量l，而去计算d；
　　(4)设法测量d，而去计算l；
　　教师进一步要求，提“算”的同学给出算法，提“测”的同学给出实际可行的测量方案。
　　在教师的启发下，“算”派的学生代表上黑板给出了如下的算法模型：
　先将磁带全绕在一边(如左侧)，测出图1中的r与r(实测为r=224mm,r=10.5mm)把磁带所在的左盘的俯视图看成是一个圆环，把它想像成是由一条长为l(磁带长)、宽为d(磁带的单层厚)的‘细长矩形’环绕填充而成，因此，有：
　　　　　　　（１）
　　教师：这个模型建立的非常好，但一个方程怎么解两个未知数l与d?
　　学生：可用以公式(1)测一个量，算一个量，很好!那么测哪一个?算哪一个?
　　学生甲：测量d，算出l。
　　学生乙：测量l，算出d。
　　学生丙：两个都测量更简单。
　　教师：谁来谈谈测量l的方法?
　　学生乙(举手发言)：将磁带从带头开始，放入录音机走带1分钟，取出磁带做上记号，测量出1分钟走过的带长，再乘60就是总的磁带长l。
　　学生丁：不对，应将1分钟走过的带长乘以30才是总的带长。
　　教师：乙谈得不错，丁补充得也很好。60分钟的磁带的单面放音时间约为30分钟，所以应将1分钟的带长乘以30而不是60。另外，一次测量常常由于操作和测量工具的原因造成测量的误差，最好多测几次，取平均值作为测量的最终结果，这也是测量中减少误差的常用手段之一。谁再来谈谈怎么测量d?
　　(静场约1分钟)
　　学生甲(举手发言)：磁带太薄，普通尺子的刻度太大不好测量，可以多叠几层再测量。
　　学生丙：可以把磁带绕在笔帽上，绕上30圈，再量内、外径就可以算出单层厚度。
　　教师：大家的想法都很好，试着做一下就会感到测d不太容易，比如绕在笔帽上绕齐30圈就不容易，再用普通尺子量准内、外径也不太容易。我给同学们提一个建议，到物理实验室向那里的教师学习一下千分尺或游标卡尺的使用方法，相信你们会找到并学会测量很薄物体厚度的方法。今天的一个课外作业就是请同学们实际测算出一盘60分钟的普通磁带的长度和单层厚度，请大家把测算方案和结果写出来，下次课我们一起来交流。
　　〔评注〕像这样的问题并不需要专门的整段时间去进行教学活动，而可以安排在正课的头或尾的15分钟内进行。教师的指导重点放在设计问题，引导学生建立相应的求解模型上，而把实际的求解过程放在课下让学生独立完成或分小组讨论完成。对具体的求解过程教师不必给出详解，而只要给出一个让学生进行思考或操作的可以入手的方向就行了。这样不会太干扰正常的教学进度，却给学生留下了学、用数学的生动场景。
　　3完成作业后的讲评