第十讲二项式定理.doc

西藏大学理学院数学系严俊举
第十讲 二项式定理
教学目的要求：使学生掌握二项式定理并灵活运用该定理解题；掌握
二项式系数的性质；理解并掌握多项式定理并会简单应用.
教 学 重 点 ：二项式定理，二项式系数的性质.
教 学 难 点 ：多项式定理.
课 时 按 排 ：约二课时
教学内容
一、二项式定理
1、设 …
……①
证明： 是n个因式 （a+b）的乘积，展开后的任一次 是n-r个因式中怪a，r个因式中取b，共有 个，因此展开式中 项的系数为 ，依次取 ，即可得①式
①式通常叫二项式定理， 的二项展开式即为右边多项式；系数 叫做二项式系项；式中的第r+1项 叫做二项展开式的通项。
2、推论1：
推论2：
推论2是定理的最简形式，应用十分广泛，通常称为组合数的母函数，恰当运用，学得简便的解题方法
二、二项式系数的性质
性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离的两次系数相等
即
性质2：二项展开式各项系数的和等于 ，即

证明：在推论2中，取x=1可得
性质3：二项展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和等于 ，即
证明：推论2中，取x=－1可得
性质4：在二项展开式中，当幂指数n为偶数时，中间一项的二项或系数 为最大；当幂指数n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等且最大
证明：考察二项展开式相邻两项系数的比，有
………①
① 式随着r依次取1，2，3，……，n，比值 由大于1逐渐变为小于1。 的值最大，当且仅当
即

当n为偶数时， ，即中间一项的二项式系数 最大
当n为奇数时， ，即中间两项的二项式系数相等， 且最大
三、定理的应用
二次项定理是代数的一个常用恒等变换，在多项式乘方展开，某些组合数恒等式证明，数的整除性以及近似计算而都有主要的应用。
例1：以 x-2的幂表示多项式
解：用x=(x-2)+2代换，得

例2：在 的展开式中有多少有理项？

当 与 均为正整数，即r为4的倍数，且 时，
为有理数，所以适合条件的r值是：0，4，8，12，…，100
共26项
例3：求 展开式中的最大项
解：设第r+1项最大，则r满足不等式组

解不等式组得
即
因为 ,则因此展开式中第30项最大
即:
例4:设
求 的值
解:在已知等式中,令 得

例5:设 求证: 能被64整除

这表明 能被64整除
例6: 计算下列各数的近似值(精确到0.001)
(1) , (2)
解
因为 ,所以
(2).
四、多项式定理：设 ，则

其中 表示对所有使 的非负整数 求和
例7：求 展开式中 项的系数
解法一：展开式的通项公式为：

解此不定方程组，得的非负整数解
(3,0,2,0), (2,2,1,0), (3,1,0,1), (1,4,0,0)
所以展开式中的系数为:

解法二:原式变形为:

因此所求的系数,就是二项式中的系数与展开式中的系数的对应乘积之和,即
五、课堂练与作业
1、求的展开式中项的系数

则分子的展开式中的系数为
2、

而
依复数相等的定义即可得
3、
证：设
则的展开式中的系数为
又展开式中项的系数为得证
4、是否存在常数a,b,c，使得等式
对一切正整数成立，并证明你的结论。（1989年全国高考题）

根据组合数的性质有：
所以存在常数a=3,b=11,c=10，满足题设要求

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