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空间向量与立体几何

基础知识
本单元是全章的重点，主要学习空间向量及其在立体几何中的初步应用，共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.
本单元的重点是：空间向量的运算和运算律；空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间向量基本定理及其推论；两个向量的数量积的计算方法及其应用；空间右手直角坐标系；向量的坐标运算和向量的夹角公式、距离公式.
本单元的难点有：理解与运用空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式；空间作图；两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题；向量坐标的确定和向量夹角公式、距离公式的应用等.
本单元把空间的平行(平移）性质转为向量表达式（共线、共面向量定理、向量数量积运算）和向量运算，使学习重点转到使用向量代数方法解决立体问题上来，这旨在培养使用向量代数方法解决立体几何问题的能力. 在第一单元空间平行（平移）概念的基础上，引入向量来解决立体几何问题，是综合推理训练转向代数推理训练，即用代数方法来研究解决立几问题，因此，要重视空间向量的概念、运算方法及其应用，侧重掌握向量这一工具的性质和用途.
本单元所学的空间向量的知识容量大, 涉及的概念多, 公式多，因此，要抓住空间向量与平面向量之间存在的类似关系，能通过类比、比较，将所学的平面向量知识推广到空间，并通过应用逐步理解与掌握.
本单元的主要知识有：
1．共线向量
共线向量定理：对空间任意两个向量a，b (b ≠ 0 ), a∥b的充要条件是存在实数 l使a = lb.
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充分条件是存在实数t，满足等式=+ta. 其中向量a叫做直线l的方向向量，等式=+ta称为空间直线的向量参数表示式，若在l上取= a，则等式可化为=（1 – t )+t.
2．共面向量
称平行于同一平面的向量为共面向量.
共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p与向量a,b 共面的充要条件是存在实数对x,y，使p = xa + yb.
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x, y，使= x+ y或对空间任一点O，有=+ x+ y.
3．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b ,C 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y , z, 使p = xa + yb + zc.
该定理表明：在空间，任意一个向量都可以由三个不共面的向量表示（生成），{ a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c都叫基向量.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y , z，使= x + y + z.
4. 两个向量的数量积
空间两个向量非零向量a，b 的夹角定义与平面向量类似，但记作<a，b >，通常规定0 £ < a，b> £ p.
空间两个非零向量a，b 的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.
a•b = |a||b |cos<a , b >.
当<a , b >= 时，称向量a 与 b互相垂直，记作a ^ b.
空间两个向量的数量积有类似于平面向量数量积的性质与运算律.
5．空间向量的坐标运算
与平面向量的坐标运算类似，引入空间向量的坐标运算.
取空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫单位正交基底，常常用{ i ，j ，k }表示；
在空间取右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向的右手直角坐标系，设原点为O；
在右手直角坐标系中，取一个单位正交基底{ i ，j ，k }，使基向量 i ，j ，k 的方向分别为x, y , z轴的正方向，由空间向量的基本定理可得：给定空间任意向量a, 存在唯一的有序实数组( a1 , a 2 , a 3）使a= a1i + a 2 j + a 3k ，有序数组( a1 , a 2 , a 3）叫做向量a在空间直角坐标系中的坐标，可简记为a = ( a1 , a 2 , a 3）. 对空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x, y , z使= xi + yj + zk . 在单位正交其底i ，j ，k 中与向量 对应的有序实数组（ x , y , z )，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A（x , y , z ), 其中x, y , z 分别叫做点A的横坐标，纵坐标与坚坐标.
设a = ( a1 , a 2 , a 3）， b= ( b1 , b 2 , b 3）, 则有
a±b = ( a1±b1 , a 2±b2 , a 3±b 3 );
la = ( la1 , la 2 , la 3） (l Î R) ;
a•b = a1b 1 + a 2b2 + a 3b 3 ;
a∥b Û a1 = lb 1 , a 2= lb2 , a 3 = lb 3(l ÎR), 或==；
a ^ bÛ a1b 1 + a 2b2 + a 3b 3 = 0
|a| = ;
cos< a，b > ==.
在空间直角坐标系中，若设A ( a1 , a 2 , a 3），B ( b1 , b 2 , b 3），
则AB两点之间的距离d A, B = .
7. 平面的法向量
垂直于平面的向量称为平面的法向量，即若向量a⊥平面a, 则a称为a的法向量.
例题解析

（例1）
例1 设O为空间任意一点, 点G是△ABC的重心, 设= a , = b , = c, 求证: =(a + b + c).
证: 如图，设AM是△ABC的一条中线,
则 = = •(+)=(b– a + c– a).
∴ =+= a + = a +(b – a + c – a ) =(a + b + c).
说明 本题解决是空间问题, 但所用的则是平面向量的知识, 将空间问题分解为几个平面问题, 并在各个平面内分别使用平面向量知识，综合起来达到解决问题的目的，这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一.

例2 求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.

（例2）
已知 如图，AA`⊥a，BB`⊥b，A, B分别为垂足，求证：AA`∥BB`
证：在平面a内过点A作互相垂直的向量，，作基底向量{，，}，用基底表示得：
= x+y+z （ x, y , z Î R),
∴•= x•+y•+z• (1),
•= x•+y•+z• (2).
∵ BB`⊥AC, BB`⊥AD, AA`⊥AC, AA`⊥AD,
∴•=0, •= 0, •= 0, •= 0.
代入（1）（2）得x = 0, y = 0, ∴= z, ∴AA`∥BB`.
说明 由空间不共面的三个向量构成一个基底，则空间任意一个向量均可用这个基底表示（生成），这是空间向量基本定理的作用，也是解决本题的突破口.
两条向量(直线)垂直对应向量数量积为零, 为运用这个条件，需要在等式= x+y+z两边同时 “点乘”、，这一方法在高一推导余弦定理时曾经接触过，也是解决本题的关键.
例3 已知向量 a = ( 2 , 2, –1)，求与a平行的向量的单位向量.
分析：设与a平行的单位向量为a0，则有 a = ±| a |a0，
∵ | a | = = 3,
∴a0 = (,,–)或a0 = (–,–,).
注意 与向量a平行的向量的方向有两个，故需要添“±”号.
例4 已知向量a = ( 4 , –3 , 2 ), 向量b与三坐标轴成相等的锐角, 求向量a在向量b上的射影.
解: 设向量b与三坐标轴所成的角均为a, 由3cos2 a= 1, 得cosa = ±,
∵a为锐角, ∴cosa = , ∴ b的单位向量b 0 = (, , ).
∴ 向量a在向量b上的射影 a ·b0 =– + = .
说明 设向量a与b的夹角为q，则向量a在向量b上的射影等于| a |cosq. 又设向量b的单位向量为b0，则有b = | b|b0，则a ·b0 = a ·=| a ||b |cosq = | a |cosq, 因此有“向量a在向量b上的射影为 a ·b0”的结论. 理解这个结论有助于提高解题速度.

例5． 设点O为空间任意一点，点A，B，C是空间不共线的三点，又点P满足等式：= x + y + z, 其中x, y , z ÎR, 求证： P，A，B，C四点共面的充要条件是x + y + z = 1.
分析：需要分两方面来证，必要性即证: 若x + y + z = 1，则P，A，B，C四点共面，充分性即证: 若P, A, B, C四点共面, 则有 x + y + z = 1.
必要性证明考虑到x + y + z = 1可以减少一个变量, 而O点可以通过向量减法消去,从而由向量共面定理获证.
充分性只需证向量= l+m (l , m ÎR ), 注意到点O的作用, 故有= – 等,
证: 先证必要性: ∵x + y + z = 1, ∴ z = 1 – x – y ,
∴= x + y + ( 1 – x – y ) = x ( – ) + y ( – ) + = x + y+ .
即= x + y, 由共面向量定理知P, A, B , C四点共面.
再证充分性: 设x + y + z = k, 由条件 = x + y + z,
得: = x + y + ( k – x – y ) = x(–) + y(–) + k = x(–) + y(–) + + (k – 1) .
∴ –= x(–) + y(–) + (k – 1),
即= x+ y+ (k – 1),
∵ P, A, B , C四点共面, 点O为空间任意一点, ∴ 只能k = 1, 即x + y + z = 1.
综合上述, 命题成立.
说明 本例所证的是一个用空间向量解决立几问题时常用的结论.

例6 设有一个质点位于P1 ( 1 , 3, –2)处, 现有大小为200g, 方向向量为 (cos60°, cos60°, cos45°)的力作用于该点. 求该质点由P1位移到P2 ( 3 , 4 , –2 + 2)时, 力所作的功(长度单位为cm).
分析：设P1到P2的位移为, 那么力所作的功为W = ·.
解: ∵力的方向向量= ( cos60°, cos60°, cos45°) = (,,) ，
而 || = 200, 且有= ||= 200.
∴ = (100, 100, 100),
又∵ = ( 3 – 1 , 4 – 3 , –2 + 2 +2 ) = ( 2, 1 , 2).
∴W = ·= 200 + 100 + 400 = 700 ( g· cm ) .
例7．设以空间直角坐标系的原点O为始点的向量= a与x轴，y轴，z轴的交角分别为a，b，g，称l= cosa , m = cosb , n = cosg, 为向量a 的方向余弦，试证：l2 + m2 + n2=1.
分析：即证：cos2a + cos2b + cos2g = 1, 因此如何表示出cosa, cosb, cosg 是关键，注意到•I = = ||| I |cosa, 若设= a =（a1 , a2 , a3 ) , 则有a1 ·1+ a2·0+ a3·0= |a |coaa ， 可得coaa = a1 , 同理可得coab， coag.
证：设x, y , z上的单位向量分别为： I = (1,0,0) , j = ( 0,1,0 ) , k = (0 , 0 ,1)

(例7）
又设= a =（a1 , a2 , a3 ) ，
由·i = |a | | i| cosa = |a |coaa,
得 a1 ·1+ a2·0+ a3·0= |a |coaa ,
∴ a1= |a |coaa , ∴ coaa = a1 ,
同理 coab = a2 , coag = a3 .
∴ cos2a + cos2b + cos2g = ( a12+ a22+ a32)= =1 即l2 + m2 + n2=1.
请思考：若题设条件改为： 设以空间直角坐标系的原点O为始点的向量= a与x轴，y轴，z轴的交角分别为a，b，g，令l = pcosa , m = pcosb , n = pcosg. 则可证得什么结论？

课堂训练
1．设a = ( 3, 2 , 4 ), b = ( 2 , 0 , 1 ), c = ( –1, –1, 2 ). 则 3a – 4b – 2c等于 （ A ）
(A) ( 3, 8 , 4 ). (B) (4, 1, 6 ) . (C) (3, 4, 4 ). (D) (–1, 8, 4).

（第3题）
2．给定点A ( 3, –1, 0 )和向量= ( 2, 5 , –3), 则点B的坐标是 ( B ).
(A) ( 1, –6, 3). (B) ( 5 , 4 , –3) .
(C) (–1, 6, –3) . (D) ( 2, 5, –3) .
3．如图ABCD – A1B1C1D1是平行六面体，给出下列命题:
(1) = ++. (2) = ++.
(3) = ++. (4) = ++.
其中真命题的个数是 ( A )
(A)4 (B)3 (D)2 (D)1
4．在平行六面体ABCD – A1B1C1D1中, 必有 ( C )
(A) = . (B) + = 0.
(C) + = +. (D) + = + .

（第5题）
5．如图：已知ABCD是平行四边形，点O为空间任意一点，设= a，= b ，= c ， 则向量用a、b、 c表示为 （ A ）.
（A）a – b + c. （B）a – b – c.
(C) – a – b + c . (D) – a+ b – c.
6．已知三个力= ( 1, 2 , 1 ), = (–1, –2, 3 ), = ( 2, 2, –1), 则这三个力的合力为 ( A ).
(A) (2, 2, 3 ). (B) ( 0 , 0 , 0 ). (C) . (D) 0.
7．在下列给出的各组向量中, 向量a与b共线的一组是 ( C )
(A) a = ( 1, –3, 2 ), b = (–3, 2 , 1 ). (B) a = ( 4, –12, 3 ), b = (–1, 3 , 1 ) .
(C) a = ( –1, 1, 2 ), b = (–,, 1 ). (D) a = (–,, 3), b = (–,,).
8．已知向量 a = ( –2, 5, –4 ), b = (6, 0 , –3 ) , 则< a , b >的值等于 ( B )
(A). (B). (C) . (D) .
9．已知向量a = 8i + 3k ，b = –i + 5j – 4k , 则a•b 等于 ( A )
(A) –20 . (B) 7 . (C) 11. (D) 23 .
10．已知a=（1, 2, 3 ) , b = ( 3, 0 , – 1), c = (–, 1, –), 则在以下结论中：
（1）| a + b + c |=| a –b –c | ； （2）（a + b + c = a2 + b 2+ c 2；
（3）（a•b）•c = a• （b·c）； （4）（a + b）·c a·（b –c）, 不正确的有（ A ）.
（A）4个. （B）3个 . （C）2个 . （D）1个.
11．已知向量a= ( 2, –4, 3 ), b = ( 7 , –1, – 2), 则a – b = ( 5, 3 , –5) .
12．已知点O是正方体ABCD – A1B1C1D1的中心, 若= a，= b, = c，则
= ( a+b +c) .
13．已知ABCD – A1B1C1D1是平行六面体, 若= a，= b, = c，则=
b+ c – a .
14．已知向量a = ( 8, – 4, 1 ), b = (2 , 2 , 1 ),.则< a , b >的值等于
arccos .
15．平行六面体ABCD – A1B1C1D1中，AB = AD = AA1 = 1，∠BAD = ∠BAA` = ∠DAA` = 60°，则AC1的长度等于 .
16．已知点P ( 2, –5, 3), 求
(1) 点P在三坐标轴上射影的坐标;
(2) 点P在坐标面xOy, yOz, zOx上射影的坐标.
( (1) x轴 ( 2, 0 , 0 ); y轴( 0 , –5, 0 ); z轴 ( 0 , 0 3 ). (2) xOy: ( 2 , –-5, 0 ); yOz : ( 0 , –5,3); zOx: ( 2 , 0 , 3 ). )

17．用向量证明顶点为A (5 , 2 , –1), B ( 1 , –3. 4 ), C 9 –2 , 1 , 3 ), D ( 2 , 6 , –2)的四边形是平行四边形.

18．空间四边形OABC中，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG = 2GN，用基底{，，}表示向量.
（ =++ ）
19．(1)已知|a | = 3, | b | = 2, <a , b > = , 求a · b . ( 3 )
(2) 已知a = ( 1, 3, 5 ), b = ( –1, –3, 4 ), 求a · b . ( 10 )

课后练习
1．已知a = ( 2, –1, 2 ), b = (2, 2 , 1 ), 则以a, b 为邻边的平行四边形的面积是 ( C )
(A) . (B). (C) 4 . (D) 8.
2．在单位正交基底{ i ，j ，k }下, 点A ( –2, 3, 1), 且存在唯一的有序实数组( 7, –2, 3)使得向量= 7i – 2 j + 3k，则向量= ( A )
(A) ( 9 , –5 , 2 ). (B) (–9, 5 , –1 ). (C) (–2, 3, 1 ). (D) ( 7, –2, 3 ).
3．若向量a = ( 1, l, 2 ), b = (2, –1, 2 ), cos< a，b > = , 则实数l的值为 ( D )
(A) 2. (B) –2. (C)–2或. (D) 2或 –.
4．下列各组向量中, 向量a , b, c 共面的一组是 ( B )
(A) a = ( 4, 2, 1 ), b = (–1, 2 , 2 ), c = ( –1, 1 ; 5 ).
(B) a = ( 1, 2, –3 ), b = (–2, –4 , 6 ) , c = ( 1, 0 ; 5 ).
(C) a = ( 0, 0, 1 ), b = (–1, 0 , 0 ), c = ( 0, –1 ; 0 ).
(D) a = ( –2, 3, 1 ), b = (3, –2 , –2 ), c = ( –1, 0 ; 2 ).
5．已知非零向量 m= ( a2 , 2 , a2 + c2 ) , n = ( b2, – a2b, 1 ) , 则m⊥n的充要条件是 ( C )
(A) a = c = 0且b = 1. (B) a = 0或c = 0 且b = 1.
(C) a = 0或b = 1且c = 0 . (D) c = 0或b = 1且a = 0.
6．如图, ABCD – A1B1C1D1是平行六面体，则下列错误的一个命题是( B )

（第6题）
(A) 存在唯一的实数对(x, y )使得 = x+y.
(B) 存在唯一的实数对(x, y )使得 = x+y.
(C) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得= x+y+z.
(D) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得= x+y+z.
7．已知向量a = (1 , 3 , 2 ), b = (1 , 0 , 1 ), p = ka– 2b, q = 3a + 4b, 若p∥q, 则实数k = – .
8. 空间三点A (1 , –1, a ) , B ( 2, a , 0 ) , C ( 1 , a , – 2 ) , 若(–2)与垂直, 则实数a 等于 – .
9．已知两空间向量 a = (cosq, 1, sinq), b = ( sinq , 1 , cosq ), 则a + b与a – b的夹角的度数是 90° .
10. 在平行六面体ABCD – A1B1C1D1中, 以顶点A为端点的三条棱长都等于1, 且两两夹角都为60°, 则|| = .
11．已知向量2 a + b = (0,–5,10)，c = (1,–2,–2)，a·c = 4，|b|=13，求b·c . （– 18）
12．在正方体中, M Î A1D , A1M = 2MD , N Î CD1 , CN = 2ND1. 求证: MN,MN

（第12题）
== (–,,) ，=(1, 0 ,1 ) ，= (0 , 1,–1)，
·=
·=

13．求同时垂直于向量a = ( 2，1，3 )，b = ( 0，–5，1 )的单位向量c0 .
( 设 c0 = ( cosa. cosb, cosg ) . ，由a ·c0 =0，且a ·c0 =0， 解得。
c0 = ( , – ,– )或c0 = ( –, , ). )

（第14题）
14．设四面体OABC的对边OA，BC的中点分别为P，Q；OB，CA的中点分别为R，S；OC，AB的中点分别为U，V时，试用向量证明三线段PQ，RS，UV的中点重合.
解 设= a， = b ， = c. 从而
=a ，= b ， =c ，
（a + b ),
=（b + c ）, =（c.+ a ),
因此，如记PQ的中点为M，则有 = （+）=（a+ b+ c）,
如记RS中点为M，，则有 = （+）= （b+ c + a ),
如记UV中点为M，，，则有 = （+）= （c + a+ b),
∴= = 因此三点M，M，，M，，重合.

空间向量与立体几何•第12页