2008年上海市八区高考模拟测试（数学理含答案）.doc

上海市八区2008年联考高考模拟测试题
数学(理科)试题 2008.04.03
完卷时间：120分钟
题号
1～12
13~16
17
18
19
20
21
22
总分
满分
48
16
12
12
14
14
16
18
150
得分

签名

一、填空题(本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、设全集U ={a、b、c、d、e}, 集合A={a、b}，B={b、c、d}，则A∩CUB=________。
2、已知f(x)，则＝____________。
3、向量、满足||=2，||=3，且|+|=，则.= 。
4、在公差不为零的等差数列{an}中，Sm=Sn(m≠ n)，则Sm+n值是 。
5、现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 。
6、方程2cos (2x–) = 1的解是 。
7、设A(2,)，B(3,)是极坐标系上两点，则|AB|= _。
8、圆(x+2)2+(y–1)2 = 5关于直线y=x对称的圆的方程为 。
9、设方程x2–2x+m=0的两个根为a、b，且|a–b|=2，则实数m的值是 。
10、给出下列命题：(1)常数列既是等差数列，又是等比数列；(2)实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；(3)实数等比数列中，若公比q>1，则数列必是递增数列；(4)；(5)首项为a1，公比为q 的等比数列的前n项和为Sn=。其中正确命题的序号是 。
11、若在展开式中，x的一次项是第六项，则n= 。
12、若在由正整数构成的无穷数列{an}中，对任意的正整数n，都有an ≤ an+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有2k–1个k，则a2008=
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
y=x+a
y=x+a

1
1
1
1
1
o
o
o
o
x
x
x
x
y=log ax
y=x+a
y=xa
y
y
y=x+a
y=xa
y=ax
y
y
(A)
(B)
(C)
(D)
13、下列函数图象中，正确的是 ( )
14、已知点P(3, m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|的长为 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
15、若存在，则r的取值范围是 ( )
(A) r≥–或r≤–1 (B) r>–或r<–1 (C) r>–或r≤ –1 (D) –1≤ r≤ –
16、异面直线a，b成80o角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a，b所成的角相等且等于θ，则θ属于集合 ( )
(A){θ|0o<θ<40o} (B){θ|40o<θ<50o} (C){θ|40o<θ<90o} (D){θ|50o<θ<90o}
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、(本小题满分12分)
解不等式：。

18、(本小题满分12分)
在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知tanC=，c=，又ΔABC的面积为SΔABC = ，求a+b的值。

19、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分）
P
A
B
C
D
已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD^平面ABCD，PD=8，(1)连接PB、AC，证明：PB ^ AC；(2)连接PA，求PA与平面PBD所成的角的大小；(3)求点D到平面PAC的距离。

20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。第一种方案是每年年末(12月底)加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年(6月底和12月底)各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种。
根据上述条件，试问：
(1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？(说明理由)
(2)如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？

21、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设有抛物线C：y= –x2+x–4，通过原点O作C的切线y=mx，使切点P在第一象限。
(1)求m的值，以及P的坐标；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q；
(3)设C上有一点R，其横坐标为t，为使DOPQ的面积小于DPQR的面积，试求t的取值范围。

22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）
由函数y=f(x)确定数列{an}，an=f(n)，函数y=f(x)的反函数y=f –1(x)能确定数列{bn}，bn= f –1(n)，若对于任意nÎN*，都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列”。
(1)若函数f(x)=确定数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
(2)已知正数数列{cn}的前n项之和Sn=(cn+)。写出Sn表达式，并证明你的结论；
(3)在(1)和(2)的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=，Dn是数列{dn}的前n项之和，且Dn>log a (1–2a)恒成立，求a的取值范围。

翰林汇

2008年八区联考数学高考模拟测试题(理科)参考答案
一、填空题
1、{a} 2、–1 3、–3 4、0 5、0.5 6、x=kp+或x=kp kÎZ 7、
8、(x–1)2 + (y+2)2= 5 9、2或0 10、(2)、(4) 11、8 12、45
二．选择题
13、C 14、D 15、A 16、B
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17、解：原不等式变形为，…………………………2分
所以，原不等式可化为………………………………………6分
即：
即：……………………………………………………………………10分
故原不等式的解集为{x|2<x<3} …………………………………………………12分
18、解：在ΔABC中，因为tanC=，所以ÐC=60o，………………………………2分
又ΔABC的面积为SΔABC =，所以absinC = ………………………4分
即：ab = 6……………………………………………………………………………6分
因为c=，所以c2 = a2+b2–2abcosC ……………………………………………8分
即：a2+b2–ab = 7
(a+b)2–3ab= 7………………………………………………………………………10分
a+b= 5………………………………………………………………………………12分

19、(1)证明：连接BD，在正方形ABCD中，AC ^ BD，
又PD^平面ABCD，所以，PD^AC，………………………………………2分
所以AC ^平面PBD，故PB ^ AC。…………………………………………4分
P
A
B
C
D
O
(2) 解：因为AC ^平面PBD，设AC与BD交于O，连接PO，则ÐAPO就是PA与平面PBD所成的角，……………………………………6分
在DAPO中，AO=3，AP = 10
所以 sin ÐAPO =
ÐAPO=arcsin………………………………8分
PA与平面PBD所成的角的大小为arcsin………………………………………9分
(3)解：连接PC，设点D到平面PAC的距离为h，…………………………………10分
则有VD–PAC =VP–ACD，即：´ SDPAC ´ h =´PD´AD´DC…………………12分
在DPAC中，显然PO^AC，PO=
h =
所以点D到平面PAC的距离为………………………………………14分
20、解：(1)第10年末，依第一方案得
1000+2000+…+10000=55000(元).………………………………………………………2分
依第二方案得300+3002+3003+…+30020=63000(元).…………………………4分
∵63000–55000=8000(元)
∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元。………………6分
(2)第n年末，依第一方案，得：1000(1+2+3+…+n)=500n(n+1)(元)…………………8分
依第二方案，得：a(1+2+3+…+2n)=an(2n+1)…………………………………………10分
由题意an(2n+1)>500n(n+1)对所有正整数恒成立……………………………………12分
即a>.
∴当a>时，总是第二方案加薪多。……………………………………………14分
21、解：设点P的坐标为 (x1, y1)，则y1=kx1……①，y1= –+x1 – 4 ……②，
①代入②，得：+(k–)x1+4=0………………………………………………………2分
因为点P为切点，所以 (k–)2–16=0，得：k=或k=…………………………4分
当k=时x1= –2，y1= –17；当k=时，x1= 2，y1= 1；
因为点P在第一象限，故所求的斜率k=，P的坐标为 (2，1)，………………6分
(2)过 P点作切线的垂线，其方程为：y= –2x+5…………③，代入抛物线方程，得：
x2–x+9=0，设Q点的坐标为 (x2, y2)，则2x2=9，所以x2=，y2= –4，
所以Q点的坐标为 (, –4)，…………………………………………………………10分
(3) 设C上有一点R(t, –t2+t–4)，它到直线PQ的距离为：
d==………………………………………12分
点O到直线PQ的距离PO =，SDOPQ=´PQ´OP，SDPQR=´PQ´d，
因为DOPQ的面积小于DPQR的面积，SDOPQ < SDPQR ，
即：OP < d，即：>5，…………………………………………………14分
+4>0或+14<0
解之得：t<或t>
所以t的取值范围为t<或t>。………………………………16分
22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）
解：(1)由题意的：f –1(x)== f(x)=，所以p = –1，……………………2分
所以an=…………………………………………………………………………3分翰林汇
(2)因为正数数列{cn}的前n项之和Sn=(cn+)，
所以c1=(c1+)，解之得：c1=1，S1=1………………………………………………4分
当n ≥ 2时，cn = Sn–Sn–1，所以2Sn = Sn–Sn–1 +，…………………………5分
Sn +Sn–1 = ，即：= n，……………………………………………7分
所以，= n–1，= n–2，……，=2，累加得：
=2+3+4+……+ n，………………………………………………………………9分
=1+2+3+4+……+ n =，
Sn=……………………………………………………………………………10分
(3)在(1)和(2)的条件下，d1=2，
当n≥2时，设dn===2()，…………………………………13分
由Dn是{dn}的前n项之和，
Dn=d1+d2+……+dn=2[1+()+()+()+……+()]
=2(2–)………………………………………………………………………………16分
因为Dn>log a (1–2a)恒成立，即log a (1–2a)恒小于Dn的最小值，
显然Dn的最小值是在n=1时取得，即(Dn)min=2，
所以log a (1–2a)<2，1–2a>0，所以0<a<–1………………………………………18分